吉林省长春市数学学科2020-2021学年吉林省长春市宽城区九年级（上）期末数学试卷

这是一份吉林省长春市数学学科2020-2021学年吉林省长春市宽城区九年级（上）期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年吉林省长春市宽城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣7的相反数是（　　）
A．﹣7 B．7 C． D．﹣
2．（3分）如图是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）

A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461
C．368（1﹣x）2＝442 D．368（1+x）2＝442
5．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，连结CD．若BC＝4，CD＝3，则sin∠ACD的值为（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE．过点D作DF⊥BC于点F，连结EF．若△DEF的面积为1，则四边形DECB的面积为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
7．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OB．若OA＝4，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣2 B． C． D．4π﹣8
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1）．若抛物线y＝（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的值不可能是（　　）

A．1 B．3 C．5 D．7
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：•＝　 　．
10．（3分）分解因式：4a2﹣b2＝　 　．
11．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是　 　．
12．（3分）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为3：5．若三角板的一边长为9cm．则投影三角板的对应边长为　 　cm．

13．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结BD．若＝，∠BDC＝50°，则∠ADC的大小是　 　度．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a＜0）交y轴于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，连结OB．点C是线段OB上一动点，以OA、AC为邻边作▱OACD，则▱OACD周长的最小值为　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．
16．（6分）某校以“寻根国学，传承文明”为主题开展国学知识挑战赛，比赛过程分两个环节，第一环节：写字注音、成语故事、国学常识（分别用A1、A2、A3表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1、B2、B3表示）．参赛选手需在每个环节中各随机抽取一道题目来作答，请用画树状图或列表的方法，求参赛选手在两个环节中都抽到有关成语题目的概率．
17．（6分）图①、图②、图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）如图①，＝　 　．
（2）如图②，在BC上找一点F，使BF＝2．
（3）如图③，在AC上找一点M，连结BM、DM，使△ABM∽△CDM．

18．（7分）某校为了解九年级学生休息日时每天学习的时长情况，随机抽取了n名九年级学生进行调查，据调查每名学生休息日时每天学习时长都少于5小时．该校将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是　 　．（填写“全面调查”或“抽样调查”）
（2）求n的值．
（3）若该校九年级共有450名学生，请估计该校休息日时每天学习时长在“3≤t＜4”范围的学生人数．

19．（7分）如图，小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，在点N处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小颖的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度．（结果精确到1m）
【参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43】

20．（7分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC为对角线，点E在BC的延长线上，且∠E＝∠BAC．
（1）判断DE所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若∠CDE＝25°，⊙O的半径为3，求的长．（结果保留π）

21．（8分）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC构成．矩形一边OA的长是12m，另一边OC的长是1m．抛物线上的最高点D到地面OA的距离为7m．以OA所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式．
（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5m，求两排灯之间的水平距离．
（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于m的空隙．现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2m处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度．

22．（9分）【问题原型】如图①，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上一点，且AP＝BQ，连结AQ、CP，求证：△ABQ≌△CAP．
【问题延伸】如图①，在等边△ABC中，点P从点A出发沿边AB向终点B匀速运动，点Q与点P同时同速从点B出发沿边BC向终点C匀速运动，AQ、CP相交于点M．试问在P、Q两点运动的过程中，tan∠CMQ的值是否变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由．
【问题应用】如图②，在△ABC中，AC＝BC＝2AB．点P、Q分别是边AB、BC上一点，且AP＝2BQ，AQ、CP相交于点M．过点C作CH⊥AQ于H，则＝　 　．

23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点P从点B出发沿线段BA以每秒3个单位的速度向终点A运动．过点P作PQ⊥AB交射线BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点A与MN在PQ的同侧．设点P的运动时间为t秒．
（1）PQ的长为　 　．（用含t的代数式表示）
（2）当点M落在边AC上时，求t的值．
（3）设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式．
（4）当NQ所在直线经过△ABC一边的中点时，直接写出t的值．

24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点（6，7），其对称轴为直线x＝2．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（2）当时，求函数值y的取值范围．
（3）当﹣2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是　 　．
（4）已知A、B两点均在抛物线y＝x2+bx+c上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为m+2．将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为M，当图象M的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值．

