高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）课后复习题

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拓展二：函数与方程的综合应用（精讲）目录重点题型一：根据零点求参数重点题型二：求函数的零点（方程的根）的个数重点题型三：求零点的和重点题型四：函数与方程的综合应用 重点题型一：根据零点求参数典型例题1．（2022·广东深圳·高一期末）已知函数且在上无零点，在上有零点，则实数的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】D函数在上无零点，在上有零点，即方程在上无实数根，在上有实数根，即在上无实数根，在上有实数根，设，函数在上单调递增，且，恒成立，若，则在时，，故不满足条件.由于与的图象在上无交点，在上有交点，根据函数的图像可知，解得故选：D.2．（2022·天津和平·高一期末）已知函数有零点，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C，，函数有零点，与有交点，，即，故选：C3．（2022·北京大兴·高一期末）若函数恰有个零点，则的取值范围是 （       ）A． B． C． D．【答案】D因为时至多有一个零点，单调函数至多一个零点，而函数恰有个零点，所以需满足有1个零点，有1个零点，所以，解得，故选：D4．（2022·四川雅安·高一期末）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的根，从而函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，由可知，当时，函数是周期为1的函数，如图，在同一直角坐标系中作出函数的图象和函数的图象，数形结合可得，当即时，两函数图象有两个不同的交点，故函数有两个不同的零点.故选：A.5．（2020·河南·模拟预测（理））已知函数，若函数有零点，则实数a的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】B若函数有零点，即有解，即，问题转化为函数的图象与函数的图象有公共点.画出函数，即的大致图象如图所示.若函数有零点，结合图象可知，当时，函数有零点，所以实数的取值范围是.故选:B.6．（2021·广西·上林县中学高一期末）已知函数，若函数无零点，则实数a的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】A解：令，则的解为：，由题意可知：无解，又，即，又，即，解得：．故选：A.7．（2020·重庆一中高三阶段练习）若函数（其中，）存在零点，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C因为时，，所以，若函数若有零点，则，解得，故，又，∴实数的取值范围是．故选：C.8．（2020·陕西咸阳·高三阶段练习（文））若方程在上有实根，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】C方程即，由于，∴，即的取值范围为，故选：C.9．（2022·福建龙岩·高一期末）若函数 在 上存在零点，则实数的取值范围是________．【答案】解：令，则有，原命题等价于函数与在上有交点，又因为在上单调递减，且当时，，在上单调递增，当时，作出两函数的图像，则两函数在上必有交点，满足题意；当时，如图所示，只需，解得，即，综上所述实数的取值范围是.故答案为：．10．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知函数， 则使函数有零点的实数的取值范围是____________【答案】令，现作出的图象，如图：于是，当时，图象有交点，即函数有零点.故答案为：.11．（2021·江西·奉新县第一中学高一阶段练习）若函数有唯一的零点，则实数_______【答案】解：因为，所以所以即函数图象关于轴对称，故函数的图象与轴的交点也关于对称，又因为函数有唯一零点，故根据函数的对称性可知，只能交在，0），即（2），所以．故答案为：.重点题型二：求函数的零点（方程的根）的个数典型例题1．（2022·全国·高一专题练习）函数的零点个数是______．【答案】2解：令，则，作出函数的图象，由图可知，函数的图象有两个交点，故方程有两个不同的根，所以函数有2个零点.       故答案为：2.2．（2021·全国·高一课时练习）函数的零点个数为______个．【答案】1解：因为在R上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减，又，，所以,所以函数的零点个数为1个，故答案为：1.3．