初中数学北师大版八年级上册3 平行线的判定优秀课时训练

专题7.3-7.4平行线的判定与性质

一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1．（2019·杭州市十三中教育集团（总校）初一期中）下列说法正确的是（　　）

A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等

B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行

D．平行于同一条直线的两条直线互相平行

【答案】D

【详解】

解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故A错误；

同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故B错误；

经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故C错误；

平行于同一条直线的两条直线互相平行，故D正确．

故选：D．

2．如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是（　　）

A．同位角相等，两直线平行

B．两直线平行，同位角相等

C．内错角相等，两直线平行

D．两直线平行，内错角相等

【答案】A

【解析】

根据∠BAC=∠EDC，由同位角相等，两直线平行，即可判定AB∥DE．

3．（2019·山西月考）工人师傅在工程施工时，在图纸上画了一条管道的示意图（如图所示），经测量得到，，那么（    ）

A． B． C． D．与相交

【答案】C

【详解】

∵，，

∴，

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．

4．（2020·河北张家口·二模）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（　　）

A．30° B．25°

C．20° D．15°

【答案】B

【解析】

根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，

∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，

故选：B．

5．如图，若∠1=70°，∠2=110°，∠3=70°，则有（　 　）．

A．a∥b B．c∥d C．a⊥d D．任两条都无法判定是否平行

【答案】A

【详解】

解：∵∠4=∠1=70°，∠2=110°，

∴∠4+∠2=180°；

∴a∥b．

∵∠2≠∠3，

∴c与d不平行．

故选A．

6．如图所示，下列条件能判断a∥b的有（　　）

A．∠1+∠2＝180° B．∠2＝∠4 C．∠2+∠3＝180° D．∠1＝∠3

【答案】B

【详解】

A.∠1  ,∠2是互补角，相加为180°不能证明平行，故A错误. 

B.∠2=∠4，内错角相等，两直线平行，所以B正确.

C. ∠2+∠3＝180°，不能证明a∥b，故C错误.

D.虽然∠1=∠3，但是不能证明a∥b；故D错误.

故答案选：B.

7．（2020·河南郑州外国语中学期中）下列命题是真命题的有（    ）个

①对顶角相等，邻补角互补

②两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行

③垂直于同一条直线的两条直线互相平行

④过一点有且只有一条直线与已知直线平行

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【详解】

解：对顶角相等，邻补角互补，故①是真命题；

两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，故②是假命题；

在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故③是假命题；

过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④是假命题；

故正确的个数只有1个，

故选：B．

8．如图，下列条件：①∠1=∠3，②∠2=∠3，③∠4=∠5，④∠2+∠4=180°中，能判断直线l1∥l2的有（　  　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【详解】

解：∵∠1=∠3，

∴l1∥l2；

∵∠4=∠5，

∴l1∥l2；

∵∠2+∠4=180°，

∴l1∥l2，

则能判断直线l1∥l2的有3个．

故选：C．

【点睛】

本题题考查了平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定方法．

9． （2020·广西期末）如图，给出下列条件：①∠1＝∠2：②∠3＝∠4：③AB∥CE，且∠ADC＝∠B：④AB∥CE，且∠BCD＝∠BAD．其中能推出BC∥AD的条件为（　　）

A．①② B．②④ C．②③ D．②③④

【答案】D

【详解】

解：①∵∠1＝∠2，

∴AB∥CD，不符合题意；

②∵∠3＝∠4，

∴BC∥AD，符合题意；

③∵AB∥CD，

∴∠B+∠BCD＝180°，

∵∠ADC＝∠B，

∴∠ADC+∠BCD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；

④∵AB∥CE，

∴∠B+∠BCD＝180°，

∵∠BCD＝∠BAD，

∴∠B+∠BAD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；

故能推出BC∥AD的条件为②③④．

故选：D．

10．（2019·河南郑州外国语中学期中）将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：，

．

，

．

故选．

11．（2020·山东德州·初三二模）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（　　）

A．10° B．20° C．25° D．30°

【答案】C

【解析】

如图，延长AB交CF于E，

∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°．

∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°．

∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=25°．

故选C．

12．（2020·山东烟台·初一期中）如图,AB∥CD,BF平分∠ABE,且BF∥DE,则∠ABE与∠D的关系是（　　）

A．∠ABE=3∠D B．∠ABE+∠D=90°

C．∠ABE+3∠D=180° D．∠ABE=2∠D

【答案】D

【详解】

延长CD和BF交于点G，

∵AB∥CD

∴∠CGB=∠ABG，

∵BF∥DE

∴∠CGB=∠CDE，

∴∠CDE=∠ABG，

又∵平分，

∴=2∠ABG，

∴=2∠CDE，

故选D.

