人教版数学八年级上册专项培优练习七《等边三角形》（含答案）

人教版数学八年级上册专项培优练习七

《等边三角形》

一              、选择题

1.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6 cm，则AC等于(    )

A.6 cm            B.5 cm     C.4 cm            D.3 cm

2.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则BC∶AB等于(    )

A.2∶1            B.1∶2      C.1∶3            D.2∶3

3.如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为(　　)cm

A.1         B.2         C.3         D.4

4.一个正方形和一个等边三角形的位置如图所示，若∠2=50°，则∠1=(    )

A.50°　 　B.60°　 　C.70°　 　D.80°

5.如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E.如果AD=1，BC=6，那么CE等于(　　)

A.5         B.4         C.3          D.2

6.给出下列三角形：

①有两个角等于60°；

②有一个角等于60°的等腰三角形；

③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；

④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.

其中是等边三角形的是(     )

A.①②③     B.①②④     C.①③       D.①②③④

7.如图，已知D、E、F分别是等边 △ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是(　　)

A.△DEF是等边三角形          B.△ADF≌△BED≌△CFE

C.DE=AB                                    D.S△ABC=3S△DEF

8.已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是(　　)

A.3                        B.4                        C.8                           D.9

9.如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是(　　)

A.等腰三角形    B.等边三角形     C.不等边三角形     D.不能确定形状

10.如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB.DA=6cm，∠B+∠C=150°.CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP+PQ最小值是(　　)

A.12         B.15         C.16          D.18

11.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=(    )

A.3                                                   B.4                                       C.5                                       D.6

12.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是(     )

A.4                          B.5                            C.6                               D.7

二              、填空题

13.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，AE=10cm，则BC=      cm.

14.如图，M、N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN.则∠BAN=     　.

15.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8 cm，BD=_______，BE=_______.

16.如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=8m，

∠A=30°，则DE=     m.

17.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则=        .

18.如图，AC=4，点B是线段AC的中点，直线l过点C且与AC的夹角为60°，则直线l上有点P，使得∠APB=30°，则PC的长为        .

三              、解答题

19.如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t(s)，当t=2 s 时，判断△BPQ的形状，并说明理由.

20.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E.

(1)求证：△ACD≌△AED；

(2)若∠B=30°，CD=1，求BD的长.

21.如图，已知△ABC中，AD⊥BC，AB=AE，点E在AC的垂直平分线上.

(1)请问：AB、BD、DC有何数量关系？并说明理由.

(2)如果∠B=60°，证明：CD=3BD.

22.如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA.

(1)求证：∠BAD=∠EDC；

(2)作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由.

23.已知点A、C、B在同一条直线上，△DAC、△EBC均是等边三角形， AE、BD分别与CD、CE交于点M、N.

求证：(1)AE=BD；

(2)△CMN为等边三角形 

24.已知∠MAN，AC平分∠MAN，D为AM上一点，B为AN上一点.

(1)如图①所示，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；

(2)如图②所示，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.

25.已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上.

(1)如图1，若∠BAC=60°，点F与点C重合，求证：AF=AE+AD；

(2)如图2，若AD=AB，求证：AF=AE+BC.(提示：在FA上截取FM=AE，连接DM)

参考答案

1.D

2.B

3.C

4.C

5.B

6.D

7.D

8.C

9.D

10.D.

11.C

12.A

13.答案为：5.

14.答案为：90°；

15.答案为：4 cm，2 cm.

16.答案为：2.

17.答案为：.

18.答案为：4或2.

19.解：△BPQ是等边三角形.理由：

当t=2 s时，AP=2×1=2(cm)，BQ=2×2=4(cm).

∴BP=AB－AP=6－2=4(cm).

∴BQ=BP.

又∵∠B=60°，

∴△BPQ是等边三角形.

20.证明：(1)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，

∵在Rt△ACD和Rt△AED中

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)；

(2)∵DC=DE=1，DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∵∠B=30°，

∴BD=2DE=2.

