拓展一：指数函数+对数函数综合应用（定义域+值域+奇偶性+单调性）（精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高一数学上学期同步精讲精练（人教A版2019必修第一册）

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拓展一：指数函数+对数函数综合应用（定义域+值域+奇偶性+单调性）（精讲）
目录
重点题型一：指数（型）函数的值域（最值）
重点题型二：指数（型）函数的单调性
重点题型三：指数型函数的奇偶性
重点题型四：对数（型）函数的定义域
重点题型五：对数（型）函数的值域（最值）
重点题型六：对数（型）函数的单调性
重点题型七：对数（型）函数的奇偶性
重点题型一：指数（型）函数的值域（最值）
典型例题
1．（2023·全国·高三专题练习）定义：设函数的定义域为，如果，使得在上的值域为，则称函数在上为“等域函数”，若定义域为的函数（，）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
当时，函数在上为减函数，
若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，
则存在，（）使得，
所以，消去，得，
令，则，
当时，，所以在上是单调增函数，
所以符合条件的，不存在.
当时，函数在上为增函数，
若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，
则存在，（）使得，，即方程在上有两个不等实根，
即在上有两个不等实根，
设函数（），则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
所以，又，，
故，即.
故选：C.
2．（2022·江苏·华罗庚中学三模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：因为，所以的定义域为，，
当时，则在上单调递增，所以；
要使定义域和值域的交集为空集，显然，
当时，
若则，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若时在上单调递减，此时，
则，
所以，解得，即
故选：B
3．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
因函数的值域是，于是得函数的值域是，
因存在实数，使得，则，
因此，，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，则函数的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
函数是R上偶函数，因，即函数在R上单调递增，
而，，令，则，因此，原函数化为：，
显然在上单调递增，则当时，，
所以函数的值域为.
故选：A
5．（2022·全国·高一专题练习）设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．
【答案】
解：由，得，
即，   
，，
则，
，则，即．
故答案为：

6．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为_________．
【答案】
设，
因为，
所以当时，有最大值，
当时，有最小值，
即，
所以，即的取值范围是，
所以函数的最大值为，
故答案为：.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知当时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】
令3x＝t，当时，，则f（t）＝t2－mt＋m＋1>0在上恒成立，即函数在的图象在x轴的上方，而判别式，
故或，解得.
故答案为：.
8．（2022·河南·模拟预测（文））已知，，若对，，，则实数的取值范围是_________.
【答案】
因为对，，，
所以只需即可，
因为，，
所以，，
由，
解得
故答案为：.
9．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____．
【答案】（﹣∞，﹣2]
设，
若函数的值域为，，
则等价于，是值域的子集，
，
设，则，
则，
，
当对称轴，即时，不满足条件．
当，即时，则判别式△，
即，则，
即实数的取值范围是，.
故答案为：，
10．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））已知函数为偶函数，如有．
(1)求k的值；
(2)对任意，存在使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)因为函数为偶函数，所以，
，
即k的值为1.
(2)由（1）知，，
因为对任意，存在使得成立，
所以，设，，
，，所以根据对勾函数的性质可得在上单调递增，
即，
所以在上有解，即在上有解．
即，
设，因为，所以值域为，
所以，即．
11．（2022·湖北·赤壁市车埠高级中学高一期中）已知函数是上的奇函数，且
(1)求实数，的值，并求的值域；
(2)函数满足，若对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】(1)，，值域为；(2).
(1)解：由是上的奇函数，那么，则.
由可得，，解得，
所以，又，则，
所以的值域为.
(2)解：时，，所以，
由得：
，
即，
即在上恒成立.
令，，且，



