专题19旋转模型之奔驰型-2022-2023学年九年级数学上册考点精练（人教版）

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 专题19 旋转模型之奔驰型1．如图，是等边三角形外一点，，，，求的度数．【解答】解：为等边三角形，，，可将绕点顺时针旋转得，连，如图，，，，，为等边三角形，，在中，，，，，为直角三角形，且，，．2．已知，如图，为等边三角形内一点，，，，求的面积．【解答】解：为等边三角形，，可将绕点逆时针旋转得，连，且延长，作于点．如图，，，，为等边三角形，，，在中，，，，，为直角三角形，且，．，在直角中，，．在直角中，．则的面积是．3．是等边内一点，，，，求的长．【解答】解：为等边三角形，，，把绕点逆时针旋转得到，如图，连接，，，，为等边三角形，，，，，在中，，，，．4．如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到．（1）求点与点之间的距离．（2）求的度数．【解答】解：（1）连接，由题意可知则，，是等边三角形，，，故为等边三角形，所以； （2），，，又，，利用勾股定理的逆定理可知：，则为直角三角形，且，为等边三角形，，5．如图①，在等腰中，，，点，分别是边，上的点，且，连接，如图②，将绕点顺时针旋转一定角度，使，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的面积．【解答】（1）证明：在等腰中，，，，分别是边，上的点，且，，，在和中，；（2）解：，，，，，，根据（1）可知，，，．6．已知为等边三角形，，分别是边，上的点，且，将绕点旋转至如图所示的位置，连接，交于点．（1）求证：；（2）连接，求证：是的平分线．【解答】证明：（1）为等边三角形，，分别是边，上的点，且，，为等边三角形，，，；（2）如图，过分别作于点，于点，，，，，在的平分线上，即是的平分线．7．如图①，和中，，点、分别在边、上，． （1）如图②，将绕点逆时针旋转到如图位置，若，求的度数；（2）如图②，将绕点逆时针旋转过程中，当旋转角度　或　时，直线与垂直；（3）如图③，绕点在平面内自由旋转，连接，且，，求的最大值和最小值．【解答】解：（1），，．（2）①垂足在线段上时，，，，，，即旋转角度；②垂足在线段延长线上时，，，，，旋转角度；故答案为：或．（3）当旋转到射线的延长线上时，最大，此时．当旋转到线段上时，最小，此时．的最大值是14，最小值是6．8．（1）如图1，点是等边内一点，已知，，，求的度数．要直接求的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内，如图2，作使，连接，，则是等边三角形．　　，是等边三角形，　　，　　在中，，，，　　（2）如图3，在中，，，点是内一点，，，，求的度数．【解答】解：（1）如图2，作使，连接，，则是等边三角形．，，是等边三角形，，，，，，在中，，，，故答案为：，，，90． （2）解：，，把绕点逆时针旋转得到，如图，，，，为等腰直角三角形，，，在中，，，，，，为直角三角形，，．9．如图，是等边三角形内的一点，连接，，，以为边作，且，连接．（1）观察并猜想与之间的大小关系，并说明理由．（2）若，，，连接，判断的形状并说明理由．【解答】解：（1）．理由如下：，且，为等边三角形，，，，在和中，，，； （2）等边和等边中，，，，，为直角三角形（勾股定理逆定理）．10．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形内有一点，且，，，求度数．小明发现，利用旋转和全等的知识构造△，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图．请回答：图1中的度数等于　　，图2中的度数等于　　．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在平面直角坐标系中，点坐标为，，连接．如果点是轴上的一动点，以为边作等边三角形．当在第一象限内时，求与之间的函数表达式．【解答】解：阅读材料：把绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质，，，，是等边三角形，，，，，，，；故；故答案为：；；如图3，在轴上截取，作轴于，轴于，连接和，点的坐标为，，，，，．是等边三角形，又是等边三角形，，，，．，又，．．且点在第一象限内，，．11．平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．（1）探究发现如图（1），是等边内一点，，，．求的度数．解：将绕点旋转到的位置，连接，则是　等边　三角形．，，，为　　三角形．的度数为　　．（2）类比延伸在正方形内部有一点，连接、、，若，，，求的长；（3）拓展迁移如图（3），在四边形中，线段与不平行，，与交于点，且，比较与的大小关系，并说明理由．【解答】解：将绕点旋转到的位置，连接，则是等边三角形．，，，，为直角三角形，的度数为故答案为：等边；直角；（2）如图1，把绕点顺时针旋转得到，则，，旋转角是，，是等腰直角三角形，，，，，，在△中，由勾股定理得，；（3），理由如下：如图2所示，以为边向左做等边三角形，连接，则，，，，四边形是平行四边形，，在中，可得：，即．12．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知中，，，是内的一点，且，，，求的度数．小强在解决此题时，是将绕旋转到的位置（即过作，且使，连接、．