2023届上海市实验学校高三上学期开学考数学试题含解析

这是一份2023届上海市实验学校高三上学期开学考数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市实验学校高三上学期开学考数学试题 一、单选题1．若cos θ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】试题分析：且，，为第四象限角．故D正确．【解析】象限角．2．已知，则的最小值为（       ）A．50 B．49 C．25 D．7【答案】B【分析】由结合基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，根据基本不等式，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为49.故选：B.3．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（       ）（参考数据）A．11分钟 B．14分钟C．15分钟 D．20分钟【答案】A【分析】由时，求得；由列不等式，通过解不等式来求得需要的时间.【详解】依题意可知时，，即，所以，由，得，两边取以为底的对数得，，所以至少需要分钟.故选：A4．已知递增正整数数列满足，则下列结论中正确的有（       ）（1）､､可能成等差数列；（2）､､可能成等比数列；（3）中任意三项不可能成等比数列；（4）当时，恒成立.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】首先根据题意得到数列间的关系，不放假设，可判断（1）；假设､､是等比数列退出矛盾可判断（2）,进而可判断（3）；同（2）一样证明中任意三项不可能成等比数列；当时，可判断（4）；【详解】因为，因为是递增正整数数列，所以，当时，，不满足题意；所以，若，则，不满足题意；所以，，不妨取，，此时､､成等差数列，故（1）正确；若､､成等比数列，则，所以，所以即与矛盾，故（2）错误；同理假设成等比数列则，所以，与矛盾故（3）正确；当时，且，故（4）正确；故选：D【点睛】本题主要考查数列与组合数相结合的综合题，组合数公式，这是正确计算的关键，其次也要注意式子的化简与放缩等. 二、填空题5．若集合，集合，则__________．【答案】【分析】先求得集合，或，再根据集合的并集运算，即可求解．【详解】由集合，集合或，则．故答案为．【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．若复数的实部与虚部相等，则的值为 _________________．【答案】【详解】试题分析：因为，所以由题意得：【解析】复数概念7．若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为________．【答案】【详解】试题分析：记正三棱锥为，点在底面内的射影为点，则，在中，，所以.【解析】正三棱锥的性质和体积的计算.8．函数的值域为________【答案】【分析】利用对数函数的单调性易得函数的值域.【详解】因为在上单调递增，故在上也单调递增，所以，即，故的值域为.故答案为: .9．已知，与的夹角为，则在上的数量投影为______．【答案】【分析】利用平面向量的几何意义可得出结果.【详解】由题意可得，所以，在上的数量投影为.故答案为：.10．已知为等差数列，其前n项和，若，，，则______【答案】【分析】根据，，求得公差，再代入等差数列的前项和公式.【详解】∵，，∴，∵，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，前项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.11．一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________【答案】0.88【分析】根据相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式直接求解即可．【详解】＂至少有一个公司不需要维护＂的对立事件是＂两公司都需要维护＂，所以至少有一个公司不需要维护的概率为，故答案为0.88．【点睛】本题主要考查概率的求法以及相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式的应用．12．由一组样本点、、、、，根据最小二乘法求得的回归方程为，则___________.【答案】【分析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程即可求得的值.【详解】由已知条件可得，，将点的坐标代入回归直线方程可得，解得.故答案为：.13．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果．【详解】由.①当时，函数单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.故答案为：.【点睛】关键点点睛：由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，这是解决本题的关键点和突破点.14．设随机变量服从正态分布，已知则_________．【答案】【详解】试题分析：因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴为，由于所以.【解析】正态曲线.【方法点晴】本题主要考查了正态曲线的对称性，属于基础题.本题解答的关键是根据条件“随机变量服从正态分布”找到其对应的正态曲线的对称轴，再利用正态曲线与轴围成的面积和为及其对称性，即可得到随机变量在内取值的概率就是,解答时，应画出图形，这样更加直观.15．已知圆，点，、为圆上两点且满足，为中点，且构成三角形，记的面积为，则的最大值为________【答案】【分析】如图，由已知，为中点可得出，，利用勾股定理得到，等价转化为，设点并代入上式得到的轨迹方程，当到最大距离为圆的半径时，最大.