（2021·广西河池·高一阶段练习）方程的实根个数有___________个．【答案】由可得画出函数与函数的图象如图所示：由图可得两函数图象有一个交点，故方程有一个实根．故答案为： .4．（2020·安徽·立人中学高一期末（文））函数的零点个数为_____________；【答案】令，可得，则函数的零点个数等价于函数与的图象的交点个数，在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如下图所示：由图象可知，函数与的图象只有一个交点，因此，函数的零点个数为.故答案为：.5．（2020·湖北武汉·高一期中）已知，则方程的不等实根一共有____________个.【答案】4由得，函数的图象如图：由图可知，的图象与直线一共有个交点，所以方程的不等实根一共有个.故答案为：46．（2021·宁夏·银川市第六中学模拟预测（文））函数的零点个数为__________.【答案】2令，即画函数与函数的图象，如下图所示由图象可知，函数与函数有2个交点所以函数有2个零点.故答案为：2   重点题型三：求零点的和典型例题1．（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一期中）已知函数．若存在正实数，使得方程有三个互不相等的实根，，，则的取值范围是__________．【答案】由可看到，令，作出的函数图象如图所示：有三个不相等的实数根，，，直线与的图象有三个交点，设三个交点的横坐标从小到大分别为，，，由二次函数的对称性可知，令可得或（舍，，．即的取值范围是，故答案为：．2．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知函数的零点依次为a，b，c，则＝________【答案】因为函数与的图象关于对称，函数的图象关于对称，所以，又，所以.故答案为：3．（2022·江苏·高一期末）已知函数，若存在，使得，则的取值范围是___________.【答案】作出函数的图象，由图知当时，，在上单调递减，在上单调递增，令，若存在，使得，由图可得，由即，所以，因为函数的对称轴为，所以，所以，故答案为：.4．（2022·全国·高三专题练习）设函数关于的方程有四个实根，，，，则的最小值为___________.【答案】作出函数的大致图象，如图所示：当时，对称轴为，所以，若关于的方程有四个实根，，，，则， 由，得或，则，又因为，所以，所以，所以，所以，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.5．（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知函数，则关于的方程的所有实数根的和为_______.【答案】，或.方程的根可视为直线与函数图象交点的横坐标，作出函数和直线的图象如下图：由图象可知，关于的方程的实数根为、.由于函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，关于的方程存在四个实数根、、、如图所示，且，，，因此，所求方程的实数根的和为.故答案为：.6．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若互不相等的实数满足，求的取值范围.【答案】作出函数的图象，如图所示 不妨设，则关于直线对称，故，且满足；则的取值范围为；即．所以的取值范围为.重点题型四：函数与方程的综合应用典型例题1．（2022·湖南·株洲二中高一期末）已知函数， ．(1)试判断在其定义域上是否具有奇偶性，若有，请加以证明；(2)若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)函数为上的偶函数；证明见解析(2)或(1)偶函数，证明如下：证明：函数，定义域为，关于原点对称，所以函数为上的偶函数．(2)解：因为函数在上只有一个零点，所以关于x的方程有唯一的实数解，即方程有唯一的实数解，即有唯一的实数解，化简得，令，下面研究关于t的方程何时仅有一个正根.①当时，，符合题意；②当时，则，当时，，当时，（舍） 当，即时，，方程有异号的两个实根，符合题意；综上所述，实数a的取值范围为或.2．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知函数为偶函数.(1)求实数的值；(2)解关于的不等式；(3)设，函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)(1)由函数表达式可知定义域为，函数为偶函数即：   ，即.(2)， 任取，且，则，，，所以所以，所以在上递增，又因为为上的偶函数，，，即，解得，所求不等式的解集为(3)在上有两个不相等的实根令，则有两个不相等的正实根解得.3．