2020-2021学年吉林省长春市宽城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣7的相反数是（　　）
A．﹣7 B．7 C． D．﹣
【分析】据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．
【解答】解：根据概念，（﹣7的相反数）+（﹣7）＝0，则﹣7的相反数是7．
故选：B．
2．（3分）如图是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】直接从上往下看，看到平面图形就是俯视图，选择正确选项即可．
【解答】解：从上面看共有2列，第一列有2个正方形，第二列上层有一个正方形，
故选：B．
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别解两个不等式得到x＞﹣1和x≤3，从而得到不等式组的解集为﹣1＜x≤3，然后利用此解集对各选项进行判断．
【解答】解：，
解①得x＞﹣1，
解②得x≤3，
所以不等式组的解集为﹣1＜x≤3．
故选：C．
4．（3分）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）

A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461
C．368（1﹣x）2＝442 D．368（1+x）2＝442
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程．
【解答】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，
故选：B．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，连结CD．若BC＝4，CD＝3，则sin∠ACD的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】先由直角三角形斜边上的中线性质得CD＝AB＝AD，则AB＝2CD＝6，∠ACD＝∠A，再由锐角三角函数定义求解即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴CD＝AB＝AD，
∴AB＝2CD＝6，∠ACD＝∠A，
∵sin∠ACD＝sin∠A＝＝＝，
故选：A．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE．过点D作DF⊥BC于点F，连结EF．若△DEF的面积为1，则四边形DECB的面积为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】作AM⊥BC于M，交DE于N，根据相似三角形的性质得到AN＝AM，求出△ADE的面积＝△DEF的面积＝1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】解：作AM⊥BC于M，交DE于N，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AN＝AM，
∴△ADE的面积＝△DEF的面积＝1，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴△ABC的面积＝4，
∴四边形DECB的面积＝4﹣1＝3，
故选：C．

7．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OB．若OA＝4，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣2 B． C． D．4π﹣8
【分析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝﹣×4×4
＝4π﹣8，
故选：D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1）．若抛物线y＝（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的值不可能是（　　）

A．1 B．3 C．5 D．7
【分析】根据向下平移横坐标不变，分别代入B的横坐标和D的横坐标求得对应的函数值，即可求得m的取值范围．
【解答】解：设平移后的解析式为y＝（x+1）2﹣m，
将B点坐标代入，得
4﹣m＝2，解得m＝2，
将D点坐标代入，得
9﹣m＝1，解得m＝8，
y＝（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是2≤m≤8，
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：•＝　5　．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则化简求出答案．
【解答】解：原式＝＝5．
故答案为：5．
10．（3分）分解因式：4a2﹣b2＝　（2a+b）（ 2a﹣b ）　．
【分析】首先把4a2写成（2a）2，再直接利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：4a 2─b2＝（2a）2﹣b2＝（2a+b）（ 2a﹣b ），
故答案为：（2a+b）（ 2a﹣b ）．
11．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是　9　．
【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣6）2﹣4a＝0，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣6）2﹣4a＝0，解得a＝9．
故答案为：9．
12．（3分）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为3：5．若三角板的一边长为9cm．则投影三角板的对应边长为　15　cm．

【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解．
【解答】解：设投影三角尺的对应边长为xcm，
∵三角尺与投影三角尺相似，
∴9：x＝3：5，
解得x＝15．
故答案是：15．
13．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结BD．若＝，∠BDC＝50°，则∠ADC的大小是　130　度．

【分析】根据圆周角定理求出∠ABC，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵＝，
∴∠ABC＝∠BDC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a＜0）交y轴于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，连结OB．点C是线段OB上一动点，以OA、AC为邻边作▱OACD，则▱OACD周长的最小值为　　．

