数学人教A版 (2019)3.1 函数的概念及其表示一课一练

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3.1.2函数的表示法（精练）A夯实基础   B能力提升   C综合素养A夯实基础 一、单选题1．（2022·河南河南·高一期末）设，，则的值为（       ）A． B． C．1 D．e【答案】A解：因为，，所以，所以．故选：A2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数为一次函数，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】A设，则，解得，，．故选：A3．（2022·福建省德化第一中学高二阶段练习）设函数，则（       ）A．6 B．7 C．9 D．10【答案】B故选：B4．（2022·江苏·高一）函数f(x)＝若f(x)＝2，则x的值是(       )A． B．± C．0或1 D．【答案】A若f(x)＝2，①x≤－1时，x＋2＝2，解得x＝0(不符合，舍去)；②－1＜x＜2时，，解得x＝(符合)或x＝(不符，舍去)；③x≥2时，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去).综上，x＝.故选：A.5．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））已知，函数，若，则（       ）A．0 B．2 C．5 D．6【答案】B因为，所以，故选：B6．（2022·广西北海·高二期末（文））若函数，且，则实数的值为（       ）A． B．或 C． D．3【答案】B令（或），，，，.故选；B7．（2022·全国·高三专题练习）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系下中的大致图象是（       ）A． B．C． D．【答案】D因为二次函数开口向下，所以，所以的图象必在二四象限，可排除选项A，C因为过点，所以，所以，所以即过点，故选项B不正确，选项D正确；故选：D.8．（2022·全国·高三专题练习）若，则的解析式为（       ）A． B．C． D．【答案】D设，则，则，所以函数的解析式为.故选：D.二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（       ）A． B．C． D．【答案】AD设，由题意可知，所以，解得或，所以或.故选：AD.10．（2022·全国·高一）下列命题中，正确的有（       ）A．函数与函数表示同一函数B．已知函数，若，则C．若函数，则D．若函数的定义域为，则函数的定义域为【答案】BC解：的定义域是， 的定义域是或，两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误;函数，若，则所以，故B正确；若函数，则，故C正确；若函数的定义域为，则函数中，，所以，即函数的定义域为，故D错误.故选：BC三、填空题11．（2022·全国·高一专题练习）如图，曲线AB是抛物线的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线BC是双曲线的一部分，曲线AB与BC组成图形W．由点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”．那么______；若点，在该“波浪线”上，则的值为______，的最大值为______．【答案】     5     4     5∵，∴点，代入，解得；根据平移规律，确定点在抛物线上，且与的纵坐标相同，∴，∵抛物线的最大值为5，∴n的最大值为5.故答案为：5；4；5．12．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为，则实数的取值范围是_____________．【答案】由题意，当时，显然单调递减，则；当时，是开口向，对称轴为的二次函数，则，又函数的值域为，所以只需，解得.故答案为：.四、解答题13．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式：（1）已知f(＋1)＝x＋2；（2）若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．【答案】（1）f(x)＝x2－1(x≥1)；（2）f(x)＝x＋1；（3）f(x)＝x2＋x＋1.【解】(1)(方法1)(换元法)：设t＝＋1，，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(方法2)(配凑法)：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)用－x换x得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，与原式2f(x)－f(－x)＝3x＋1联立消去f(－x)得f(x)＝x＋1.(3)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y=，所以f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.14．（2021·全国·高一专题练习）已知（1）求；（2）若，求a的值；（3）若其图像与y=b有三个交点，求b的取值范围.【答案】（1）3（2）12（3）（1），，（2）当时，，当时，，解得，综上，（3）作出的图象，如图，由图象可知，当时，与y=b有三个交点.  B能力提升  1．（2021·河南·南阳中学高一阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（       ）A． B．C． D．【答案】A函数，则不等式等价于或者，解得：，解得：或，于是得或，所以不等式的解集是.故选：A2．（2021·福建·莆田第四中学高一期中）若函数满足，则（       ）A． B． C． D．【答案】A因为函数满足 ---①所以 ---②联立①②，得，解得，∴故选：A3．（2021·全国·高一专题练习）设函数 ，若，则实数的取值是_________.【答案】解：因为，所以当时，，因为，所以，令，所以，解得或（舍），所以所以当时，，解得，当时，，方程无解.所以实数的取值是故答案为：4．（2021·全国·高一专题练习）根据下列条件，求函数的解析式；（1）若满足，则____________；（2）已知函数满足，对任意不为零的实数，恒成立.（3）已知；（4）已知等式对一切实数､都成立，且；【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）.（1）因为①用代替，②由①②组成的方程组得.故答案为: .（2）将代入等式得出，联立，变形得：，解得.（3），令，由双勾函数的性质可得或，，或.（4）因为对一切实数､都成立，且，令则，又因为所以，即.C综合素养1．（2021·全国·高一课时练习）定义：表示不超过实数x的最大整数，称为“地板函数”．某学校高一年级要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时可增选1名代表，则各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用“地板函数”可以表示为（       ）A． B．C． D．【答案】C设各班人数除以10的余数为，当时，，，，；当时，，，，．故选：C．2．（2021·全国·高一课时练习）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）．（1）求及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？【答案】（1）；（2）甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元.解：（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120-x万元．∴，依题意得，解得．故．（2）令，则．∴．当，即万元时，y的最大值为44万元∴当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．