2022-2023学年广东省茂名市高州一中附属实验中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

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2022-2023学年广东省茂名市高州一中附属实验中学九年级（上）开学数学试卷  一、选择题（本题共10小题，共30分）下列方程中是一元二次方程的是(    )A.  B.
C.  D. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是(    )A.  B.  C.  D. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是(    )A. 两组对边分别相等 B. 两组对边分别平行
C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直下列图标既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是(    )A.  B.
C.  D. 要使分式的值为，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 若，则下列结论正确的是(    )A.  B.  C.  D. 如图，在中，，、，四边形是正方形，则正方形的面积是(    )A.
B.
C.
D. 如图，点是的平分线上一点，于点已知，则点到的距离是(    )A.
B.
C.
D. 如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿方向平移得到若，，，则图中阴影部分面积为(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点，若，，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本题共5小题，共15分）因式分解：______．年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”敦厚可爱，深受大家欢迎．某生产厂家月份平均日产量为个，随着冬奥会的举行，“冰墩墩”一路走红，供不应求．为满足市场需求，工厂决定扩大产能，月份平均日产量达到个，设至月份冰墩墩日产量的月平均增长率为，则可列方程为______．一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数为          ．若一个直角三角形的两边长分别为和，则其斜边上的中线长为______．如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列结论：
；
四边形的周长为；
；
的最小值为，
其中结论正确的有：______填序号三、解答题（本题共8小题，共75分）解不等式组：先化简，再求值：，其中．已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，且是的中点．
求证：≌；
求证：四边形是平行四边形．
如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
请画出将向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到的；
请画出与关于原点对称的；
直接写出，两点的坐标．
已知一元二次方程．
当时，求方程的根．
若为任意实数，请判断方程根的情况，并说明理由．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少元，且用元购进甲商品的数量与用元购进乙商品的数量相同．
求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的倍还少个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过个，则商场最多购进乙商品多少个？如图，已知中，，于点，的平分线分别交，于点、．
试说明是等腰三角形；
若点恰好在线段的垂直平分线上，猜想：线段与线段的数量关系，并说明理由；
在的条件下，若，求的面积．
如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
 求证：矩形是正方形；求的值；若恰为中点，连接交于点，请直接写出的长．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 2.【答案】 【解析】解：，
，
则，即．
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：菱形的性质有两组对边平行，两组对边相等，对角线互相垂直平分，平行四边形的性质有，两组对边平行，两组对边相等，对角线互相平分，
菱形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相垂直，
故选：．
由菱形的性质可直接求解．
本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 5.【答案】 【解析】解：由题意得，且．
．
故选：．
根据分式的值为的条件分子为，分母不为解决此题．
本题主要考查分式的值为的条件，熟练掌握分式的值为的条件是解决本题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：、不等式的两边同时乘，不等号的方向不变，即，故此选项不符合题意；
B、当时，，故此选项不符合题意；
C、不等式的两边同时加上，不等号的方向不变，即，故此选项不符合题意；
D、不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，即，故此选项符合题意．
故选：．
根据不等式的性质分析判断．
本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 7.【答案】 【解析】解：由勾股定理得，
，
正方形的面积为，
故选：．
利用勾股定理求出，即可得出正方形的面积．
本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：过点作于，如图，
平分，，，
，
即点到的距离为．
故选：．
过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 9.【答案】 【解析】解：沿方向平移得到，
，≌，
，，
即，

故选：．
先根据平移的性质得到，≌，则，，所以，然后根据梯形的面积公式计算即可．
本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行或共线且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
 10.【答案】 【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，，
是等边三角形，
，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，
故选：．
首先利用矩形的性质说明是等边三角形，得，再利用三角形中位线定理可得答案．
本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：原式
．
故答案为：．
根据提公因式法即可得出答案．
本题考查了提公因式法，掌握如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：设至月份冰墩墩日产量的月平均增长率为，
依题意得：，
故答案为：．
根据月份及月份生产的冰墩墩的平均日产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】
解：设多边形的边数为，则根据题意有，
解得，
所以这个多边形是六边形．
故答案为：．  14.【答案】或 【解析】解：当和均为直角边时，
斜边，
则斜边上的中线等于，
当为直角边，为斜边时，
则斜边上的中线等于，
所以，斜边上的中线长为或，
故答案为：或．
分两种情况，当和均为直角边时，当为直角边，为斜边时，进行计算即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，分两种情况进行计算是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：连接，

是正方形的对角线，则，
而，则为等腰直角三角形，
，
，
，
四边形为正方形，
，
四边形是矩形，
，
；
故正确；

四边形为矩形，
四边形的周长；
故正确；

四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
；
故正确；

由，
当最小时，最小，
则当时，即时，的最小值等于；
故不正确；
综上，正确．
故答案为：．
证明是等腰直角三角形，则，即可判断；
根据可知四边形为矩形，则四边形的周长，即可判断；
证明≌，则，根据矩形对角线相等得，即可判断；
当时，即时，的最小值等于，即可判断．
本题综合考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 16.【答案】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
故不等式组的解集为． 【解析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
 17.【答案】解：，
，
，
，
当时，原式． 【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将的值代入进行计算即可
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键，并注意将结果分母有理化．
 18.【答案】证明：
，，
是的中点，
，
在和中，

≌，
由知≌，
．
又，
四边形是平行四边形． 【解析】根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 19.【答案】解：如图，即为所求；

如图，即为所求；
由作图知，，． 【解析】根据平移的性质，作出对应点即可；
根据旋转的性质，作出对应点即可；
根据点的位置，即可得出坐标．
本题主要考查了作图平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
 20.【答案】解：当时，原方程为，
分解因式得，，
，或，
，；

若为任意实数，方程总有两个不相等的实数根，理由如下：
，
若为任意实数，方程总有两个不相等的实数根． 【解析】将代入方程，利用因式分解法即可求出方程的根；
根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此即可得知：若为任意实数，方程总有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：掌握因式分解法解一元二次方程的步骤；牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．
 21.【答案】解：设每个甲商品的进价为元，则每个乙商品的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每个甲商品的进价为元，每个乙商品的进价为元．
设购进个乙商品，则购进个甲商品，
依题意得：，
解得：．
答：商场最多购进乙商品个． 【解析】设每个甲商品的进价为元，则每个乙商品的进价为元，利用数量总价单价，结合用元购进甲商品的数量与用元购进乙商品的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出甲商品的进价，再将其代入中即可求出乙商品的进价；
设购进个乙商品，则购进个甲商品，根据购进甲、乙两种商品的总数量不超过个，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 22.【答案】解：，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
即，
，
即是等腰三角形；
，
理由是：在线段的垂直平分线上，
，
，
，，
，
，
；

如图，过作于，

，，，
，，
设，则，
由勾股定理得：，
即，
解得：，即，
，
的面积． 【解析】求出，根据三角形的外角性质求出，根据等腰三角形的判定得出即可；
求出，根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可；
过作于，求出的长，利用勾股定理与角平分线的性质求出高的长，再根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形的面积，三角形的外角性质、含角的直角三角形性质、勾股定理等知识，能综合运用三角形知识进行推理和计算是解此题的关键．
 23.【答案】解：如图，作于，于．

四边形是正方形，
，
于，于，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，

≌，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形．
四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，
，
在和中，

≌，
，
．
． 【解析】【分析】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质和判定、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，作于，于只要证明≌即可解决问题；
只要证明≌，可得即可解决问题；
如图，作于想办法求出，即可解决问题．
【解答】
解：见答案；
见答案；
如图，作于．

四边形是正方形，
，，
是中点，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
∽，
：：：，
，
，
在中，．