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设是等边内一点，，，，求的度数．【解答】解：（1）如图1，由题意得：；；由勾股定理得：；，，，，，．（2）如图2，将绕点逆时针旋转到的位置，连接；则，，；为等边三角形，，；，，，，，．13．如图，是等腰内一点，，连接，，．（1）如图1，当时，将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形；（2）在（1）中，若，，，求的大小；（3）当时，且，，，则的面积是　　（直接填答案）【解答】解：（1）如图1所示，△即为所求； （2）如图2，连接．将绕点顺时针旋转，与△重合，△，，，，，是等腰直角三角形，，．在中，，，，，△是直角三角形，，； （3）如图3①，将绕点逆时针旋转得到△，连接，△，，，，是等边三角形，，，，，，△是直角三角形，，，，；△，；如图3②，同理可求：和的面积的和，和的面积的和，的面积，的面积的面积与的面积的和．故答案为．14．（1）如图①，是正方形内一点，连接，，．①画出将绕点顺时针旋转得到的△；②若，，，求的长．（2）如图②，设是等边三角形内的一点，，，，则的度数是 　　．【解答】解：（1）①如图，△为所作；②连接，如图，绕点顺时针旋转得到的△，，，，，为等腰直角三角形，，，，在△中，．（2）为等边三角形，，可将绕点逆时针旋转得，如图②，连接，，，，为等边三角形，，，在中，，，，，为直角三角形，且，．故答案为．15．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，是正方形内一点，连结，，现将绕点顺时针旋转得到的△，连接．若，，，则的长为 　　，正方形的边长为 　　．（变式猜想）（2）如图2，若点是等边内的一点，且，，，请猜想的度数，并说明理由．（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图3，在四边形中，，，，则的长度为 　　．【解答】解：（1）绕点顺时针旋转得到的△，，，，，为等腰直角三角形，，，，在△中，由勾股定理得：，过点作交的延长线于，如图1所示：，，是等腰直角三角形，，，在中，由勾股定理得：，故答案为：，；（2）的度数为，理由如下：是等边三角形，，，将绕点逆时针旋转，得到△，连接，如图2所示：则是等边三角形，，，，，，为直角三角形，，；（3），是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，如图3所示：由旋转的性质得：，，，是等腰直角三角形，，，，是直角三角形，，，故答案为：．16．下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．（1）如图1，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数．解：将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形．，，，．为　直角　三角形．的度数为　　．（2）类比延伸如图2，在正方形内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）如图1，将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形．，，，．为直角三角形．的度数为．故答案为：直角；； （2）．理由如下：如图2，把绕点顺时针旋转得到，连接．则，，，是等腰直角三角形，，，，，，在△中，由勾股定理得，，．17．问题提出（1）如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小．问题探究（2）在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小．问题解决（3）如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，连接点、，与直线交于点，点 即为所求．（2）如图2，把绕点逆时针旋转得到△，由旋转的性质，，，，是等边三角形，，，，，，，；故；（3）如图连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质，，，，，，，△、是等边三角形，，，根据两点间线段距离最短，可知当时最短，是等边三角形，以为一边作等边三角形，最小值为的长，此时点在线段上，点为、的交点．若点与点重合，即在对角线 上，则点为与的交点，此时点（E）与点重合，显然不符合题意，故点不在对角线上，即对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小．18．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形内有一点，且，，，求的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．（1）请你回答：图1中的度数等于　　．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图3，在正方形内有一点，且，，，求的度数和正方形的边长．【解答】解：（1）如图2，把绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质，，，，是等边三角形，，，，，，，；故；故答案为．（2）如图3，把绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，故，，点、、三点共线，过点作于，则，，在中，．