2023届山东省“学情空间”区域教研共同体高三上学期入学考试数学试题含解析

这是一份2023届山东省“学情空间”区域教研共同体高三上学期入学考试数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届山东省“学情空间”区域教研共同体高三上学期入学考试数学试题 一、单选题1．已知集合，集合，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合B，再求出.【详解】集合.因为，所以.故选：C2．已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据复数的除法，结合共轭复数的概念求解即可【详解】由已知可得，所以.故选：B.3．已知向量、为单位向量，则是的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为向量、为单位向量，所以，若，则，则，即，即，即，所以，故充分性成立，若，则，所以，即，所以，，所以成立，故必要性成立，故是充分必要条件；故选：C4．已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据利用两角和的余弦公式计算可得.【详解】解：因为，所以，又，所以，所以故选：C5．随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁位运动员要与这个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将其中个“冰墩墩”捆绑，记为元素，另外个“冰墩墩”记为元素，将、元素插入这位运动员所形成的空中，结合插空法可求得结果.【详解】因为个“冰墩墩”完全相同，将其中个“冰墩墩”捆绑，记为元素，另外个“冰墩墩”记为元素，先将甲、乙、丙、丁位运动员全排，然后将、元素插入这位运动员所形成的空中，且、元素不相邻，则不同的排法种数为.故选：B.6．已知等差数列的前n项和为，则n的值为（       ）A．8 B．11 C．13 D．17【答案】D【分析】根据为，得到，结合，两式相加，再利用等差数列的性质得到，利用求出的值.【详解】①，因为，，所以②，①+②得：，由等差数列的性质可知：，所以，又因为，所以.故选：D7．已知变量的关系可以用模型（其中为自然对数的底数）进行拟合，设，其变换后得到一组数据如下：46781023456 由上表可得线性回归方程，则当时，预测的值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，代入线性回归方程求得，可得模拟函数，然后代入可得的预测值．【详解】由表格数据计算可知：.将代入，解得.所以.所以.所以当时，.故选：D.8．对于问题“求证方程只有一个解”，可采用如下方法进行证明“将方程化为，设，因为在上单调递减，且，所以原方程只有一个解”.类比上述解题思路，则不等式的解集是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】类比题目构造函数的过程，对不等式进行整理变形为，由其结构特征，构造函数，根据其单调性，对原不等式进行转化求解.【详解】由不等式，得.设函数，则，所以在上单调递增.因为，所以.解得或.故选：A. 二、多选题9．下列叙述正确的是（       ）A．命题“”的否定是“”B．在空间中，已知直线，，满足，，则C．的展开式中的系数为D．已知定义在上的函数是以为周期的奇函数，则方程在上至少有个实数根【答案】ACD【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断A，根据空间中直线与直线的位置关系判断B，根据二项式展开式的图通项公式判断C，根据奇函数及周期性判断D.【详解】解：对于A：命题“”为全称命题，其否定是“”，故A正确；对于B：若在空间中直线，，满足，，则和相交或异面或平行，故B错误；对于C：二项式展开式的通项为，所以展开式中的系数为，故C正确；对于D：因为函数是上的奇函数，所以，又函数的周期为，所以，又且，所以，所以方程在上至少有个实数根，故D正确；故选：ACD10．函数，某相邻两支图像与坐标轴分别交于点，，则方程的解为（       ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】先根据正切函数的性质求出，得到的解析式，直接解方程即可求得.【详解】因为函数，某相邻两支图像与坐标轴分别交于点，，所以函数的周期为解得：.此时.又图像经过，所以，且，解得：.所以.故方程可得：或，解得：或.故选：BD11．（多选题）如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，以下结论正确的有（       ）A．B．点到平面的距离为定值C．三棱锥的体积是正方体体积的D．异面直线，所成的角为定值【答案】ABC【分析】由线面垂直推出异面直线垂直可判断A；由点到平面的距离可判断B；运用三棱锥的体积公式可判断C；根据异面直线所成角的定义判断D.【详解】解：对于，根据题意，，，且，所以平面，而平面，所以，所以正确；对于，到平面的距离是定值，所以点到的距离为定值，所以正确；对于，三棱锥的体积为，三棱锥的体积是正方体体积的，所以正确；对于，当点E在处，F为的中点时，异面直线AE，BF所成的角是，当在的中点时，F在的位置，异面直线AE，BF所成的角是，显然两个角不相等，命题错误；故选：．12．已知F为双曲线的右焦点，过F的直线l与圆相切于点M，l与C及其渐近线在第二象限的交点分别为P，Q，则（       ）A． B．直线与C相交C．若，则C的渐近线方程为 D．若，则C的离心率为【答案】AD【分析】根据给定条件，计算切线长判断A；由直线斜率与的大小说明判断B；求出出点Q，P的坐标计算判断C，D作答.【详解】令双曲线的半焦距为c，有，，依题意，，如图，对于A，，A正确；直线的斜率，直线是双曲线C过第一三象限的渐近线，直线与C不相交，B不正确；对于C，由选项A可得点，设点，依题意，，即，解得，即，又点Q在直线上，则有，解得，有，C的渐近线方程为，C不正确；对于D，由选项C同理得点，因此，即，解得，D正确.故选：AD 三、填空题13．已知，且，则的最小值为___________.【答案】【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】解：，，且，则，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值等于，故答案为：．14．在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点且，则______．【答案】【分析】根据终边上一点，求得，再结合可求得，再利用三角函数定义可求解.【详解】因为终边上一点，所以，又，所以可得，所以，故答案为：．15．设过点的直线l的斜率为k，若圆上恰有三点到直线l的距离等于1，则k的值为___________.【答案】1或7【分析】设出直线l的方程，根据圆上恰有三点到直线l的距离等于1，得到圆心到直线l的距离为1，利用点到直线距离列出方程，求出k的值.