21.解：(1)AB+BD=DC，

证明：∵AB=AE，AD⊥BC，

∴BD=DE，

∵点E在AC的垂直平分线上，

∴AE=CE，

∴AB+BD=AE+DE=CE+DE=DC；

(2)证明：∵AB=AE，AD⊥BC，∠B=60°，

∴∠BAD=30°，

∴2BD=AB，

∵DC=AB+BD=2BD+BD=3BD，

∴DC=3BD.

22.证明：(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ACB=60°.

又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC，∠EDC+∠DEC=∠ACB，

∴∠BAD+∠DAC=∠EDC+∠DEC.

∵DE=DA，

∴∠DAC=∠DEC，

∴∠BAD=∠EDC.

(2)猜想：DM=AM.理由如下：

∵点M、E关于直线BC对称，

∴∠MDC=∠EDC，DE=DM.

又由(1)知∠BAD=∠EDC，

∴∠MDC=∠BAD.

∵∠ADC=∠BAD+∠B，

即∠ADM+∠MDC=∠BAD+∠B，

∴∠ADM=∠B=60°.

又∵DA=DE=DM，

∴△ADM是等边三角形，

∴DM=AM.

23.证明：(1)∵△DAC、△EBC均是等边三角形

∴AC=DC，EC=BC，∠1=∠2=60°

∵∠ACE=∠1+∠3, ∠DCB=∠2+∠3

∴∠ACE=∠DCB.

在△ACE和△DCB中，

AC=DC，∠ACE=∠DCB， EC=BC 

∴△ACE≌△DCB(SAS)

∴AE=DB.

(2)由(1)可知：△ACE≌△DCB

∴∠CAE=∠CDB即∠CAM=∠CDN

∵△DAC、△EBC均是等边三角形

∴AC=DC，∠1=∠2=60°.

又∵点A、C、B在同一条直线上

∴∠1+∠2+∠3=180°

∴∠3=60°

∴∠1=∠3

在△ACM和△DCN中，∠CAM=∠CDN，AC=DC，∠1=∠3

∴△ACM≌△DCN(ASA)

∴CM=CN

∵∠3=60°

∴△CMN为等边三角形

24.解：(1)证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°，

∴∠CAB=∠CAD=60°.

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴∠ACB=∠ACD=30°，

∴AB=AD=AC，

∴AB+AD=AC.

(2)成立.理由：方法一：如图①，过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为E，F.

图①

∵AC平分∠MAN，

∴∠CAE=∠CAF.

又∵CE⊥AM，CF⊥AN，

∴CE=CF.

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，

∴∠CDE=∠ABC.

又∵∠CED=∠CFB=90°，CE=CF，

∴△CED≌△CFB，

∴ED=FB，

∴AB+AD=AF+FB+AE-ED=AF+AE.

由(1)可得AF+AE=AC，

∴AB+AD=AC.

方法二：如图②，在AN上截取AG=AC，连接CG.

图②

∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°，

∴∠MAC=∠CAB=60°.

又∵AG=AC，

∴△ACG为等边三角形，

∴∠AGC=60°，CG=AC=AG.

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠GBC=180°，

∴∠GBC=∠ADC.

又∵∠CAD=∠CGB=60°，AC=GC，

∴△CBG≌△CDA，

∴BG=AD，

∴AB+AD=AB+BG=AG=AC.

25.证明：(1)∵∠BAC=∠EDF=60°，

∴△ABC、△DEF为等边三角形，

∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ECA=60°，

在△BCE和△ACD中

∴△BCE≌△ACE(SAS)，

∴AD=BE，

∴AE+A=AE+BE=AB=AF：

(2)在FA上截取FM=AE，连接DM，

∵∠BAC=∠EDF，

∴∠AED=∠MFD，

在△AED和△MFD中

，

∴△AED≌△MFD(SAS)，

∴DA=DM=AB=AC，∠ADE=∠MDF，

∴∠ADE+∠EDM=∠MDF+∠EDM，

即∠ADM=∠EDF=∠BAC，

在△ABC和△DAM中，

，

∴△ABC≌△DAM(SAS)，

∴AM=BC，

∴AE+BC=FM+AM=AF.

即AF=AE+BC.