，
∵，
∴，，，
∴，即，
∴在单调递增.
当时，，
所以，，
令，则，在单调递增.
，
因此，
所以的最大值为.
12．（2022·吉林·长春十一高高一期末）定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
(1)证明：在上是有界函数；
(2)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)解：， 则在上是严格增函数，
故，即 ，
故，故是有界函数；
(2)因为在上是以3为上界的有界函数，
所以在上恒成立，
令，则，
所以在时恒成立，
所以，在时恒成立，
函数在上严格递减，所以；
函数在上严格递增，所以.
所以实数a的取值范围是.
13．（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高一期末）已知函数.
(1)当时，求方程的解；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
(1)当时，由，可得，
则，所以或（舍去），解得.
故方程的解为2.
(2)由题意知在上恒成立，即在上恒成立.
又因为，所以，则.
因为，所以，
所以，即的取值范围是.
14．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一期末）设函数，．
(1)求函数的值域；
(2)设函数，若对，，，求正实数a的取值范围．
【答案】(1)；(2).
(1)∵，又，，
∴，当且仅当，即时取等号，
所以，
即函数的值域为．
(2)∵，
设，因为，所以，函数在上单调递增，
∴，即，
设时，函数的值域为A．由题意知，
∵函数，函数图象的对称轴为，
当，即时，函数在上递增，
则，即，
∴，
当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者，
而且，不合题意，
当，即时，函数在上递减，
则，即，满足条件的a不存在，
综上，．
重点题型二：指数（型）函数的单调性
典型例题
1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　　）
A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)
【答案】C
∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，
∴在R上是减函数，
∴，解得，
∴a的取值范围是．
故选：C．
2．（2022·浙江·玉环市坎门中学高一开学考试）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
∵在上单调递增，
∴，解得.
故选：B.
3．（2022·山东潍坊·高一期末）已知函数对于任意两个不相等实数，都有成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题可得，函数为单调递减函数，
当时，若单减，则对称轴，得：,
当时，若单减，则，
在分界点处，应满足，即，
综上：
故选：B
4．（2022·天津和平·高一期末）已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为对任意实数，都有成立，
所以在上为增函数，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：B
5．（2022·广东·高二期末）设函数，数列满足，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题意，解得．
故选：A．
6．（2022·上海虹口·高一期末）已知函数，若函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因函数在R上是严格减函数，则函数在上单调递减，
并且有，于是得，解得：，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
7．（2022·全国·高一期末）若函数是上的增函数，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
分段函数在上为单调递增函数，
需满足在各段内单调的基础上还得满足在临界点上左边界的值不大于右边界的值，
即且，，解得，
故选：D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]5.
∴实数m的取值范围是(5,+∞).
故选A.
3．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
由解得或，故选D.
4．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为R，则实数的取值范围是______．
【答案】或．
∵的定义域为R，
∴恒成立，
当，即或，
若，不等式等价为，此时，不恒成立，不满足条件．
若，不等式等价为，恒成立，满足条件．
当时，要使不等式恒成立，
则，
即或，
解得或，
综上可知，实数的取值范围是或．
故答案为：或．
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数的定义域为，则实数的取值范围为_____．
【答案】
函数的定义域为等价于对于任意的实数，恒成立
当时成立
当时，等价于
综上可得
重点题型五：对数（型）函数的值域（最值）
典型例题
1．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知函数，，对于任意，存在有，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
对于任意，存在有等价于.
由，函数单调递增，可得
，，对称轴为，
时，，
，
解得.
故选：B
2．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
函数，而函数是增函数，当时，，则当时，函数值域为，
因函数的值域为，因此，在当时，函数取尽一切负数，
当，即时，，不符合题意，当时，，也不符合题意，当时，为增函数，由可得，
则需，解得，
所以实数的取值范围是：.
故选：C
3．（2022·四川宜宾·高一期末）若函数的最小值是1，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
当时，，且，
因为函数的最小值是1，
所以当时，，
因为的对称轴为，且，
所以，所以.
故选：B.
4．（2022·全国·高一期末）已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
函数，而函数是增函数，当时，，则当时，函数值域为，
因函数的值域为，因此，在当时，函数取尽一切负数，
当，即时，，不符合题意，当时，，也不符合题意，
从而有，解得，
所以实数的取值范围是：.
故选：D
5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
∵，又函数的值域为R，
则，解得．
故选：C．
6．（2022·河南·封丘一中高二期末（理））若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.
【答案】
因为的最大值为0，所以应有最小值1，因此应有解得.
故答案为：.
7．（2022·河南·林州一中高一开学考试）若函数有最小值，则a的取值范围为______．
【答案】
当时，外层函数为减函数，要使函数有最小值，对于内层函数，，又，所以；
当时，外层函数为增函数，要使函数有最小值，对于内层函数，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
8．（2022·四川雅安·高一期末）若函数，则函数的值域为___________.
【答案】
由已知函数的定义域为
又，定义域需满足，
令，因为 ，
所以，
利用二次函数的性质知，函数的值域为
故答案为：.
9．（2022·全国·高一期末）已知函数的值域是R，则实数的最大值是___________；
【答案】8
当时，．
因为的值域为，则当时，．
当时，，
故在，上单调递增，
，即，
解得，即的最大值为8．
故答案为：8．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
值域为R，
设，所以可以取遍中任意一个数，所以
所以的取值为
故答案为：
11．（2022·全国·高一专题练习）已知，，求的最大值及相应的．
【答案】时，最大值为
，，
函数的定义域满足，即
设，，
由在区间上是增函数，．
从而要求在区间上的最大值，
只需求在区间上的最大值即可．
在上是增函数，
所以当，即时，．
综上可知，当时，的最大值为.
12．（2022·辽宁·义县高级中学高二阶段练习）已知幂函数 为偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数 的定义域为，求函数的值域．
【答案】(1)(2)
(1)由为幂函数，得，解得或,
当时，，符合题意；当时， ，不合题意，舍去．
所以．
(2)由知，，
则的解集为，
即和是方程的两根，由韦达定理，可知，
所以 ，
则 ，
即函数的值域为．
13．（2022·重庆·高一期末）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)设函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)偶函数，证明见解析
(2)
(1)为偶函数
证明：，
故，解得
的定义域为，关于原点对称
，
为偶函数
(2)若对任意的，总存在，使得成立
则

