2022-2023学年福建省福州一中、三牧中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州一中、三牧中学九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列图案中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列计算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 以下正方形的边长是无理数的是(    )

A. 面积为的正方形 B. 面积为的正方形
C. 面积为的正方形 D. 面积为的正方形

5. 直线不经过的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6. 菱形两条对角线的长分别为和，则该菱形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某同学对数据，，，，，进行统计分析，发现两位数“”的个位数字模糊不清，则下列统计量一定不受影响的是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

8. 福州以著名的坊巷文化而闻名，美丽的三牧坊宽不足米，长不到米，从卫前街进入三牧坊，走不到百米，便能看到一所百年学府福州一中，它是众多福州人的记忆所在．位于三牧坊内的福州一中的侧门保留了中国古代典型的双开木门结构，如图、图为图的平面示意图，从点处推开双门，双门间隙的长度为米，点和点到门槛的距离都为米，则的长是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9. 如图，正方形的边长为，为边的中点，点在边上，点关于直线的对称点记为，连接，，当点在边上移动使得四边形成为正方形时，的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知点，在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 四边形的内角和是，五边形的外角和是，则与的大小关系是： ______
12. 若一次函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是______．
13. 如图，直线，含角的三角板的直角顶点在上，顶点在上，边与交于点，如果，，那么点到的距离为______．

14. 向空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的函数表达式为，若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则炮弹所在高度最高的是第______秒．
15. 若不等式组无解，则的取值范围是______．
16. A、两地在一条笔直的公路上，甲从地出发前往地、乙从地出发前往地，两人同时出发，甲到达地后停止，乙继续前进到达地，如图表示两人的距离米与时间分间的函数关系，则下列结论中：、两地的距离是米；两人出发分钟相遇；甲的速度是米分；乙出发分钟到达地，正确的有______填序号

三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：
    ；
    解方程：．
18. 本小题分
    如图，，点，在线段上．，求证：．

19. 本小题分
    先化简，再求值：，其中是使成立的正整数．
20. 本小题分
    为了解八年级学生的体育运动水平，某校对全体八年级同学进行了体能测试，欧老师随机抽取名男生和名女生的测试成绩满分作为样本进行整理和分析成绩共分成五组：，，，，，并绘制了不完整的统计图表．
    收集、整理数据：名男生的体能测试成绩分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
    女生体能测试成绩在组和组的分别为：，，，，，，，，．
    分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：

请根据以上信息，回客下列问题：
补全频数分布直方图．
填空：______，______．
根据以上数据，你认为八年级学生是男生的体能测试成绩更好还是女生的体能测试成绩更好？并说明理由．
如果我校八年级有男生名，女生名，请估计八年级体能测试成绩不低于分的学生人数．
 

21. 本小题分
    如图，在中，，、分别是、的中点，过点作交的延长线于点．
    
    求证：；
    求证：四边形是菱形．
22. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    求证：方程总有两个实数根；
    若方程有一个实数根为负数，求正整数的值．
23. 本小题分
    如图，一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为．
    求一次函数函数的解析式；
    若点在轴上，且满足，求点的坐标；
    请直接写出时的取值范围．

24. 本小题分
    李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过箱；当购买箱时，批发价为元千克，每多购买箱，批发价每千克降低元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为元千克时，每天可销售箱；售价每千克降低元，每天可多销售箱．
    请求出这种水果批发价元千克与购进数量箱之间的函数关系式；
    若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
25. 本小题分
    在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点在点的左侧，与轴交于点，且点的坐标为．
    
    求点的坐标；
    如图，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
    如图，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值为．
故选：．
根据绝对值的定义直接计算即可解答．
本题主要考查绝对值的性质．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据合并同类项判断选项；根据单项式除以单项式判断选项；根据同底数幂的除法判断选项；根据积的乘方判断选项．
本题考查了合并同类项，单项式除以单项式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：面积为的正方形的边长是，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.面积为的正方形的边长是，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C.面积为的正方形的边长是，是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.面积为的正方形的边长是，是无理数，故本选项符合题意．
故选：．
理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
该函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：．
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质可以解答本题．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：菱形两条对角线的长分别为和．
菱形两条对角线的一半长分别为和．
菱形的边长为：．
故选：．
菱形的对角线垂直且互相平分，四个边长相等，两条对角线的一半和菱形的边构成直角三角形，从而可求出菱形的边长．
本题考查菱形的性质，知道菱形的对角线垂直且互相平分，四个边长相等是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：该数据共有个数，其中排在第三位，第三位与第四位的平均数就是中位数，故该题中位数受到影响，其中有两个，污损的数字十位数是，故众数不受影响，
故选：．
根据中位数定义可得答案．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
此题主要考查了方差、平均数、众数、中位数，关键是掌握将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

8.【答案】 

【解析】解：取的中点，过作于，如图所示

由题意得：，
设米，
则米，米，米，
米，
在中，
，即，
解得：，
米
米，
故选：．
取的中点，过作于，根据勾股定理解答即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，连接，