（2022·河北武强中学高二期末）已知函数为奇函数．(1)求常数k的值；(2)当时，判断的单调性，并用定义给出证明；(3)若函数，且在区间上没有零点，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2)单调递增，证明见解析；(3).(1)由，即，所以，故，则，当时，显然不成立，经验证：符合题意；所以；(2)单调递增，证明如下：由（1）知：，若，则，而，即，所以，故单调递增.(3)由，令，所以，由（2）知：在上递增，而在上递减，所以在上递减，则.又在区间上无解，故4．（2022·四川自贡·高一期末）已知函数与.(1)判断的奇偶性；(2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)偶函数(2)(1)∵的定义域为R，∴，∴为偶函数.(2)函数只有一个零点即即方程有且只有一个实根.令，则方程有且只有一个正根.①当时，，不合题意；②当时，若方程有两相等正根，则，且，解得；满足题意③若方程有一个正根和一个负根，则，即时，满足题意.∴实数a的取值范围为.5．（2022·福建·高二期末）已知函数．(1)讨论函数的奇偶性，并说明理由；(2)当时，求证：方程在上至多有一个零点．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.(1)由，当时，，此时为偶函数；当时，，此时为奇函数；当时，，此时为非奇非偶函数.(2)由，令，则在上递增，所以，而，则，由对勾函数的性质知：在上递减，而，故上递减，所以在上递减，且值域为，所以要使，当时，方程仅有一个零点；当时，方程无零点.所以在上至多有一个零点，得证.6．（2022·江苏·高一期中）已知函数(1)若，求函数的零点个数；(2)已知，，若方程在区间[1，2]内有且只有一个解，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)(1)当时，当时，，则函数有一个零点； 当时，，则函数有两个零点.(2)等价于，设r(x)＝ax2－4x＋5，，则原命题等价于两个函数r(x)与s(x)的图象在区间[1，2]内有唯一交点，当a＝0时，r(x)＝－4x＋5在区间[1，2]内为减函数，为增函数，且r(1)＝1＞s(1)＝0，r(2)＝－3＜s(2)＝1，所以函数r(x)与s(x)的图象在区间[1，2]内有唯一交点，满足题意.当a＜0时，r(x)图象为开口向下，对称轴为x＝＜0的抛物线，所以r(x)在区间[1，2]内为减函数，为增函数．则由，可得，解得－1≤a≤1，所以－1≤a＜0.当0＜a≤1时，r(x)图象为开口向上，对称轴为x＝≥2的抛物线，所以r(x)在区间[1，2]内为减函数，为增函数．则由，可得，解得－1≤a≤1，所以0＜a≤1.综上所述，实数a的取值范围为[－1，1]7．（2022·上海虹口·高一期末）设函数，且．(1)作出函数的大致图像，并指出它的单调区间；(2)当实数a变化时，讨论关于x的方程的解的个数．【答案】(1)函数的图像见解析，递减区间为，，递增区间是，；(2)关于x的方程的解的个数见解析.(1)函数的图象可视为函数的图象向下平移1个单位而得，而函数的图象是二次函数的图象在x轴上方的不动，把x轴下方图象沿x轴向上翻折而得，的大致图像，如图：观察函数的图象得：函数的递减区间为，，递增区间是，.(2)依题意，关于x的方程的解就是直线与函数的图像交点的横坐标，如图，当时，直线与函数的图像无公共点，即方程的解的个数为0，当或时，直线与函数的图像有2个公共点，即方程的解的个数为2，当时，直线与函数的图像有4个公共点，即方程的解的个数为4，当时，直线与函数的图像有3个公共点，即方程的解的个数为3，综上得：当时，方程的解的个数为0，当或时，方程的解的个数为2，当时，方程的解的个数为3，当时，方程的解的个数为4.8．（2022·广东韶关实验中学高一期中）已知.(1)若函数的图象过点（1，1），求函数的解析式；(2)若函数只有一个零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)或(1)∵函数的图象过点（1，1），∴，解得此时(2)∵函数只有一个零点，只有一解，将代入，得，∴关于x的方程只有一个正根⑴当时，⑵当时:①若有两个相等的实数根，由，解得，此时，满足题意；②若方程有两个相异实数根，即一正一负，则两根之和与积为一，所以，此时方程有一个正根，满足题意综上：或9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.（1）求的解析式.（2）若方程有实数根，求实数a的取值范围.【答案】（1），；（2）.解：（1）设，因为，所以；且，所以，所以，；（2）设，，，所以当时函数有最小值，而，，所以，所以，所以.