高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数巩固练习

4.4对数函数（精讲）

目录

第一部分：思维导图（总览全局）

第二部分：知识点精准记忆

第三部分：课前自我评估测试

第四部分：典 型 例 题 剖 析

重点题型一：对数函数的概念

重点题型二：与对数函数有关的函数图象

重点题型三：与对数函数有关的定义域问题

重点题型四：与对数函数有关的值域问题

重点题型五：指数函数与对数函数关系的应用

重点题型六：对数函数的单调性及应用

角度1：利用对数函数的单调性比较大小

角度2：利用对数函数的单调性解不等式

角度3：对数型复合函数的单调性的问题

重点题型七：与对数函数图象有关的综合问题

重点题型八：与对数函数相关的综合问题

第五部分：新定义问题

知识点一：对数函数的概念

1、对数函数的概念

一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是.

判断一个函数是对数函数的依据

（1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数.

2、两种特殊的对数函数

特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作.

知识点二：对数函数的图象及其性质

函数的图象和性质如下表：

1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是(      )

A．       B．       C．       D．

2．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．

（1）函数（，且）的图象过定点．(        )

（2）函数（，且）在上是单调函数．(        )

（3）由函数的图象向左平移1个单位可得的图象．(        )

3．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．

（1）函数与互为反函数．(      )

（2）与的图象关于对称．(      )

4．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域是(      )

A．       B．       C．       D．

重点题型一：对数函数的概念

典型例题

例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（       ）

A．①②③ B．③④⑤

C．③④ D．②④⑥

例题2．（2021·全国·高一专题练习）给出下列函数：

①；②；③；④.

其中是对数函数的有（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

同类题型演练

1．（2022·全国·高三专题练习）函数 为对数函数，则等于

A．3 B． C． D．

2．（2021·全国·高一课时练习）下列函数中，是对数函数的是（       ）

A．y＝logxa(x>0且x≠1)

B．y＝log2x－1

C．

D．y＝log5x

3．（2021·全国·高一专题练习）下列函数是对数函数的是（       ）

A．y＝ln x B．y＝ln(x＋1)

C．y＝logxe D．y＝logxx

重点题型二：与对数函数有关的函数图象

典型例题

例题1．（2022·浙江浙江·高一期中）函数的图象的大致形状是（   ）

A． B．

C． D．

例题2．（2022·广东汕尾·高一期末）当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（   ）

A． B． 

C． D．

例题3．（2022·浙江省富阳中学高三阶段练习）设且，函数，，则函数在同一平面直角坐标系内的图象可能为（   ）

A． B．

C． D．

同类题型演练

1．（2022·广东·华南师大附中高一阶段练习）函数与的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

2．（2022·浙江·高三专题练习）已知（且，且），则函数与的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

3．（2022·浙江嘉兴·高二期中）在同一坐标系中，函数与的大致图象是（       ）

A． B．

C． D．

重点题型三：与对数函数有关的定义域问题

典型例题

例题1．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）函数的定义域为（    ）

A． B． C．   D．

例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

同类题型演练

1．（2022·山东济宁·高二期末）若函数的定义域为，则（       ）

A．3 B．3 C．1 D．1

2．（2022·福建·高二学业考试）函数的定义域是（       ）

A． B． C． D．

重点题型四：与对数函数有关的值域问题

典型例题

例题1．（2022·山西运城·高二期末）已知函数，则的值域为（   ）

A． B． C． D．

例题2．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域是________.

例题3．（2022·四川雅安·高一期末）若函数，则函数的值域为___________.

同类题型演练

1．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·河南·封丘一中高二期末（理））若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.

3．（2022·重庆八中高二阶段练习）函数的值域是_____________．

重点题型五：指数函数与对数函数关系的应用

典型例题

例题1．（2022·全国·高三专题练习）方程的解________．

例题2．（2022·陕西·长安一中高二期末（文））若关于的方程有解，则实数的取值范围为(       )

A． B． C． D．

同类题型演练

1．（2022·浙江·高三专题练习）方程的解是（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）若方程有解，则的最小值为（       ）

A．2 B．1 C． D．

重点题型六：对数函数的单调性及应用

角度1：利用对数函数的单调性比较大小

典型例题

例题1．（2022·陕西西安·高二期末（文））已知，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

例题2．（2022·云南玉溪·高一期末）设，则（   ）

A． B．

C． D．

例题3．（2022·广东珠海·高一期末）下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．且

例题4．（2022·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）已知，，，则（   ）

A． B． C． D．

角度2：利用对数函数的单调性解不等式

典型例题

例题1．（2022·浙江省乐清中学高一开学考试）函数的定义域是___.