【详解】如图：因为，所以，因为为斜边中点，所以，根据垂径定理可知，，所以，所以，设，则，，所以，展开整理得，轨迹是以为圆心（中点），半径为的圆，所以到最大距离为，且，所以，所以的最大值为.故答案为：16．若，函数的值域为，则的取值范围是________.【答案】【分析】首先利用辅助角公式对化简，可得，再利用的值域，可求出的范围，即得，再结合余弦函数的单调性，，，即可求出的取值范围.【详解】，其中，，因为，所以，令，则的值域为，可得的值域为 又因为，所以，即，且单调递减，因为，，所以的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数求值域，涉及了辅助角公式，二倍角公式，三角函数的单调性，属于中档题. 三、解答题17．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值；（1）a0；（2）a1＋a3＋a5＋…＋a99；（3）(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.【答案】（1）2100；（2）；（3）1.【分析】（1）令x＝0可得答案；（2）令x＝1和x＝－1，两式相加可得答案；（3）利用平方差公式，再将（2）中的①②两式代入计算即可.【详解】解：（1）令x＝0，则展开式可化为a0＝2100.（2）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(2－)100①令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100②联立①②得：a1＋a3＋…＋a99＝.（3）原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝(2－)100(2＋)100＝1.18．如图，三棱锥，平面，且垂足在棱上，，，，；（1）证明△为直角三角形；（2）求点到平面的距离；【答案】（1）证明见解析；（2）；【分析】（1）建立空间坐标系，利用向量法即可证明△PBC为直角三角形；（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．【详解】（1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系，如图：则，于是，即为直角三角形.（2）由（1）可得，，故，，设平面PBC的法向量为，则，即，取，则，∴平面PBC的一个法向量为，设点到平面的距离为d,则，所以点到平面的距离为.【点睛】本题主要考查了空间坐标系，利用向量法求证线线垂直，点到平面的距离，属于中档题．19．已知双曲线，其右顶点为求以为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程；设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值【答案】(1)   (2)或【分析】（1）利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆的标准方程；（2）设出与直线平行的直线，代入双曲线方程，求得的值，即可求解．【详解】（1）由题意，双曲线，可得右顶点为，又由曲线的渐近线方程为，即，则点到渐近线的距离为，即圆的半径为，所以圆的方程为．（2）由题意，直线法向量为，可得直线的斜率为1，设与直线平行的直线方程为，联立方程组，整理得，令，解得，当时，直线与的距离为；当时，直线与的距离为，所以的值或．【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，以及直线与双曲线的位置关系的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．20．已知函数．(1)当时，求在点的切线方程；(2)若在上存在单调减区间，求实数的取值范围；(3)若在区间上存在极小值，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）求解导函数，分别计算，利用点斜式写出直线方程；（2）构造新函数，利用存在型问题的解决办法，求解最大值；（3）计算函数的极小值点，再根据极小值所在范围列不等式，分类讨论求解.【详解】(1)，因为，所以，，所以，，所以曲线在点的切线方程为；(2)函数在上存在减区间，则有在区间上有解，即在区间上有解，此时令，       显然在区间上单调递减，所以，故有，所以实数的取值范围是.(3)函数在区间上存在极小值，则函数的极小值点应落在内，令，得，，在，上单调递增，在上单调递减；是函数的极小值点，即得，当时，不等式恒成立；当时，，解得，所以实数的取值范围是【点睛】研究单调区间与极值存在问题可转化为研究不等式存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 21．已知数列是公差不为0的等差数列，，数列是等比数列，且，，，数列的前项和为，记点，．(1)求数列的通项公式；(2)证明：点、、、、、在同一直线上，并求出直线的方程；(3)若对恒成立，求的最小值．【答案】(1)；(2)证明见解析，；(3)【分析】（1）根据题意运用等差数列和等比数列的通项公式列方程组，解方程可求得公差和公比，利用等比数列通项公式可求得结果；（2）根据（1）求出和，令，，消去得直线，从而得到证明；（3）设，当为奇数时和当为偶数时分别讨论的单调性，从而得到的范围，进一步得到的范围，由对恒成立，得到，易得的最小值.【详解】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题设可得解得或因为数列是公差不为0的等差数列，所以，即；(2)证明： 由题知，，，消去得，即点点、、、、、在同一直线上；(3)证明：由（2）可知 ，令，因为，所以随着的增大而增大，当为奇数时，在奇数集上单调递减，，；当为偶数时，在偶数集上单调递增，，，所以，，因为对恒成立，所以，即