【分析】因为OA＝3定值，只要AC取得最小值时▱OACD周长最小，根据垂线段最短，可知当AC⊥OB时，▱OACD周长取得最小值．
【解答】解：作AM⊥OB于M，
∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a＜0）交y轴于点A，
∴A（0，3），
∴OA＝3，
∵y＝ax2﹣4ax+3（a＜0），
∴对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，
∴BA⊥OA，B（4，3），
∴AB＝4，
∴OB＝＝＝5，
∵OA•AB＝OB•AM，
∴AM＝＝，
∵OA＝CD＝3是定值，
∴当AC值最小时，▱OACD周长值最小，
∴当C与M重合时，周长有最小值，最小值为：2×（3+）＝，
故答案为．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．
【分析】利用公式法解方程即可求解．
【解答】解：2x2﹣3x﹣1＝0，
a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴△＝9+8＝17，
∴x＝，
x1＝，x2＝．
16．（6分）某校以“寻根国学，传承文明”为主题开展国学知识挑战赛，比赛过程分两个环节，第一环节：写字注音、成语故事、国学常识（分别用A1、A2、A3表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1、B2、B3表示）．参赛选手需在每个环节中各随机抽取一道题目来作答，请用画树状图或列表的方法，求参赛选手在两个环节中都抽到有关成语题目的概率．
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出参赛选手在两个环节中都抽到有关成语题目的情况数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：

由树状图知，共有9种等可能结果，其中参赛选手在两个环节中都抽到有关成语题目的情况有1种，
∴两个环节都抽到有关成语题目的概率为．
17．（6分）图①、图②、图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）如图①，＝　　．
（2）如图②，在BC上找一点F，使BF＝2．
（3）如图③，在AC上找一点M，连结BM、DM，使△ABM∽△CDM．

【分析】（1）证明△AEB∽△DEC，根据相似三角形的性质解答；
（2）根据相似三角形的性质画出图形，作出点F；
（3）根据全等三角形的性质、相似三角形的性质解答．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴△AEB∽△DEC，
∴＝，
∵AB＝1，CD＝2，
∴＝，
故答案为：；
（2）如图②，点F即为所求；
（3）如图③，点M即为所求.


18．（7分）某校为了解九年级学生休息日时每天学习的时长情况，随机抽取了n名九年级学生进行调查，据调查每名学生休息日时每天学习时长都少于5小时．该校将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是　抽样调查　．（填写“全面调查”或“抽样调查”）
（2）求n的值．
（3）若该校九年级共有450名学生，请估计该校休息日时每天学习时长在“3≤t＜4”范围的学生人数．

【分析】（1）根据抽样调查和全面调查的概念判断即可；
（2）用B等级人数除以其所占百分比即可；
（3）先根据各分段人数之和等于总人数求出“3≤t＜4”范围的学生人数，再用总人数乘以此时间段人数所占比例即可．
【解答】解：（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）n＝10÷20%＝50；
（3）∵样本中每天学习时长在“3≤t＜4”范围的学生人数为50﹣（5+10+16+4）＝15（人），
∴（人），
∴该校九年级休息日时每天学习时长在“3≤t＜4”范围的学生人数约为135人．
19．（7分）如图，小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，在点N处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小颖的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度．（结果精确到1m）
【参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43】

【分析】过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，根据锐角三角函数求出BE的长，进而可得AB．
【解答】解：如图，过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，
则AE＝CF＝MN＝1.6，EF＝AC＝35，EN＝AM，NF＝MC，∠BEN＝∠DFN＝90°．

∴DF＝CD﹣CF＝16.6﹣1.6＝15．
在Rt△DFN中，
∵∠DNF＝45°，
∴NF＝DF＝15．
∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20．
在Rt△BEN中，
∵，
∴BE＝EN⋅tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6．
∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6＝30.2≈30（米）．
答：居民楼AB的高度约为30 米．
20．（7分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC为对角线，点E在BC的延长线上，且∠E＝∠BAC．
（1）判断DE所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若∠CDE＝25°，⊙O的半径为3，求的长．（结果保留π）

【分析】（1）先根据圆周角定理证明BD是⊙O的直径，得∠BCD＝90°，再由三角形外角的性质和圆周角定理可得∠BDE＝90°，可得DE是⊙O的切线；
（2）先求得∠BDC的度数，进而根据圆周角定理求得∠BOC的度数，根据弧长公式即可求得．
【解答】解：（1）DE所在直线与⊙O相切．
如图，连结BD，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CDE+∠E＝90°，
∵∠E＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC，
∴∠E＝∠BDC，
∴∠CDE+∠BDC＝90°，即∠BDE＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴DE所在直线与⊙O相切；
（2）如图，连结OC，
∵∠CDE+∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣∠CDE＝90°﹣25°＝65°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝2×65°＝130°，
∴的长为．

