专题11二次函数中的等腰三角形-2022-2023学年九年级数学上册考点精练（人教版）

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专题11 二次函数中的等腰三角形类型一  在坐标轴上找点成等腰1．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B、C的坐标；(2)若点P在x轴上，且△PBC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．(1)解：令解得，∴A ， B 令，得，∴C ∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．(2)解：设P点的坐标为∵，∴，，当△PBC是等腰三角形时，分三种情况求解：①当时，由题意可得解得∴P的坐标为；②当时，由题意可得解得或∴P的坐标为或；③当时，由题意可得解得或（不合题意，舍去）∴P的坐标为；综上所述，P点的坐标为 或 或 或．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，对称的性质，二次函数与周长的综合，二次函数与特殊三角形的综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．如图，已知二次函数的图象与轴的两个交点为A（4，0）与点C，与y轴交于点B．（1）求此二次函数关系式和点C的坐标； （2）在轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵二次函数的图象与轴的一个交点为，∴，解得，∴此二次函数关系式为：，当时，解得，∴点的坐标为．（2）存在，设点P的坐标为（x，0），由题意得：AB2=42+32=25，AP2=（x-4）2，BP2=x2+9，①当AB=AP时，则25=（x-4）2，解得x=9或-1，∴P(9，0)或P（﹣1,0）；②当AB=BP时，同理可得x=4（舍去）或-4，∴P（﹣4,0）③当AP=BP时，如图所示∵OP=x，∴AP=BP=4－x在Rt△OBP中， ∴∴x=∴P（，0）综上点P的坐标为（9，0）或（-1，0）或（-4，0）或（，0）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．3．如图所示，关于的二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．（1）求二次函数的表达式；（2）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；解：（1）把和代入，解得：，，二次函数的表达式为：．（2）令，则，解得：或，，，点在轴上，当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当时，，或，；②当时，，；③当时，，此时与重合，；综上所述，点的坐标为：或或或．4．如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为，与轴的交点为，过的直线为．(1)求二次函数的解析式及点的坐标；(2)在两坐标轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)，(2)存在，点P的坐标为或【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得B点坐标（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得点P在线段的垂直平分线上，利用两点间距离公式求解即可(1)解：将代入，得解得c=3∴二次函数的解析式为∵点是二次函数与轴的交点所以点的横坐标为0将x=0带入解析式中，求得y=3所以点的坐标为(2)存在，满足题意的点P，使得是以为底边的等腰三角形.当使得是以为底边的等腰三角形，点P在线段AB的垂直平分线上①当点P在y轴上时，PA=PB设∵，∴ 解得此时②当点P在x轴上时，PA=PB设∵，∴ 解得此时综上所述：，，使得是以为底边的等腰三角形【点睛】此题考察了二次函数的相关知识点，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）抛物线和坐标轴的交点，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练运用相关知识点是解题关键类型二  在对称轴上找点成等腰5．如图，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A(﹣1，0)．（1）求B、C两点的坐标；（2）求该二次函数的解析式；（3）若抛物线的对称轴与x轴交于点D，则在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使NCD为等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）B(4，0)，C(0，2)；（2）；（3）存在，【解析】【分析】（1）令直线y＝x+2的x＝0，y＝0，求出对应的y和x的值，得到点C、B的坐标；（2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A、B、C的坐标求出解析式；（3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P的坐标．【详解】（1）对直线y＝x+2，当x＝0时，y＝2；y＝0时，x＝4，∴B（4，0），C（0，2）．（2）设二次函数为y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a≠0），∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），∴y＝a（x﹣4）（x+1），把点C（0，2）代入y＝a（x﹣4）（x+1）得：a（0﹣4）（0+1）＝2，解得：a＝，∴y＝（x﹣4）（x+1）＝x2+x+2．（3）存在，理由如下：∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），∴对称轴为直线x＝，∴D（，0），∵C（0，2），∴CD＝，①如图1，当DC＝DN时，DN＝，∴N1（，），N2（，﹣），②如图2，当CD＝CN3时，过点C作CH⊥DN3于点H，∵CD＝CN3，CH⊥DN3，∴DH＝N3H，∵C（0，2），∴DH＝2，∴N3H＝2，∴N3D＝4，∴N3（，4），③如图3，当N4C＝DN4时，过点C作CE⊥DN4于点E，设DN4＝t，则EN4＝2﹣t，CE＝，由勾股定理可知，（2﹣t）2+（）2＝t2，解得t＝．∴N4（，），综上所述：存在，使△NCD是等腰三角形．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，用到了分类讨论思想．6．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点．(1)求，两点的坐标．(2)求该二次函数的解析式．(3)若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，，，使是以为腰的等腰三角形【解析】【分析】（1）令直线的x=0，y=0，求出对应的y和x的值，得到点C、B的坐标；（2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A、B、C的坐标求出解析式；（3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P的坐标．(1)解：对直线，当时，，时，，，．(2)解：设二次函数为，二次函数图象经过，，，把点代入得：，解得：，．(3)解：二次函数图象经过，，对称轴为，，，，如图，当时，，，，如图，当时，过点作于点，，，，，，，，，综上所述：存在，，，使是以为腰的等腰三角形．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是用一般式或者两点式结合待定系数法求解，求点P的坐标的时候要学会用“两圆一中垂”找到P点，注意这里只要用“两圆”即可．