2023届河北省邢台市名校联盟高三上学期开学考试数学试题含解析

2023届河北省邢台市名校联盟高三上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意，分别计算出每个集合的具体取值范围，结合交集的定义，可得答案.

【详解】对于集合，可得不等式，解得，

对于集合，可得不等式，等价于，解得或，

则，

故选：B.

2．复数，则在复平面内对应的点所在的象限为（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的除法求，根据共轭复数的概念写出，并判断其所在的象限.

【详解】由题可得，

则，

∴在复平面内对应的点在第一象限.

故选：A.

3．已知数列的通项公式为，则取得最大值时n为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．不存在

【答案】B

【分析】先求得，利用导数求得当时，的单调性，从而确定正确答案.

【详解】依题意，

构造函数，

，

由于，所以在上恒成立，

所以在区间上递减，

所以当时，是单调递减数列，

所以的最大值为.

所以取得最大值时n为.

故选：B

4．2022年国际泳联世锦赛，中国队强势包揽本届世锦赛跳水项目全部13枚金牌，杨健以515.55的总分获男子十米台决赛金牌.若杨健在跳水运动过程中的重心相对于水面的高度h（米）与起跳后的时间t（秒）存在函数关系，则他重心入水时的瞬时速度为（       ）米/秒

A．10.1 B． C．14.8 D．

【答案】D

【分析】由题可得起跳后的秒时他重心入水，然后利用导数即得.

【详解】由，可得或(舍去)，

因为，

所以，

即他重心入水时的瞬时速度为米/秒.

故选：D.

5．如图所示，三棱柱容器的棱长为8，且到侧面的距离为，若将该容积装入容积一半的水，再以侧面水平放置，则水面高度为（       ）

A．4 B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意，分别表示两种情况下体积表示，得到两底面的面积的关系，根据相似，可得高之比，可得答案.

【详解】设三棱柱中底面上的高为，中边上的高，

则当以平面为底时，水的体积，

当以侧面水平放置时，水呈现为四棱柱，此时底面作图如下：

其中，由题意可知，则，

设其底面四边形的面积为（阴影面积），水的体积可表示为，可得，

即，则，即，

则水面高度为，

故选：C.

6．过抛物线 C：焦点 F 且斜率为的直线与C交于A、B两点（点 A 在 x轴上方），已知点，则（       ）

A． B．4 C． D．9

【答案】D

【分析】由题可得，联立抛物线方程可得，然后利用两点间距离公式即得.

【详解】由题可得，故直线，即，

由，可得，

解得或，又点 A 在 x 轴上方，

所以，又，

∴，，

所以.

故选：D.

7．如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用坐标法，设，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.

【详解】如图建立平面直角坐标系，

则，

∴，

设，，

∴，

又，

∴，

解得，

∴，

即的最小值为.

故选：B.

8．定义在R上的函数，.则下列说法不一定成立的是（       ）

A．，使，. B．，使，.

C．，使，. D．，使，.

【答案】D

【分析】根据导数的定义存在量词命题的概念结合条件可判断AB C，根据特例可判断D.

【详解】因为，

，

所以，使，，故A正确；

，使，，故B正确；

，使，，故C正确；

若，，则，此时，使，，不成立，故D不一定成立.

故选：D.

二、多选题

9．已知平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（       ）

A．6 B． C． D．

【答案】AC

【分析】由题意可知：，，两两的夹角为或，再根据平面向量数量积的运算计算的值即可求解.

【详解】，

因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，

即，，两两的夹角为或，

当夹角为时，

，，，

，

当夹角为时，

，，

，

，

所以或.

故选：AC．

10．随机事件A与B互相独立，且B发生的概率为0.4，A发生且B不发生的概率为0.3，则（       ）

A．A发生的概率为0.6 B．B发生且A不发生的概率为0.2

C．A或B发生的概率为0.9 D．A与B同时发生的概率0.2

【答案】BD

【分析】根据相互独立事件概率的知识求得正确答案.

【详解】依题意A与B互相独立，

，，

所以，A选项错误，，

所以，B选项正确，

A或B发生的概率为，C选项错误，

，D选项正确.

故选：BD

11．函数的图象关于点中心对称，且在区间恰有三个极值点，则（       ）

A．在区间单调递增.

B．在区间有六个零点.

C．直线是曲线的对称轴.

D．图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数.

【答案】BC

【分析】根据三角函数的性质可得，根据极值点的概念及三角函数的性质可得，进而可得，然后根据三角函数的性质逐项分析即得.

【详解】由题可得，

所以，

由，可得，

又在区间恰有三个极值点，

∴，可得，

∴，，

当时，，则函数有增有减，故A错误；

当时，，

由可得，，故在区间有六个零点，故B正确；

当时，，所以直线是曲线的对称轴，故C正确；

图象向左平移个单位，可得，为非奇非偶函数，故D错误.

故选：BC.

12．已知函数，则下列选项正确的是（       ）

A．在上递增；在上递减.

