2021-2022学年广东省河源市紫金县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省河源市紫金县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 一个关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 到的三边距离相等的点是的(    )

A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三边上高的交点 D. 三边垂直平分线的交点

3. 以下是可回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 计算：(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若分式无意义，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若一个正多边形的每一个外角都等于，则它是(    )

A. 正九边形 B. 正十边形 C. 正十一边形 D. 正十二边形

7. 如图，在▱中，是上的一点，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 若不等式组有解，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 下列命题：
    等腰三角形的角平分线、中线和高重合，
    等腰三角形两腰上的高相等；
    等腰三角形的最小边是底边；
    等边三角形的高、中线、角平分线都相等；
    等腰三角形都是锐角三角形．
    其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本题共7小题，共28分）

11. 分解因式： ______ ．
12. 点的坐标为，若将点关于原点的对称点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得点的坐标为______．
13. 小菲受乌鸦喝水故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作，请根据图中给出的信息，量筒中至少放入______个小球时有水溢出．

14. 在中，，的垂直平分线分别交，边于点，，若，则______．

15. 在中，，，，顺次连接各边中点，得到的三角形面积是______．
16. 已知非零实数，满足，则的值等于______ ．
17. 如图，在平行四边形中，，，，过的中点作于点，交的延长线于点，则______．

三、解答题（本题共8小题，共62分）

18. 解不等式组：．
19. 解方程：．
20. 先化简，再求值：，其中，．
21. 如图，在和中，，，与相交于点．
    求证：≌；
    求证：是等腰三角形．

22. 如图，是边长为的等边三角形，将沿直线平移到的位置，连接，求平移的距离和的长．

23. 在四边形中，、交于点，，．
    证明：四边形是平行四边形；
    过点作交于点，连接若，求的度数．

24. 在年春季环境整治活动中，某社区计划对面积为的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．若甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲工程队比乙工程队少用天．
    求甲、乙两工程队每天能完成的绿化面积；
    设甲工程队施工天，乙工程队施工天，刚好完成绿化任务，求关于的函数关系式；
    在的条件下，若甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，才能使施工总费用最低？请求出最低费用．
25. 在中，，，点是线段的中点，，与线段相交于点与线段或的延长线相交于点．
    如图，若，垂足为，，求的长；
    如图，将中的绕点顺时针旋转一定的角度，仍与线段相交于点求证：；
    如图，将中的继续绕点顺时针旋转一定的角度，使与线段的延长线相交于点，作于点，若于点，若，求证：．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示可知，两个不等式解集的公共部分为：，
关于的一元一次不等式组的解集为：．
故选：．
利用不等式组的解集在数轴上的表示方法确定不等式组的解集．
本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，利用不等式组中所有不等式的解集的公共部分是不等式的解集来确定不等式组的解集是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：到的三边距离相等的点是的三条角平分线的交点，
故选：．
根据角平分线的性质，可以到的三边距离相等的点是的三条角平分线的交点，本题得以解决．
本题考查角平分线的性质、三角形的内心，解答本题的关键是明确角平分线的性质和三角形的内心．
 

3.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故选A．
先算括号里式子，再把除法转化为乘法运算，最后进行分式的约分化简．
注意此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再把除法转化为乘法，约分化为最简．
 

5.【答案】 

【解析】解：当分母，即时，分式无意义．
故选D．
分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
考查了分式有意义的条件和绝对值．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
 

6.【答案】 

【解析】解：正多边形的每一个外角都等于，
正多边形的边数．
故选：．
根据多边形外角和定理求出正多边形的边数．
本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质求出，根据邻补角的意义即可求出答案．
本题主要考查对平行四边形的性质，等腰三角形的性质，邻补角的意义等知识点的理解和掌握，能求出的度数是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【解答】
解：、是整式的乘法运算，故选项错误；
B、右边不是整式乘积的形式，故选项错误；
C、，正确；
D、右边不是整式乘积的形式，故选项错误．
故选：．
【分析】
根据因式分解的定义作答．因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，熟练地掌握因式分解的定义是解题关键．  