例题2．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）函数的定义域为___________.

例题3．（2022·贵州遵义·高一期末）不等式的解集为______.

角度3：对数型复合函数的单调性的问题

典型例题

例题1．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调递增区间是（　　）

A． B．

C． D．

例题2．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（文））函数的单调递减区间为（  ）

A． B．

C． D．

例题3．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））函数的单调增区间为（   ）

A． B．

C． D．

同类题型演练

1．（2022·福建·福州三中高一期末）已知，且，成立的充分而不必要条件是（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高一专题练习）设函数，则使得成立的的取值范围为（       ）

A． B． 

C． D．

3．（2022·上海市延安中学高一期末）不等式的解集为___________.

4．（2022·山东·德州市第一中学高一期末）已知实数，且满足不等式，则不等式的解集为________．

4．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数的一个单调增区间是（     ）

A． B． C． D．

5．（2022·江苏南通·高二期中）函数的单调递增区间为（       ）

A． B． C． D．

6．（2022·北京·高三专题练习）函数的单调递增区间是（       ）

A． B． C． D．

重点题型七：与对数函数图象有关的综合问题

典型例题

例题1．（2022·山西大同·高一期末）已知函数恒过定点，则函数的单调递增区间为______．

例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图，则________．

例题3．（2022·四川成都·高一开学考试）函数（，且）恒过定点，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

例题4．（2022·全国·高三专题练习）若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图象是（    ）

A． B． 

C． D．

同类题型演练

1．（2022·山东省临沂第一中学高一开学考试）函数的图像恒过定点的坐标为_________.

2．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）已知，则满足的的取值范围是（       ）

A． B． 

C．                     D．

3．（2022·辽宁·高一期末）已知函数，若，则（       ）

A． B．

C． D．以上选项均有可能

4．（2022·湖南·高一期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

重点题型八：与对数函数相关的综合问题

典型例题

例题1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末）已知函数 在上单调递减，则的取值范围（     ）

A． B． C． D．

例题2．（2022·福建省福州第一中学高二期末）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

例题3．（2022·福建福州·高二期末）若，其中，则（       ）

A． B． C． D．

例题4．（2022·河南开封·高二期末（理））已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若实数满足，则的取值范围是______．

例题5．（2022·全国·高一）函数没有最小值， 则的取值范围是______．

例题6．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末）已知函数其中是常数.

(1)当时，求的值；

(2)当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围.

例题7．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数．

(1)设，若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过1，求的取值范围；

(2)若函数有且仅有一个零点，求的取值范围．

例题8．（2022·云南保山·高一期末）已知函数．

(1)求函数的值域；

(2)若，且，求实数的取值范围．

1．（2022·全国·高三专题练习）瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：，其中为反应速率常数，为摩尔气体常量，为热力学温度，为反应活化能，为阿伦尼乌斯常数．对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和（此过程中与的值保持不变），经计算，若，则（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）首位数定理：在进位制中，以数字为首位的数出现的概率为，几乎所有日常生活中非人为规律的统计数据都满足这个定理.已知某银行10000名储户的存款金额调查结果符合上述定理，则下列结论正确的是（       ）（参考数据：，）

A．存款金额的首位数字是1的概率约为

B．存款金额的首位数字是5的概率约为9.7%

C．存款金额的首位数字是6的概率小于首位数字是7的概率

D．存款金额的首位数字是8或9的概率约为9.7%

3．（2022·河北·高三阶段练习）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（       ）

A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h

4．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）区块链作为一种革新技术，已经被应用于许多领域，在区块链技术中，若密码的长度设定为比特，则密码一共有种可能，因此为了破解密码，最坏情况需要进行次运算，现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为（       ）参考数据：，

A．秒 B．秒 C．秒 D．秒

5．（2022·江西·高三阶段练习（理））法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，人们将“（为素数）”形式的素数称为“梅森素数”，目前仅发现个“梅森素数”，可以估计，这个“梅森素数”的位数为（参考数据：）（       ）

A． B． C． D．