21．（8分）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC构成．矩形一边OA的长是12m，另一边OC的长是1m．抛物线上的最高点D到地面OA的距离为7m．以OA所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式．
（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5m，求两排灯之间的水平距离．
（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于m的空隙．现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2m处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度．

【分析】（1）设抛物线所对应的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+7，将点C（0，1）代入所设解析式求出a的值即可得出函数解析式；
（2）将y＝5代入解析式求出x的值，将所求x的值相减可得答案；
（3）求出x＝2时y的值，再减去可得答案．
【解答】解：（1）由题意设抛物线所对应的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+7，
将点C（0，1）代入上式，36a+7＝1，
解得，
∴该抛物线所对应的函数表达式为．

（2）把y＝5代入中，，
解得，，
，
所以两排灯之间的水平距离为m；

（3）把x＝2代入中，，
，
所以这辆货运汽车载物后的最大高度为4m．
22．（9分）【问题原型】如图①，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上一点，且AP＝BQ，连结AQ、CP，求证：△ABQ≌△CAP．
【问题延伸】如图①，在等边△ABC中，点P从点A出发沿边AB向终点B匀速运动，点Q与点P同时同速从点B出发沿边BC向终点C匀速运动，AQ、CP相交于点M．试问在P、Q两点运动的过程中，tan∠CMQ的值是否变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由．
【问题应用】如图②，在△ABC中，AC＝BC＝2AB．点P、Q分别是边AB、BC上一点，且AP＝2BQ，AQ、CP相交于点M．过点C作CH⊥AQ于H，则＝　　．

【分析】【问题原型】根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠B＝∠CAB＝60°．再利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
【问题延伸】tan∠CMQ的值不发生变化，根据全等三角形的性质可求得∠CMQ＝60°，再利用锐角三角函数的定义可求解；
【问题应用】先证明△CAP∽△ABQ，可得∠CMQ＝∠CAB，再利用解直角三角形可求解．
【解答】解：【问题原型】∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠CAB＝60°．
在△ABQ和△CAP中，，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
【问题延伸】tan∠CMQ的值不发生变化．
∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP．
∵∠BAQ+∠CAQ＝∠CAB＝60°，
∴∠ACP+∠CAQ＝60°．
∵∠CMQ＝∠ACP+∠CAQ，
∴∠CMQ＝60°．
∴tan∠CMQ＝tan60°＝．
【问题应用】∵AC＝BC＝2AB，AP＝2BQ，
∴AC：AB＝AP：BQ＝2，∠CAB＝∠B，
∴△CAP∽△ABQ，
∴∠ACP＝∠BAQ．
∵∠BAQ+∠CAQ＝∠CAB，
∴∠ACP+∠CAQ＝∠CAB，
∵∠CMQ＝∠ACP+∠CAQ，
∴∠CMQ＝∠CAB，
∵cos∠CAB＝，cos∠CMQ＝．
∴＝．
故答案为．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点P从点B出发沿线段BA以每秒3个单位的速度向终点A运动．过点P作PQ⊥AB交射线BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点A与MN在PQ的同侧．设点P的运动时间为t秒．
（1）PQ的长为　4t　．（用含t的代数式表示）
（2）当点M落在边AC上时，求t的值．
（3）设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式．
（4）当NQ所在直线经过△ABC一边的中点时，直接写出t的值．

【分析】（1）过A作AD⊥BC于D，先由等腰三角形的在得BD＝CD＝BC＝3，∴再由勾股定理求出AD＝4，然后证△QBP∽△ABD，进而得出答案；
（2）当点M落在边AC上时，证△MQC∽△ABC，进而得出答案；
（3）由（2）得：点M落在边AC上时，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形，得S＝16t2（0＜t≤）；当N与A重合时，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形，则AP＝PN＝4t，先证△HQC∽△ABC，求出QH＝5﹣t，再由梯形面积公式即可得出答案；
（4）分三种情况：①当N是AB边的中点时，则BP+PN＝AB，即3t+4t＝，得t＝；
②当Q是BC边的中点时，则BQ＝BC，得5t＝3，则t＝；
③当NQ经过AC边的中点时，设AC的中点为G，则AG＝CG，过A作AE∥BC交NQ于E，过E作EF⊥BN于F，则△AEG∽△CQG，△AEN∽△BQN，求出AE＝CQ＝6﹣5t，进而得t＝．
【解答】解：（1）过A作AD⊥BC于D，如图1所示：