9.【答案】 

【解析】解：不等式组有解，
，
，
的取值范围为．
故选：．
解出不等式组的解集，根据已知解集比较，可求出的取值范围．
考查了不等式的解集，本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质分别对每一项进行分析即可．
【解答】
解：等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和高重合，错误；
等腰三角形两腰上的高相等，正确；
等腰三角形的最小边不一定是底边，错误；
等边三角形的高、中线、角平分线都相等，正确；
等腰三角形不一定是锐角三角形，错误，
其中正确的有个，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，
点关于原点的对称点坐标为，
将点向右平移个单位长度，
得到，
再向下平移个单位长度后得到．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，再利用平移的性质得出得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质以及平移的性质，正确掌握平移规律是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设放入球后量桶中水面的高度与小球个数个之间的一次函数关系式为，由题意，得：，
解得：，
即；
由，
得，
即至少放入个小球时有水溢出．
方法：由题意可得每添加一个球，水面上升，
设至少放入个小球时有水溢出，则
，
解得，
即至少放入个小球时有水溢出．
故答案为：．
设放入球后量桶中水面的高度与小球个数个之间的一次函数关系式为，由待定系数法就可求出结论；当时，建立不等式求出其解即可．
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，列不等式解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：的垂直平分线分别交，边于点，，
，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
由线段垂直平分线的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及外角的性质可求解，根据三角形的内角和定理可求解的度数，进而可求得的度数．
本题主要考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识的综合运用，求解，的度数是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点，
，，
，
同理可得，，，
，
．
故答案为：．
根据三角形中位线定理得到，，得到，同理求出的长和，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由得：，
，
原式

．
故答案为：．
由得：，整体代入到代数式中求值即可．
本题考查了分式的值，对条件进行化简，得到，把看作整体，代入到代数式求值是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，，
；
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，，，由平行线的性质得出，证出，由含角的直角三角形的性质得出，求出，，由勾股定理求出即可．
本题考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由含角的直角三角形的性质求出是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：由得，，由得，，
故不等式组的解集为：． 

【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：方程的两边同乘，得
，
解得．
检验：把代入．
原方程的解为：． 

【解析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了分式方程和不等式组的解法，注：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程一定注意要验根．不等式组的解集的四种解法：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
 

20.【答案】解：原式，
当，时，
原式． 

【解析】直接利用分式的性质化简，进而代入已知得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
 

21.【答案】证明：在和中，，，
根据勾股定理：； ； 
，
，
在与中   
≌   
≌，则，
在中，即
是等腰三角形． 

【解析】根据已知条件，用公理证：≌；
利用≌的对应角相等，即可证明是等腰三角形．
此题主要考查全等三角形的判定和性质，关键是学生对直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定与性质的理解和掌握．
 

22.【答案】解：由平移而成，
平移的距离为：，
且，，，
，
，
又，
，
，
是直角三角形，
，，
． 

【解析】由平移的性质可知平移的距离，以及，，故可得出，由，在中利用勾股定理即可得出的长．
本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
又，，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
． 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出，由平行四边形的判定可得出结论；
由线段垂直平分线的性质得出，得出，求出，则可得出答案．
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：设乙队每天能完成绿化面积为，则甲队每天能完成绿化面积为，
根据题意得：，
解得，
经检验，为原方程的解，
则甲队每天能完成绿化面积为，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别为、；
由得，
整理的：；
由已知，
，
解得，
总费用，
，
随的增大而增大，
当时，天，万元．
故当甲工程队施工天，乙工程队施工天时能使施工总费用最低，最低费用为万元． 

【解析】设出两队的每天绿化的面积，以两队工作时间为等量构造分式方程；
以为基础表示甲乙两队分别工作天、天的工作总量，工作总量和为；
用甲乙两队施工的总天数不超过天确定自变量取值范围，用表示总施工费用，根据一次函数增减性求得最低费用．
本题主要考查一次函数的应用，分式方程、一元一次不等式的应用，列一次函数关系式是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，
，，
是等边三角形，
，．
点是线段的中点，
．
，即，
，
，
；

过点作于，作于，如图，
则有．
，
．
，
．
在和中，
，
≌，
，．
在和中，
，
≌，
，

；

过点作于，如图．
同可得：．
同可得：，，．
，
，
，
．
在中，，
． 

【解析】如图，易求得，，，然后运用三角函数的定义就可求出的值；
过点作于，作于，如图，易证≌，则有，，进而可证到≌，则有，就可得到；
过点作于，如图同可得：，同可得：，，由可得，从而可得，然后在中，运用三角函数就可得到，即．
本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到，，是解决本题的关键．