13．（2019·吉林长春·初三月考）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知，，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：如图，

延长交于，

，，

，

又，

，

故选．

14．（2020·湖南初一期末）小明沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙0点，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息如下：如图，AB∥OE，OE∥CD，AC与BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为点D，下列结论中不正确的是（     ）.

A．∠BOA=∠DOC B．AB∥CD C．∠ABD=90° D．与∠AOE相等的角共有2个

【答案】D

【详解】

A、∠BOA和∠DOC是对顶角，因此∠BOA=∠DOC正确，故此选项不合题意；

B、∵AB∥OE，OE∥CD，

∴AB∥CD，正确，故此选项不合题意；

C、∵AB∥CD，

∴∠ABD=∠BDC，

∵OD⊥CD，

∴∠ADO=90°，

∴∠DBA=90°，正确，故此选项不合题意；

D、∵AB∥OE，

∴∠BAO=∠AOE，

∵CD∥EO，

∴∠OCD=∠AOE，

∵∠AOE=∠1，

∴与∠AOE相等的角有3个，原题说法错误，故此选项符合题意，

故选D．

二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）

15．（2019·广西期末）如图，能判定EB∥AC的条件是________(只需写出其中一个)．

【答案】(答案不是唯一)

【详解】

解：若，根据同位角相等，两直线平行可得EB∥AC

故答案为：(答案不是唯一)．

16．（2018·安徽初三专题练习）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=_____度．

【答案】70

【解析】

由对顶角相等可得∠ACB=∠2=40°，

在△ABC中，由三角形内角和知∠ABC=180°-∠1-∠ACB=70°．

又∵a∥b，

∴∠3=∠ABC=70°．

17．（2019·湖南期末）如图，直线平移后得到直线，若，则______.

【答案】110°.

【详解】

延长直线,如图：

∵直线a平移后得到直线b，

∴a∥b，

∴∠5=180°−∠1=180°−70°=110°，

∵∠2=∠4+∠5，∠3=∠4，

∴∠2−∠3=∠5=110°，

故答案为110°.

18．（2020·珠海市九洲中学期中）如图，已知GF⊥AB，∠1＝∠2，∠B＝∠AGH，则以下结论：①GH∥BC；②∠D＝∠F；③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正确的是_____（只填序号）

【答案】①④

【详解】

解：∵∠B＝∠AGH，

∴GH∥BC，即①正确；

∴∠1＝∠MGH，

又∵∠1＝∠2，

∴∠2＝∠MGH，

∴DE∥GF，

∵GF⊥AB，

∴DE⊥AB，即④正确；

∠D＝∠F，HE平分∠AHG，都不一定成立；

故答案为：①④．

三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）

19．（2020·甘肃兰州·初一期末）看图填空，并在括号内注明说理依据．

如图，已知，，，，与平行吗？与平行吗？

解：因为，（已知），

所以．

所以                    （    ）．

又因为 （已知），

所以．（    ）

所以．

同理可得，          ．

所以（    ）．

所以                     （同位角相等，两直线平行）．

【答案】AC；BD；同位角相等，两直线平行；垂直的定义；125；等量代换；AE；BF．.

【详解】

解：因为∠1=35°，∠2=35°（已知），
所以∠1=∠2．
所以AC∥BD（同位角相等，两直线平行）．
又因为AC⊥AE（已知），
所以∠EAC=90°．（垂直的定义）
所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°．
同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2=125°．
所以∠EAB=∠FBG（等量代换）．
所以AE∥BF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：AC；BD；同位角相等，两直线平行；垂直的定义；125；等量代换；AE；BF．

20．（2019·舞钢市教育局普通教育研究室初一月考）如图，AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠CEF＝130°，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由．

【答案】AB∥EF．理由见解析.

【详解】

AB∥EF，理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠B=∠BCD，∵∠B=70°，

∴∠BCD=70°，∵∠BCE=20°，

∴∠ECD=50°，

∵CEF=130°，

∴∠E+∠DCE=180°，

∴EF∥CD，

∴AB∥EF．

21．（2020·福建初一期末）如图，已知ΔABC．

（1）在AC的上方作射线AE， 使∠CAE =∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在(1)的条件下，在射线AE上取一点D，使AD =BC，连接CD，请说明∠ADC =∠B．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【详解】

解：（1）如图，AE为所作；
（2）如图，由作图可知：

∵∠CAE=∠ACB，AD=BC，AC=CA，

∴△ADC≌△CBA（SAS），
∴∠ADC=∠B．

22．（2020·江苏期末）实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图有两块互相垂直的平面镜，一束光线射在其中一块上，经另外一块反射，两束光线会平行吗？若不平行，请说明理由，若平行，请给予证明

【答案】会，理由见解析

【详解】

解：．

理由如下：作，，如图，

，，，

，

，

，

．

23．如图所示：

（1）若，，，求证：.

