2022-2023学年浙江省金华市义乌市绣湖中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省金华市义乌市绣湖中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 如图，是▱内一点，连结与▱各顶点，▱各顶点分别在边、、、上，且，若与的面积和为则▱的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 要使在实数范围内有意义，则(    )

A. 为任何值 B.  C.  D.

3. 下列二次根式计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

5. 某校举办主题为“关爱身心健康，致敬可爱守护者”的演讲比赛，进入决赛的名选手的成绩单位：分分别为：，，，，，，则这组数据的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，点在▱的对角线上，，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，边在轴正半轴上，，反比例函数的图象经过点，交菱形对角线于点，轴于点，则长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在正方形的对角线上取一点使得，连接并延长到，使，与相交于点，若，有下列结论：；；；则其中正确的结论有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20分）

11. 已知是关于的二次函数，那么的值为______．
12. 甲、乙两人进行射击测试，每人次射击成绩的平均数都是环，方差分别是：，，则射击成绩较稳定的是______填“甲”或“乙”
13. 如果一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，那么这个多边形是______ 边形．
14. 已知反比例函数，若，且，则的取值范围是______．
15. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为其中为常数且，则称点为点的“关联点”已知点在反比例函数的图象上运动，且点是点的“关联点”，当线段最短时，点的坐标为______．

三、解答题（本大题共9小题，共70分）

16. 如图是伸缩式雨棚的实物图，由骨架与伞面两部分组成，可抽象成矩形如图，其中实线部分表示雨棚的骨架，矩形为雨棚的伞面，固定不动，当横杆自由伸缩时，骨架与伞面也跟着伸缩，当点，，在一条直线上时，雨棚伞面面积最大，伸缩过程中伞面始终是矩形．若测得，，，．
    
    当时，雨棚伞面的面积等于______；
    当时，雨棚伞面的面积等于______．
17. 计算题：
    ；
     
18. 解一元二次方程：
    ；
    ．
19. 已知点、分别是▱的边、的中点．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，求▱的周长．

20. 甲乙两位同学参加数学综合素质测试，各项成绩如下表：单位：分

分别计算甲、乙同学成绩的中位数；
如果数与代数，空间与图形，统计与概率，综合与实践的成绩按：：：计算，那么甲、乙同学的数学综合素质成绩分别为多少分？

21. 如图，在方格纸中，点，，都在格点上称为格点三角形，即格点，用无刻度直尺作图．
    在图中的线段上找一个点，使；
    在图中作一个格点，使与相似．
     

22. 如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于、两点，轴，垂足为，的面积是．
    求、的值；
    求直线的解析式．

23. 已知一块矩形草坪的两边长分别是米与米，现在要把这个矩形按照如图的方式扩大到面积为原来的倍，设原矩形的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：
    类比反比例函数可知，函数的自变量的取值范围是______，这个函数值的取值范围是______．
    “数学兴趣小组”进一步思考函数的图象和性质，请根据函数的图象，画出函数的图象；
    结合函数的图象解答下列问题：
    求出方程的根；
    如果方程有个实数根，请直接写出的取值范围．

24. 如图，抛物线经过，，三点，为直线上方抛物线上一动点，于．
    
    求抛物线的函数表达式；
    如图，求线段长度的最大值；
    如图，设的中点为，连接，，是否存在点，使得中有一个角与相等？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形与四边形是平行四边形，
，，，，
，
，，
，
∽，
，
，
同理，，
，
与的面积和为，
▱的面积．
故选：．
根据平行四边形的性质和平行线的性质推出，，根据相似三角形的性质得到，同理，，于是得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
解得．
故选：．
二次根式的被开方数是非负数，即通过解该不等式求得的取值范围．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，所以选项错误；
B、原式，所以选项错误；
C、原式，所以选项错误；
D、原式，所以选项正确．
故选：．
根据二次根式的性质对各选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，把代入方程得：
，
解得：或，
该方程是一元二次方程，
，
，
．
故选：．
方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．
本题主要考查了方程解的定义，已知是方程的解实际就是得到了一个关于的方程．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可知，名选手的成绩中出现次数最多的是，故众数为，
将这组数据排好顺序为：，，，，，，故中位数为，
故选：．
根据中位数和众数的定义求解可得．
本题主要考查众数和中位数，熟练掌握中位数和众数的定义是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故选：．
先利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质得到，由三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
画出函数图象，利用图象法即可解决问题．
本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：函数图象如图所示：

，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：作于．

，设，则，，
，
，
或舍弃，
，
四边形是菱形，
，设，则，
，
，
或舍弃，
，
，
故选：．
作于分别求出、即可解决问题；
本题考查反比例函数图象上的点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查对正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．
由正方形的性质可以得出，，通过证明≌，就可以得出；
在上取一点，使，连结，再通过条件证明≌就可以得出；
过作交于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可求出高，根据三角形的面积公式即可求得；
解直角三角形求得，根据等边三角形性质得到，然后通过证得∽，求得．
【解答】
证明：四边形是正方形，
，，．
在和中，
，
≌，
，故正确；
在上取一点，使，连结，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
，，
，
，
在和中，