B．时，有两个根.

C．当时，过能做两条切线.

D．方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是.

【答案】ABCD

【分析】对A，由导数法判断单调性即可；

对B，将转化成，进而用导数法讨论有2个零点时a的范围即可；

对C，设切点，设出切线，代入点后即可等价成方程关于有两个解，此时方法同B；

对D，先由单调性进一步得在时，；时，；此时方程有两个不相等的实数根等价于满足方程只有一个根，结合判别式及根的范围讨论即可.

【详解】，

对A，由得，由得，

故在上递增；在上递减，A对；

对B，，即，令，

则，由得，且单调递减；

单调递增，由，

故，故有两个零点，即有两个根，B对；

对C，设切点为，则的切线为，

由切线过得，即关于有两个解，

令，则，则时，，时，，

则在处有最大值，，

故时，关于有两个解，又，故C对；

对D，令，由A得，，且时，；

时，. 则当，均有两个不等的x满足，

则要使方程有两个不相等的实数根，需只有一个根，

即有，即，此时方程的根为，

当时， ，则只需，解得；

当时， ，则只需，解得，

综上，a的取值范围是，D对.

故选：ABCD

【点睛】（1）关于方程解的个数的问题，一般将问题转化为用导数法讨论零点个数的问题；

（2）关于过点作函数切线条数的问题，设切点，可用点斜式得出切线方程，代入点后即可等价成方程关于方程解的个数的问题；

（3）关于二次方程实数根个数的问题，先要确定对应于实数根个数的值域范围，然后令二次方程的根t满足这个范围即可.

三、填空题

13．展开式中的项的系数是______.

【答案】30

【分析】结合乘法的分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】二项式的展开式的通项公式为，

令解得；令，解得.

所以展开式中的项的系数是.

故答案为：

14．数列1，2，－3，－4，5，6，－7，－8……的通项公式______（写一个符合条件的即可）.

【答案】 （答案不唯一）

【分析】根据要求写出通项公式即可.

【详解】由题知：数列1，2，－3，－4，5，6，－7，－8……的

通项公式.

故答案为：（答案不唯一）

15．中国象牙雕刻中传统雕刻技艺的代表“象牙鬼工球”工艺被誉为是鬼斧神工.“鬼工球”又称“牙雕套球”，是通过高超的镂空技艺用整块象牙雕出层层象牙球，且每层象牙球可以自由转动，上面再雕有纹饰，是精美绝伦的中国国粹.据《格古要论》载，早在宋代就已出现三层套球，清代的时候就已经发展到十三层了.今一雕刻大师在棱长为6的整块正方体玉石内部套雕出一可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体，若不计各层厚度和损失，最内层的正四面体棱最长为______.

【答案】

【分析】根据题意，求正方体的内切球，易知该球为所求正四面体的外接球，根据正四面体的性质，可得棱长答案.

【详解】由题意，圆取的是正方体的内切球，则该球半径，

易知该球为正四面体的外接球，如下图：

可知为外接球球心，，平面，为底面等边的中心，

设正四面体的棱长为，则，，

在中，则，即，

解得，即，

故答案为：.

16．已知椭圆C：的两个焦点为，，P为椭圆上任意一点，点为的内心，则m＋n的最大值为______.

【答案】

【分析】由，得到，再由内切圆的性质和焦半径公式得到，消去得到内切圆圆心的轨迹方程，再利用三角换元，根据三角函数的性质求解.

【详解】解：设，内切圆的半径为r，

所以，

则，

设椭圆的左右焦点为，

则，

同理，

又内切圆的性质得，

所以，

消去得，即，

又因为，

所以，

设，

则，

所以m＋n的最大值为，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是内切圆性质的应用及椭圆焦半径公式的推导与应用.

四、解答题

17．在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，，面积为S，且.

(1)求角A的大小.

(2)当a取最小值时，求的周长和面积.

【答案】(1)

(2)周长为，面积为

【分析】（1）结合面积公式，倍角公式对进行恒等变换即可得出，即可进一步讨论求得角A的大小

（2）方法一：由余弦定理得出，即可得时a取最小值，进而可求的周长和面积；

方法二：由正弦定理得出，即可得时a取最小值，进而可求的周长和面积；

【详解】(1)∵，∴，

∴

∵，∴，

又∵，∴，∴.

(2)方法一：由余弦定理得：，∵，

即

当时，最小为3，a取得最小值.

此时有.

为直角三角形，.

周长为，面积.

方法二：中，由正弦定理得：，即，.

∵，.∴

当时，，a有最小值.

此时，，.

周长为，面积为.

18．数列的前n项积.数列的前n项和.

(1)求数列、的通项公式.

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)，，

(2)前n项和为，

【分析】（1）利用求，利用求，注意的求法；

（2）由错位相减法求和．

【详解】(1)前n项积为，

①n＝1时，，

②时，，，

符合上式，∴，，.

的前n项和为，

①n＝1时，，

②时，，

，

符合上式，∴，；

(2)

记前n项和为

     ①

             ②

①－②得

∴，

19．如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，为的中点，为的中点.