又，当且仅当，即取等号
所以


所求实数m的取值范围为
14．（2022·全国·高一阶段练习）已知函数，其定义域为．
(1)求实数m，n的值；
(2)若函数的最小值为－1，求a的值．
【答案】(1)，(2)
(1)由题意，不等式的解集是，
－3，1是方程的两实根，
∴，，即，．
(2)由于，
令，则
∵时，在上无最小值．
∴，∵时，在上是减函数，
∴
又，则，
即，解得
故若函数的最小值为－1，则．
15．（2022·辽宁·东港市第二中学高一开学考试）已知函数，.
(1)求实数的值；
(2)，.求的最小值、最大值及对应的的值.
【答案】(1)；
(2)时；时.
(1)因为，则，所以.
(2)由题设，，
令且，故，则，
当时；此时，
当时；此时.
16．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若，对于恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)令，，则，
函数转化为，，
则二次函数，，
当时，，当时，，
故当时，函数的值域为．
(2)由于对于上恒成立，
令，，则
即在上恒成立，所以在上恒成立，
由对勾函数的性质知在上单调递增，
所以当时，，
故时，原不等式对于恒成立．
重点题型六：对数（型）函数的单调性
典型例题
1．（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）若是定义在上的增函数，实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因为是定义在上的增函数，
所以，解得，
故选：B
2．（2022·江西吉安·高二阶段练习（文））已知是R上的增函数，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
因为是上的增函数，
所以函数在上为增函数，函数在上为增函数，且，
所以，
解得，
所以实数a的取值范围是
故选：A.
3．（2022·陕西·长安一中高一期末）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
函数是上的增函数，
所以，解得 ，
所以实数的取值范围是
故选：A.
4．（2022·河南驻马店·高一期末）函数为定义在R上的单调函数，则实数m的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由题意，函数为定义在R上的单调函数
且在单调递增
故在单调递增，即
且在处，
综上：
解得
故选：B
5．（2022·全国·高三专题练习）函数（a>0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（       ）
A．1