7．如图，抛物线y=ax2-bx-3与x轴交于点A、C，交y轴于点B，OB=OC=3OA．(1)求抛物线的解析式及对称轴方程；(2)如图1，连接AB，点M是对称轴上一点且在第四象限，若△AMB是以∠MBA为底角的等腰三角形，求点M的坐标；(1)解：在y=ax2-bx-3中，令x=0得y=-3，∴B（0，-3），∴OB=3，∵OB=OC=3OA，∴OA=1，OC=3，∴A（-1，0）、C（3，0），把A（-1，0）、C（3，0）代入y=ax2-bx-3得：，解得，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，而y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴对称轴方程为x=1；(2)解：设M（1，m），而A（-1，0）、B（0，-3），∴MA2=4+m2，MB2=1+（m+3）2，AB2=10，△AMB是以∠MBA为底角的等腰三角形，分两种情况：①若MA=AB，则MA2=AB2，如图：∴4+m2=10，解得m=或m=-，∵M是对称轴上一点且在第四象限，∴M（1，），②若MB=MA，则MA2=MB2，如图：∴4+m2=1+（m+3）2，解得m=-1，∴M（1，-1），综上所述，M坐标为（1，）或（1，-1）；类型三  在抛物线上或已知直线上找点成等腰8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．(1)求这个二次函数的表达式；(2)直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．(1)将，代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式是；(2)，，，当时，①，解得，②，解得当时，，，解得或（舍当时，，，解得或（舍，当是等腰三角形时，的值为，，1，2．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．9．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．（1）求该二次函数的解析式；（2）探索：线段BM上是否存在点P，使PMC为等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵，∴，，代入中，得，解得，∴该二次函数的解析式为；（2）线段上存在点，，，使为等腰三角形.理由如下：设点的坐标为，由题意可得，，，①当时，，整理得，解得，（舍去），经检验是方程的根当，，此时；②当时，，整理得，∵△=40，∴，解得，（舍去），经检验是方程的根此时；③当时，，整理得，解得，经检验是方程的根此时；综上所述，线段上存在点，，，使为等腰三角形．【点睛】本题考查二次函数与几何综合题型，利用待定系数法求函数解析式；求坐标系中四边形的面积，需分割三角形与梯形来解，注意动点所在的位置决定了自变量的取值范围；等腰三角形分类考虑，可以用勾股定理，构造方程是解题关键．10．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C．（1）二次函数的表达式为　   　；（2）点M在直线BC上，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标； 解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2＋bx＋3得：，∴a＝，b＝，∴，故二次函数表达式为：；（2）当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标是（0，3），设直线BC的表达式为：y＝kx＋c（k≠0），将B（4，0），C（0，3）代入y＝kx＋c得：，∴，∴直线BC的解析式为：，使得△ABM为等腰三角形，存在如图所示的三种情况：过点M1作M1D⊥AB，∵A（﹣1，0），B（4，0），∴AD＝AB＝，∴OD＝，设M1（x，﹣x＋3），∴M1（，），∵△ABM为等腰三角形，∴AB＝BM2＝5或AB＝BM3＝5，设M2（x1，﹣x1＋3），∴BM2＝＝5，解得x1＝8或0，当x1＝0时，y＝3，当x1＝8时，y＝﹣3，∴点M为（0，3）或（8，﹣3）或（，）；11．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其对称轴与轴交于点．（1）点的坐标为___________，点的坐标为___________；（2）连接，在线段上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；解（1），当x=0时，y=-4，C（0，-4），当y=0时，，整理得：，变形得：，解得，∴B点坐标为（8,0）；（2）C(0,-4),B(8,0),设BC解析式为，把C、B坐标代入得，，解得，BC解析式为，为等腰三角形，点E在线段BC上，设E（x, ）D(3,0)，以DB为底边,作BD中垂线与BC交点为E，x=,，E，以BD为腰，当BD=EB=5时BE=，，，舍去，，E（），当ED=BD=5时点E与点C重合，E（0，-4），为等腰三角形符合条件的点的坐标为：E（0，-4），（），；类型四  综合探究12．如图，二次函数图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为，与y轴负半轴交于点C．若是等腰直角三角形，求a的值．探究：是否存在a，使得是等腰三角形？若存在，求出符合条件的a的值；不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，或，见解析.【解析】【分析】作于点E，根据是等腰直角三角形，即可求得D的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式，从而求得a的值．根据三边分别相等可以分三种情况：当时，根据勾股定理列方程：，可得a的值；当时，根据勾股定理列方程：，可得a的值；当时，由于，，不成立．【详解】如图，作于点E，，是等腰直角三角形，，则D的坐标是．设二次函数的解析式是，把代入得，解得：．存在，分三种情况：当时，，在中，，，，，设二次函数的解析式为：，将代入，，当时，，在中，，，，则，，，当时，，是AB的中点，而，，，不成立，或．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，第1问正确根据等腰直角三角形的性质求得D的坐标是关键，第二问根据等腰三角形的判定正确分类讨论是关键．13．综合与探究如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C．(1)求点A，B和C的坐标；(2)点P从点B出发沿以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，同时，点Q从点O出发以相同的速度沿x轴的正半轴向终点B运动，一点到达，两点同时停止运动．连接，当是等腰三角形时，请直接写出运动的时间．(1)解：把代入中，得．∴点C的坐标是．把代入中，得．解得，．∴点A的坐标是，点B的坐标是．∴点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是．(2)2秒，秒和秒解：设运动时间为t，根据题意，若要构成，则P、Q不与点B重合，t的取值范围为，∴，，如图，过点P作轴于点D，设点P的坐标为，则，， 根据勾股定理，在中，,，解得，（不符合题意，舍去），∴点P的坐标为，∵点Q的坐标为 ∴，∵，，，①当时，即，解得：；②当时，，解得：，（不符合题意，舍去），③当时，，解得：，（不符合题意，舍去），综上所述：当是等腰三角形时，时间为2秒，秒，秒．【点睛】本题考查二次函数综合运用，包括求抛物线与x轴的坐标，一次函数的解析式，利用坐标求线段长度，等腰三角形的性质，熟悉掌握求抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标以及等腰三角形的性质本题的解题关系．