(1)求证：平面.

(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）取中点为，可得，然后利用线面平行的判定定理即得；

（2）利用线面垂直的判定定理可得AM⊥平面，进而可得平面ABCD⊥平面PAD，然后建立空间直角坐标系，利用坐标法即得.

【详解】(1)取中点为，连接,

在中，∵为的中点，为中点，

∴,

在正方形中，∵为的中点，

∴,

∴，

∴四边形为平行四边形，

∴，平面，平面，

∴平面；

(2)在正三角形中，为的中点，

∴，

又∵，平面，平面，

∴AM⊥平面，平面PCD，

∴AM⊥DC，

∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，又平面，平面，

∴DC⊥平面PAD，平面ABCD，

∴平面ABCD⊥平面PAD，

取的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AD＝2，则，，，，，

，，，，

设平面MDN的法向量为，

，令，则，

设平面PDC的法向量为，

，令，则，

∴，

∴平面MND与平面PCD夹角的余弦值为.

20．全民国防教育日是每年9月的第三个星期六，它是国家设定的对全民进行大规模国防教育的主题活动日.目的是弘扬爱国主义精神，普及国防教育，使全民增强国防观念，掌握必要的国防知识和军事技能，自觉履行国防义务，关心、支持、参与国防建设.为更好推动本次活动开展，某市组织了国防知识竞赛.比赛规则：每单位一名选手参加，比赛进行n轮（），每轮比赛选手从A组题或B组题中抽取一道回答.每选手必须先回答A组题，若答对则下一轮回答B组题，若答错回答A组题.答对A组一题得10分，否则得0分，答对B组一题得20分，否则得0分，n轮结束累加总分.已知某单位拟选派甲乙中一人参赛，且甲答对A组题概率为0.8，答对B组题概率为0.5，乙答对A组题概率为0.5，答对B组题概率为0.8，且每人答对每道题相互独立.问：

(1)若比赛仅进行两轮，则安排甲乙谁参赛更合适？

(2)若安排甲选手参赛，求第四轮甲恰好回答B组题的概率.

【答案】(1)甲

(2)0.632

【分析】（1）总分的所有可能取值为0，10，30，分别求出甲、乙取得各分数的概率，求出得分期望比较即可；

（2）设“甲在第i轮回答B组题”的事件为， 则事件发生包括“甲在第轮回答A组题且正确”和“甲在第轮回答B组题（如有）且正确”，第一轮只能回答A组题，从第二轮起回答A组题与回答B组题为互斥事件

【详解】(1)依题意，总分x的所有可能取值为0，10，30，

若甲参赛，记“甲在第i轮答题且答对”为事件，

所以x的分布列为

∴

同理可得，若乙参赛，记“乙在第i轮答题且答对”分别为事件

所以x的分布列为

同理可得若乙参赛，可得乙得分期望为15.5.

∵

∴安排甲参赛得分期望高于乙参赛得分期望，安排甲参赛更合适.

(2)设“甲在第i轮回答B组题”的事件为，

则事件发生包括“甲在第三轮回答A组题且回答正确”和“甲在第三轮回答B组题且回答正确”.

∴

同理：，而

∴

∴甲参赛且第四轮正好回答B组题概率为0.632.

21．已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.

(1)求点的轨迹方程.

(2)直线l与点的轨迹交于两点，直线的斜率与直线斜率之比为，求证以为直径的圆一定过C的左顶点.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）设，由题可得，，根据斜率公式结合条件即得；

（2）由题可设直线，方程，与联立可得，进而可得，然后根据斜率关系即得.

【详解】(1)由题意得，，

设，，，

则，，

即，，得，

又∵点在C上，即，得，

∴；

(2)∵，

设直线方程为，则方程为，

联立，得（且），

设，得，，

同理设，得，，

，，

∴，即，

∴以MN为直径的圆一定过C的左顶点.

22．已知函数.

(1)若的最小值为0，求a的值；

(2)若不等式恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)e

(2)

【分析】（1）对a分类讨论，用导数法讨论的最小值，建立方程求解即可

（2）将恒成立等价成恒成立，进一步化成，即可构造函数，用导数法分析单调性，将恒成立等价成，即恒成立，最后用导数法求 最大值即可求得a的取值范围

【详解】(1)，∴

当时，，则，不符合题意.

当时，，

∴时，，时，，则在处有最大值，无最小值，不符合题意.

当时，.

∴时，，时，，则在处有最小值，

∴

综上所述，最小值为0时，.

(2)由恒成立，得恒成立，

即，

即，

即

令，则

∴在R上单调递增.

由得

∴，∴

设

所以当，，单调递增，当，，单调递减，

∴当时，有最大值为0，∴，即，

所以a的取值范围为

【点睛】证明不等式恒成立问题，一般可构造函数.一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数的部分的最值；当参数不能分离出来时，可将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式，如本题的，此时参数a已可分离求解