四边形是正方形，
，平分，
为边的中点，
，
四边形是正方形，
，平分，
点，点，点三点共线，
，
故选：．
连接，连接，由正方形的性质可得，平分，，平分，可证点，点，点三点共线，即可求解．
本题考查了正方形的判定和性质，掌握正方形的性质是本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的对称轴为直线，
当且时，都有，
当时，
，
解得；
当时，
，
此时无解；
由上可得，的取值范围为，
故选：．
根据题意和题目中的抛物线，可以求得抛物线的对称轴，然后分类讨论即可得到的取值范围．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形的内角和等于，
．
五边形的外角和等于，
，
．
故答案为：．
根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．
本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过点和点，当时时，
一次函数的图象是随的增大而减小，
，
．
故答案为：．
由当时可以知道，随的增大而减小，则由一次函数性质可以知道应有：．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．准确理解一次函数图象的性质，确定随的变化情况是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作于，
，，
，
，
，，
，
．
故点到的距离为．
故答案为：．
过点作于，根据平行线的性质可求，再根据角平分线的性质即可求解．
本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：此炮弹在第与第秒时的高度相等，
抛物线的对称轴是：，
炮弹所在高度最高是第秒，
故答案为：．
本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时的值．
本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组无解，
，
解得．
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了确定关于的不等式，解之可得．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：甲从地出发前往地、乙从地出发前往地，两人同时出发，图象过点，
，两地相距米，故正确；
函数图象过点，
两人出发分钟相遇，故正确；
由图象知，甲出发分钟后到达地，
甲的速度为：米分钟，故错误；
设乙的速度为米分钟，由图象知：，
解得，
乙出发到达的时间为：分钟，故正确；
故答案为：．
根据函数图象获取有用的信息，依次判断即可．
本题考查函数图象，理解函数图象，从中获取有效信息是求解本题的关键．
 

17.【答案】解：

；
，
，
，
，
． 

【解析】按照乘方运算，绝对值，负整数指数幂，立方根分别计算即可；
用配方法解一元二次方程即可．
本题考查了乘方运算，负整数指数幂，立方根，解一元二次方程等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据，得，再利用即可证明≌，可得结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式



，
，
，，
又为正整数，
，，
，，
，，
当时，
原式
． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值求出并代入即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

20.【答案】   

【解析】解：名男生的体能测试成绩分的人数为人，
补全直方图如下：

男生成绩的众数，女生成绩的中位数，
故答案为：、；
男生的体能测试成绩更好，理由如下：
因为男生体能测试成绩的平均数大于女生，所以男生体的体能测试成绩更好；
样本中女生、组人数为名，组人数为人，
女生体能测试成绩不低于分的学生人数为人，
所以估计七年级体能测试成估计八年级体能测试成绩不低于分的学生人数为名．
答：估计八年级体能测试成绩不低于分的学生人数为人．
根据频数分布直方图及各组人数之和等于被调查总人数即可补全图形；
根据众数和中位数的概念求解即可；
从平均数和众数及中位数的意义求解即可；
先求出女生体能测试成绩不低于分的学生人数，再用总人数乘以样本中体能测试成绩不低于分的学生人数所占比例即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

21.【答案】证明：，
，
为的中点，
，
又，
≌，
；
证明：，为的中点，
，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
又，
四边形是菱形． 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出；
由直角三角形的性质得出，证出，得出四边形为平行四边形，由菱形的判定可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，证明≌是解题的关键．
 

22.【答案】证明：

．
，
方程总有两个实数根．
解：用因式分解法解此方程，
可得，
解得，，
若方程有一个根为负数，则，
故，
正整数． 

【解析】证明即可；
先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，用到的知识点：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

23.【答案】解：当时，，
，
将，代入，得，
，
解得，
一次函数函数的解析式是；
设，
，
，
，
，
点的坐标为或；
观察图象可知，，则的取值范围是． 

【解析】先求得点，的坐标，再根据待定系数法即可得到的函数表达式；
设，依据，即可得出，进而得到的坐标；
根据图象即可求得．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是利用待定系数法求出、的值．
 

24.【答案】解：根据题意得：，
答：这种水果批发价元千克与购进数量箱之间的函数关系式为；
设李大爷每天所获利润是元，
由题意得：，
，为正整数，且，
时，取最大值，最大值为元，
答：李大爷每天应购进这种水果箱，才能使每天所获利润最大，最大利润元． 

【解析】根据当购买箱时，批发价为元千克，每多购买箱，批发价每千克降低元得：，
设李大爷每天所获利润是元，由总利润每千克利润销量得，利用二次函数性质可得李大爷每天应购进这种水果箱，才能使每天所获利润最大，最大利润元．
本题考查一次函数及二次函数的应用，解题的根据是理解题意，列出函数关系式，能利用二次函数性质解决问题．
 

25.【答案】解：点在抛物线的图象上，

，
点的坐标为；
过作于点，过点作轴交于点，如图：
，
，
是等腰直角三角形，
，
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
，
直线解析式为，
设，，则，
，
，
当时，最大为，
此时最大为，即点到直线的距离值最大；
存在，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
设点的坐标为，点的坐标为，
分三种情况：当为平行四边形对角线时，
，
解得，
点的坐标为；
当为平行四边形对角线时，
，
解得，
点的坐标为；
当为平行四边形对角线时，
，
解得，
点的坐标为；
综上，点的坐标为：或或． 

【解析】把点的坐标代入，求出的值即可；
过作于点，过点作轴交于点，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得，再根据二次函数的性质求解即可；
分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时分别求解即可．
本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．