人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数课后复习题

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4.2指数函数（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：指数函数的概念
重点题型二：指数函数的图象及应用
角度1：指数型函数图象过定点问题
角度2：指数函数图象的识别
角度3：画指数函数的图象
重点题型三：指数函数的单调性
角度1：利用指数函数的单调性比较大小
角度2：利用指数函数的单调性解不等式
角度3：指数型复合函数的单调性
重点题型四：与指数函数（指数型复合函数）有关的定义域
重点题型五：与指数函数（指数型复合函数）有关的值域
重点题型六：可化为一元二次函数型
重点题型七：与指数函数的相关的综合问题
第五部分：新定义问题
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局


第二部分：知 识 点 精 准 记 忆


知识点一：指数函数的概念
1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.
2、学习指数函数的定义，注意一下几点
（1）定义域为：
（2）规定是因为：
①若，则（恒等于1）没有研究价值；
②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；
③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.
④只有当或时，即，可以是任意实数.
（3）函数解析式形式要求：

指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.
知识点二：指数函数的图象与性质
1、函数的图象和性质如下表：
底数




图象





性
质
定义域

值域

定点
图象过定点
单调性
增函数
减函数

函数值的变化情况
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
对称性
函数与的图象关于轴对称
2、指数函数的底数对图象的影响
函数的图象如图所示：

观察图象，我们有如下结论：
2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
（1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.
（2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；
知识点三：指数函数的定义域与值域
1、定义域：
（1）指数函数的定义域为
（2）的定义域与函数的定义域相同
（3）的定义域与函数的定义域不一定相同.
2、值域
（1）指数函数的值域为
（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域
（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.
知识点四：指数函数的图象变换
已知函数
1、平移变换
①
②
③
④
2、对称变换
①
②
③
3、翻折变换
①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）
②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试

1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）是指数函数．( )
（2）指数函数中，a可以为负数．( )
（3）是指数函数．( )
【答案】     错误     错误     错误
（1）的指数位置是常数，不是变量，不符合指数函数的定义，故错误．
（2）指数函数的定义中规定：且，故错误．
（3）指数函数（且）中，不带有常数项，故错误．
2．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）函数的值域是．( )
（2）已知函数，若实数m，n满足，则．( )
（3）指数函数的图象过点．( )
（4）函数的定义域是R．( )
【答案】     ×     √     √     ×
（1）由，所以，所以函数的值域是，故错误；
（2）由函数为递增的函数，所以当时，，故正确；
（3）指数函数的图象过定点，故正确；
（4）令，所以函数的定义域是，故错误.
3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数若，则( )
A．       B．       C．1       D．2
【答案】D
∵
∴，又
∴
故选：D
第四部分：典 型 例 题 剖 析


重点题型一：指数函数的概念
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）在①；②；③；④；⑤中，是关于的指数函数的个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
根据指数函数的定义，知①⑤中的函数是指数函数，
②中底数不是常数，指数不是自变量，所以不是指数函数；
③中的系数是，所以不是指数函数；
④中底数，所以不是指数函数．
故选：B．
例题2．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中是指数函数的是________.
①；②；③；④；⑤；⑥.
【答案】①④
因为形如的函数为指数函数，
所以函数符合指数函数的定义，是指数函数；
符合指数函数的定义，是指数函数；
其它函数不符合指数函数的定义，不是指数函数，
故答案为：①④.

同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
①；②；③；④；⑤；⑥．
【答案】③
① 的系数不是，不是指数函数；
② 的指数不是自变量，不是指数函数；
③ 是指数函数；
④ 的底数是不是常数，不是指数函数；
⑤ 的指数不是自变量，不是指数函数；
⑥ 是幂函数．
故答案为：③
2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中指数函数的个数是_____________．
①；②；③；④（为常数，，）；⑤； ⑥；⑦
【答案】③④
根据指数函数的定义直接判断：形如（且）的函数是指数函数.
可知只有③，④（为常数，，）符合指数函数的定义.
故答案为：③④.
重点题型二：指数函数的图象及应用
角度1：指数型函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）若函数（且）的图像经过定点，则点的坐标是（  ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为，所以当，即时，函数值为定值0，所以点P坐标为.
另解：因为可以由向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由过定点，所以过定点.
故选：B
例题2．（2022·全国·高一）指数函数恒过的定点为_______．
【答案】
由函数恒过（0，1）点，
令 解得，此时，
则函数恒过点.
故答案为：．
角度2：指数函数图象的识别
典型例题
例题1．（2022·湖北武汉·高一期末）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
，则单调递增，故排除AC；
对于BD，单调递减，则，与y轴交于0和1之间，故排除B.
故选：D.
例题2．（2022·江西·高一阶段练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（       ）

A．， B．， C．， D．，
【答案】D
由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项；
分析可知
角度3：画指数函数的图象
典型例题
例题1．（2021·全国·高一课时练习）根据函数的图像，画出下列函数的图像．
（1）；   （2）；   （3）．
【答案】见解析
（1）函数的图像与的图像关于轴对称

（2）函数的图像与的图像关于直线对称

（3）将的图像位于轴左侧的图像去掉，
再将轴右侧的图像对称过来，


同类题型演练
1．（2022·四川省内江市第六中学高一开学考试）函数（且）的图象恒过定点（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为在函数中，
当时，恒有 ,
函数的图象恒过定点.
故选：B.
2．（2022·吉林·长春外国语学校高一开学考试）函数，且)恒过定点（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
当时， ，
所以函数恒过定点.
故选：C
3．（2022·内蒙古·呼和浩特市第十四中学高一期末）二次函数的图象顶点横坐标的取值范围为（，），则的图象大致为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：因为二次函数的图象顶点横坐标的取值范围为，
所以，即，所以：，
则函数是减函数，
又函数的图像是由函数的图像向下平移一个单位得到的，
故函数是减函数且过原点.
故选：.
4．（2021·陕西·武功县教育局教育教学研究室高一期中）如图是指数函数①y=；②y=；③y=cx；④y=dx的图象，则，b，c，d与1的大小关系是（       ）

A．a