（2）若把（1）中的题设“”与结论“”对调，所得命题是否是真命题？说明理由.

【答案】（1）详见解析；（2）是真命题.

【详解】

解：（1）证明：（已知），

.（两直线平行，内错角相等），

（已知），

（等量代换），

.（同位角相等，两直线平行），

.（两直线平行，同位角相等），

.（垂直的定义）；

（2）是真命题，理由如下：

（已知），

，

.（同位角相等，两直线平行），

.（两直线平行，同位角相等），

（已知），

.（等量代换），

.（内错角相等，两直线平行）.

24．（2019·山西实验中学初一期中）综合与实践

在研究完平行线的知识内容后，“雄鹰”数学兴趣小组在课外展开了折叠纸片并研究其中问题的活动．

动手操作：

如图1．在一张长方形纸片上有一点P．将纸片依次按以下步骤进行操作：

第一步：将纸片随意折叠并展开铺平，得到折痕，如图2；

第二步：将纸片按如图3的方式折叠，然后展开铺平得到图4．折痕与折痕交于点E：

第三步：将纸片按如图5的方式折叠，然后展开铺平得到图6，折痕为．

观察思考：

“雄鹰”数学兴趣小组一名成员通过观察发现与垂直，为了验证自己的想法，他测量了图中的，发现，于是他就断定．你能解释其中的道理吗？请说明理由．

问题解决：

“雄鹰”数学兴趣小组的另外一名成员受此启发，通过观察，提出了一个猜想：．你认为这个猜想正确吗？请为你的判断说明理由．

【答案】观察思考：理由见解析；问题解决：正确，理由见解析

【详解】

观察思考：

，理由如下：

由折叠可知：∠AEC=∠BEC，

∵∠AEC+∠BEC=180°，

∴∠AEC=90°，

∴；

问题解决：

，正确，理由如下：

由折叠可知：∠CPG=∠CPF=90°，

∵由前面可知∠AEC=90°，

∴∠CPG=∠AEC，

∴.

25．（2020·浙江初一期末）综合与实践：

七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线．

（1）知识初探

如图1，长方形纸条ABCD中，，，，将长方形纸条沿直线EF折叠，点A落在处，点D落在处，交CD于点G．

①若，求的度数；

②若，则         （用含的式子表示）

（2）类比再探

如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕EF与GH有怎样的位置关系？并说明理由．

【答案】（1）①∠=100° ；② =180°－；（2）EF//GH，理由见解析．

【详解】

解：（1）①由题意得∠=∠AEF=40°

∴ ∠AEG=80°

∵ AB//CD

 ∴ ∠CGE=∠AEG=80°

∴ =100°

②由①得∠=∠AEF=

∴∠AEG=

∵ AB//CD

∴∠CGE=∠AEG=

∴=180°－

（2）EF//GH，理由如下：

由题意得∠AEF=∠=

∠CGH=∠=

∵AB//CD

∴ ∠CGE=∠AEG

∴ ∠HGE=∠FEG

∴EF//GH

26．（2018·山西初一期末）综合与探究

问题情境：如图，已知平分，于点D，E为延长线上一点，于点F，平分交于点G，．

问题发现：（1）如图1，当时，____________°；

（2）如图2，当为锐角时，与有什么数量关系，请说明理由；

拓展探究

（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，试探究和的位置关系，并证明结论；

（4）如图3，当为锐角时，若点E为线段上一点，于点F，平分交于点H，．请写出一个你发现的正确结论．

【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3），证明见解析；（4）答案不唯一，例如

【详解】（1）∵，

∴，

∵，

∴，

∵平分，平分，

∴∠1=∠AOB=45，∠2=∠DEF=45，

∴；

故答案为：90；

（2）．

理由如下：∵，分别是，的平分线，

∴，，

∴，

∵，

∴；

（3）和的位置关系为OC∥GE．

证明：∵于点，

∴．

∴．

∵，

∴，

∴OC∥GE；

（4）答案不唯一，例如．

理由如下：∵，分别是，的平分线，

∴，，

∴，

∵，

∴；