专题10二次函数中面积问题-2022-2023学年九年级数学上册考点精练（人教版）

专题10 二次函数中面积问题

方法1   割补法求面积

1．如图，直线l：与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线经过点B．

(1)求该抛物线的函数表达式：

(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值．

方法2   铅锤高水平宽求面积

2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E,点P为直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当t为何值时，△PAE的面积最大？并求出最大面积；

方法3    △=0时求面积最大

3．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点（－1，0），点C(0，－2)．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）若点是线段下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标．

类型拓展1  求四边形面积

4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过B、C两点，且与x轴的负半轴交于点A．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点D在直线BC下方的抛物线上，连接DC、DB，设四边形OCDB的面积为S，求S的最大值；

5．如图，抛物线与轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点，连接AC．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点E为直线BC上方的抛物线上的一动点（点E不与点B，C重合），连接BE，CE，设四边形BECA的面积为S，求S的最大值；

类型拓展2   抛物线上有且只有三个点

6．如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0）．

（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）设点P是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P点使得△PAB的面积是定值S，求这三个点的坐标及定值S．

7．如图，直线与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 经过 B、C 两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点 E 是抛物线上的一动点（不与 B，C 两点重合），△BEC 面积记为 S，当 S 取何值时，对应的点 E 有且只有三个？

8．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点是抛物线上的一动点，当为什么取值范围时，对应的点有且只有两个？

类型拓展3   综合运用

9．综合与实践

如图，二次函数的图象与轴交于点和，点的坐标是，与轴交于点，点在抛物线上运动．

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图2，当点在第四象限的抛物线上运动时，连接，，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积；

10．如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为，点是抛物线的顶点．

(1)求二次函数的关系式；

(2)点为线段上一个动点，过点作轴于点，若，的面积为，求与的函数关系式，并求当取得最大值时，点的坐标；

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，与轴交于点与轴交于点、，且点，，过点作平行于轴，交抛物线于点，点为抛物线上的点，且在的上方，作平行于轴交于点．

(1)求二次函数的解析式；

(2)当点在何位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积；

12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点．

（1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式；

（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值．