则∠ADB＝90°，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BD＝CD＝BC＝3，
∴AD＝＝＝4，
∵PQ⊥AB，
∴∠QPB＝90°＝∠ADB，
又∵∠B＝∠B，
∴△QBP∽△ABD，
∴＝＝，
即＝＝，
解得：PQ＝4t，BQ＝5t，
故答案为：4t；
（2）当点M落在边AC上时，如图2所示：

∵四边形PQMN是正方形，
∴QM＝PQ＝4t，QM∥AB，
∴△MQC∽△ABC，
∴，
即，
解得：，
即t的值为；
（3）由（2）得：点M落在边AC上时，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形，
∴0＜t≤时，S＝正方形PQMN的面积＝（4t）2＝16t2，
即S＝16t2（0＜t≤）；
当N与A重合时，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形，
则AP＝PN＝4t，
∵AP+BP＝AB，
∴4t+3t＝5，
∴t＝，
设AC与MQ交于点H，如图3所示：

∵QM∥AB，
∴△HQC∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得：QH＝5﹣t，
∴S＝（AP+QH）×PQ＝[（5﹣3t）+（5﹣t）]×4t＝﹣t2+20t，此时t≥，
∵点Q与C重合时，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是三角形，
此时5t＝6，
∴t＝，
∴当时，S＝﹣t2+20t；
（4）分三种情况：
①当N是AB边的中点时，如图4所示：

则BP+PN＝AB，
即3t+4t＝，
∴t＝；
②当Q是BC边的中点时，如图5所示：

则BQ＝BC，
∴5t＝3，
∴t＝；
③当NQ经过AC边的中点时，如图6所示：

设AC的中点为G，则AG＝CG，
过A作AE∥BC交NQ于E，
则△AEG∽△CQG，△AEN∽△BQN，
∴＝＝1，＝，
∴AE＝CQ＝6﹣5t，＝，
解得：t＝；
综上所述，当NQ所在直线经过△ABC一边的中点时，t的值为或或．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点（6，7），其对称轴为直线x＝2．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（2）当时，求函数值y的取值范围．
（3）当﹣2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是　2＜k≤6　．
（4）已知A、B两点均在抛物线y＝x2+bx+c上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为m+2．将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为M，当图象M的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）求得抛物线的最小值，然后求得x＝﹣和x＝时的函数值，即可求得结果；
（3）求得函数值是7时的自变量的值，根据题意即可求得；
（4）分四种情况讨论，根据题意列出关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意，得，解得，
∴抛物线所对应的函数表达式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）∵，对称轴为直线x＝2，
∴当x＝2时，，
当时，，
当时，，
∴当时，y的取值范围是﹣9≤y≤﹣；
（3）把y＝7代入y＝x2﹣4x﹣5得，7＝x2﹣4x﹣5，
解得x1＝6，x2＝﹣2，
∴当﹣2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是2＜k≤6，
故答案为2＜k≤6；
（4）点A、B的坐标分别为（m，m2﹣4m﹣5）、（m+2，m2﹣9），
当m≤0时，m2﹣4m﹣5﹣（m2﹣9）＝2，
解得（不合题意，舍去）．
当0＜m≤1时，m2﹣4m﹣5﹣（﹣9）＝2，
解得，（不合题意，舍去）．
当1＜m≤2时，m2﹣9﹣（﹣9）＝2，
解得，（不合题意，舍去）．
当m＞2时，m2﹣9﹣（m2﹣4m﹣5）＝2，
解得（不合题意，舍去）．
综上，m的值为或．
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日期：2021/2/1 0:25:37；用户：初中数学；邮箱：1cs@xyh.com；学号：38450742