≌，
，
，
，故正确；
过作交于，
根据勾股定理求出，
由面积公式得：，
，
，，
，，

，故正确；
在中，，
是等边三角形，
，
，
，
∽，
，故错误；
综上，正确的结论有，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：是关于的二次函数，
，且，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次函数的定义分析得出答案．
此题主要考查了二次函数的定义，正确把握系数与次数是解题关键．
 

12.【答案】甲 

【解析】解：，，
，
射击成绩较稳定的是甲；
故答案为：甲．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

13.【答案】六 

【解析】解：设多边形的边数为，依题意，得：
，
解得，
故答案为：六．
边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解．
本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．
 

14.【答案】或 

【解析】解：且，
时，，
在第三象限内，随的增大而减小，
；
当时，，在第一象限内，随的增大而减小，
则
故的取值范围是：或．
故答案为：或．
利用反比例函数增减性分析得出答案．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数增减性是解题关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：设，
点是点的“关联点”，

点在函数的图象上，
，
即：或，
当点在直线上时，
设直线与轴、轴相交于点、，则、，
当时，线段最短，此时，
由，可得点；
设直线时，同理可得点；
故答案为：或
由点是点的“关联点”，可设点坐标，表示出点坐标，由点在函数的图象上，就得到点在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点、，过作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段，此时最小，由可得出点的坐标．
考查反比例函数的图象上点的坐标特征、一次函数的图象和性质等知识，合理地把“坐标与线段的长”互相转化，是解决问题的关键，由于新定义一种概念，切实理解“关联点”的意义是解决问题的前提．
 

16.【答案】   

【解析】解：连接，如右图所示，
，，，
，
，，
，
，
雨棚伞面的面积是：，
故答案为：；
过点作交于点，交于点，如图所示，
则，
，，
，
解得，
，
，，
，
，，
，
，
，
当时，雨棚伞面的面积是，
故答案为：．
根据勾股定理可以得到的长，然后再根据，，即可求得的长，然后即可计算出当时，雨棚伞面的面积；
根据锐角三角函数可以求得和的长，然后计算出的长，即可得到的长，然后即可计算出当时，雨棚伞面的面积．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，求出矩形的宽．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
先根据完全平方公式计算，然后根据平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

18.【答案】解：，
，
，
或，
解得，；

，
，
，
或，
解得，． 

【解析】把看作一个整体，先移项，然后利用因式分解法解方程；
把看作一个整体，先移项，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
点、分别是▱的边、的中点，
，，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：，，是的中点．
，
平行四边形是菱形，
▱的周长． 

【解析】根据平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论；
根据直角三角形斜边上的中线性质得到，再证平行四边形是菱形，于是得到结论．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：甲的中位数，乙的中位数；

甲的数学综合成绩，
乙的数学综合成绩． 

【解析】由中位数的定义求解可得；
根据加权平均数的定义计算可得．
此题考查了中位数和加权平均数，用到的知识点是中位数和加权平均数，掌握它们的计算公式是本题的关键．
 

21.【答案】解：如图，点即为所求；

如图，即为所求． 

【解析】根据“字形”相似，可得：：，从而得出点的位置；
根据，，即可画出．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：直线与双曲线相交于、两点，
点横坐标为，即，
的面积为，
，
将代入，可得，；

设直线的解析式为，
经过点、
，
解得，，
直线的解析式为． 

【解析】由题意，根据对称性得到的横坐标为，确定出的坐标，根据三角形的面积求出的纵坐标，确定出坐标，将坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出与的值；
设直线解析式为，将与坐标代入求出与的值，即可确定出直线的解析式．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性质，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：的自变量的取值范围是，这个函数值的取值范围是，
故答案为：；．
函数的图象，如图所示：

方程该方程的根是；
如果方程有个实数根，则的取值范围是或．
根据函数本身的性质，分母不为零可得出的取值范围；进而可求出的取值范围；
根据函数的平移可知，函数可看作反比例函数的图象向左平移个单位，再向下移动个单位得到；函数的图象即的图象，轴下方的图象关于对称后得到的图象；
由中的函数图象可得出方程的根；
方程根的个数情况，可看作函数与的交点的个数问题，由图象可得出结果．
本题主要考查函数图象的应用，涉及函数的平移，数形结合思想等内容，熟知函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”由反比例函数得出给出题干中函数图象是解题关键．
 

24.【答案】解：由题意，得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
设直线的解析是为，，
解得
，
设，，过点作轴交于点，
如图，
，
，
，，
∽，
，
，，
，

当时，取最大值，最大值是，
假设存在这样的点，使得中有一个角与相等，
点为的中点，
，，
过点作，交的延长线于点，过点作轴，垂足为，
如图，
若，
，
，
∽，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，
解得
直线的解析式为，
，
解得，或舍．
若，
同理可得，，，
，
同理可得，直线的解析是为，
，
解得或舍，
综上所述，存在点，使得中有一个角与相等，点的横坐标为或． 

【解析】根据待定系数法，可得函数解析式；
根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，根据相似三角形的判定与性质，可得的长，根据二次函数的性质，可得答案；
根据正切函数，可得，根据相似三角形的性质，可得，，根据待定系数法，可得的解析式，根据解方程组，可得答案．
本题考查了二次函数综合题，解的关键是待定系数法，解的关键是利用相似三角形的性质得出的长，又利用了二次函数的性质；解的关键是利用相似三角形的性质得出点的坐标，由；利用了待定系数法求函数解析式，解方程组的横坐标．