【详解】设直线l的方程为，其中的圆心为，半径为2，因为圆上恰有三点到直线l的距离等于1，故圆心到直线l的距离为1，即，解得：或7，故答案为：1或716．若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围是___________.【答案】【分析】设切点为,过点P的切线方程为.把题意转化为方程有三个不等根. 令，利用导数判断单调性，求出最值，即可求出m的取值范围.【详解】由题意得.设切点为,过点P的切线方程为，代入点P坐标化简为,即这个方程有三个不等根.令，求导得：.令,解得：;令,解得：或.所以函数在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.故得到.因为所以，即m的取值范围是.故答案为： 四、解答题17．已知分别为的内角所对的边，且(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由正弦定理化角为边，再利用余弦定理及特殊角的三角函数即得；（2）由余弦定理表示出关系，再由基本不等式得出的最大值，从而可得面积最大值；或利用正弦定理边角互化，然后利用三角恒等变换及三角函数的性质即得．【详解】(1)在中，由题意及正弦定理得，整理得，由余弦定理得，因为，所以；(2)方法一：由（1）知，，又，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以；方法二：由（1）知，，又，所以由正弦定理，知，所以，所以，又因为，所以，因为，所以，所以当，即时，的面积取得最大值，最大值为.18．设为数列的前n项和，是首项为1，公差为1的等差数列.(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出的通项公式，即可得到，再根据作差计算可得；（2）由（1）可得，记数列的前项和为，利用错位相减法计算可得.【详解】(1)解：因为是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以，当时，当时，所以，当时也成立，所以.(2)解：由（1）可知，记数列的前项和为，所以，所以，所以，所以.19．《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N（μ，σ2），并把质量差在（μ﹣σ，μ+σ）内的产品为优等品，质量差在（μ+σ，μ+2σ）内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：（1）根据频率分布直方图，求样本平均数（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率．（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．（3）假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求X的分布列以及期望值．【答案】（1）70； （2）； （3）分布列见解析，．【解析】（1）结合频率分布直方图，用同一组中的数据用该组区间的中点值代表即可求得平均值，利用平均数的计算公式，即可求解；（2）由题意，可得，得到正品概率，再利用正态分布曲线的性质，即可求解；（3）得出所有可能为，再利用超几何分布求出每个的取值所对应的概率即可得到分布列，然后求出数学期望即可．【详解】（1）由频率分布直方图中平均数的计算公式，可得．（2）由题意可知，检查样本数据的方差的近似值为100，即样本方差，所以标准差，所以随机变量，可得该厂生产的产品为正品的概率： .（3）由题意，随机变量所有可能为，则，，，，所以随机变量的分布列为：0123  所以随机变量的期望．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，正态分布中概率的计算，以及离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，着重考查数据分析能力，以及运算能力.20．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）证明出，.利用向量法求解；（3）利用向量法求解.【详解】(1)连接FG.在△中，F、G分别为的中点，所以.又因为平面, 平面，所以平面.(2)因为平面,平面，所以.又，所以.以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.则,.,.设平面SCD的一个法向量为.则，即，令,得.所以平面SCD的一个法向量为.又平面ESD的一个法向量为.所以由图形可知,二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.(3)假设存在点H,设,则.由（2）知,平面的一个法向量为.则，即,所以.故存在满足题意的点H,此时.21．椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点的直线l与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意可得，根据椭圆的定义、三角形面积公式及勾股定理求出，即可求出，从而得解；（2）首先求出的坐标，分直线的斜率为与不为两种情况讨论，当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由，推出，解得，进而可得答案．【详解】(1)解：因为，所以，即，所以，所以又，，，所以，即，所以，所以，所以椭圆方程为.(2)解：由（1）知，，所以，即，当直线的斜率为时，此时，不合题意，当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，联立，得，所以，，因为，所以，所以，所以，所以，所以，解得或，当时，直线过点，不符合题意，所以直线的方程为．22．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，若不等式恒成立，求的最小值．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）对求导，通过分类讨论判断的单调性（2）恒成立，利用导数求出的最大值，通过对上式变形可以得到，最后构造函数，利用导数判断的单调性，求出的最大值即为所求【详解】(1)∵， （Ⅰ）当时，在上单调递增，（Ⅱ）当时，令，则，令，则，∴在上单调递增， 上单调递减，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减(2)∵恒成立，∴恒成立，即恒成立，令，其中，，∵，∴，令，即，解得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．∴当时，函数取得极大值，也是最大值，且，∵恒成立，即恒成立，即，可得恒成立．设，∴，可设，则，∵，∴在上单调递增，∴当时，函数取得最大值，且，∴，即的最小值为【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数最值，考查了分类讨论的数学思想，属于难题