2023届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考（一）数学试题含解析

这是一份2023届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考（一）数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考（一）数学试题 一、单选题1．已知集合，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合，结合集合的补集及交集的定义即可求解.【详解】由，得，所以.由，得，所以，所以，故选：B.2．已知复数满足，则（       ）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】设，代入中化简可求出，【详解】设，因为，所以，所以所以，因为，所以，即，所以，所以，故选：B3．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（       ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】由题意可得，故 ，，，故 ，由于 ，故，故选：C4．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的，则可推断该文物属于（       ）参考数据：参考时间轴： A．宋 B．唐 C．汉 D．战国【答案】D【分析】根据给定条件可得函数关系，取即可计算得解.【详解】依题意，当时，，而与死亡年数之间的函数关系式为，则有，解得，于是得，当时，，于是得：，解得，由得，对应朝代为战国，所以可推断该文物属于战国.故选：D5．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有A．240种 B．188种 C．156种 D．120种【答案】D【详解】当E,F排在前三位时，=24,当E,F排后三位时，=72，当E,F排3，4位时，=24，N=120种，选D.6．函数（且）在一个周期内的图象如图所示，将函数图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（       ） A． B．1 C．－1 D．【答案】A【分析】由图象得的解析式，再由三角函数的图象变换可得函数的解析式，即可求.【详解】解：由图象可知，则．由，得．则．∵点在函数图象上，∴，∴，．∵，∴.∴函数解析式为．将函数图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得．故．故选:A．7．在三棱锥中，平面ABC，，与的外接圆圆心分别为，，若三棱锥的外接球的表面积为，设，，则的最大值是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可得，然后利用球的性质可得，进而可得，再利用基本不等式即求.【详解】∵平面ABC，∴，则为直角三角形，其外心为PB的中点，的外心，∴，又，∴，设三棱锥的外接球的为，连接，则平面ABC，∴，∴，又三棱锥的外接球的表面积为，∴，即，由可得，∴，当且仅当时取等号.∴的最大值是.故选：B.8．蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是，这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱的三个顶点处分别用平面，平面，平面截掉三个相等的三棱锥，平面，平面，平面交于点，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面与正六边形底面所成的二面角的大小为，则（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用的面积与的面积比可求的值.【详解】解：先证明一个结论：如图，在平面内的射影为 ，的平面角为 , ，则. 证明：如图，在平面内作，垂足为，连接，因为在平面内的射影为，故，因为，故，因为，故平面.因为平面，故，所以为二面角的平面角，所以=.在直角三角形中，.由题设中的第二图可得：.设正六边形的边长为，则，如图，在中，取的中点为，连接，则，且，，故，故，故.故选：C.【点睛】二、多选题9．已知椭圆：，、是椭圆的两个焦点，、是椭圆上两点，且、分别在轴两侧，则（       ）A．若直线经过原点，则四边形为矩形B．四边形的周长为20C．的面积的最大值为12D．若直线经过，则到直线的最大距离为8【答案】BC【分析】根据题意，结合椭圆的对称性，焦点三角形的性质依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：选项A：若直线经过原点，易知四边形为平行四边形，因为不一定与相等，所以不一定是矩形，故不正确；选项B：四边形的周长为，故正确；选项C：的面积的最大值为，故正确；选项D：若直线MN经过，则到直线的最大距离为，故不正确．故选：BC．10．已知正方体的棱长为2，点O为的中点，若以O为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（       ） A．平面B．与EH所成的角的大小为45°C．平面D．平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为【答案】ABD【分析】首先根据球的性质、勾股定理说明E，F，G，H分别是正方体棱的中点，再根据线面平行的判定定理、异面直线所成角的求法、线面垂直的性质以及二面角的定义、等腰三角形进行判断.【详解】在正方体中，平面，又平面，所以，在中，，又正方体的棱长为2，点O为的中点，所以，又，设，所以，即H是正方体棱的中点，同理可证，E，F，G分别是棱，，的中点.对于选项A，因为G，H分别是棱、的中点，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于选项B，因为，所以与EH所成的角即为，因为E，H分别是棱、的中点，大小为45°，故B正确；对于选项C，因为E，H分别是棱、的中点，所以，因为G，H分别是棱、的中点，所以面，所以，又，所以平面，又，所以不垂直于平面，故C错误；对于选项D，取EF、GH的中点I、Q，连接OI 、QI、QO，因为OF=OE，所以，同理可证，所以即为平面与平面OEF所成角的平面角，根据勾股定理有：，，，所以在等腰中有：. 所以平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为，故D正确.故选：ABD.11．已知函数，则（       ）A．在单调递增B．有两个零点C．曲线在点处切线的斜率为D．是偶函数【答案】AC【解析】根据函数的定义域可判断D，利用函数的导数的正负可判断A，利用导数的几何意义可判断C，根据函数值的情况及零点定义可判断B.【详解】由知函数的定义域为，，当时，，，故在单调递增，A正确；由，当时，，当，所以只有0一个零点，B错误；令，，故曲线在点处切线的斜率为，C正确；由函数的定义域为，不关于原点对称知，不是偶函数，D错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题.12．已知函数，则下列说法正确的有（       ）A．当时，B．若不等式至少有3个正整数解，则C．过点作函数图象的切线有且只有一条D．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是【答案】ACD【分析】A选项，利用分段函数特征求解解析式；B选项，数形结合进行求解；C选项，设出切点坐标，利用斜率列出方程， 结合单调性得到零点个数，即可判断；D选项，同构构造函数，参变分离，利用导函数得到最值，进而求出的最大值.【详解】对于A：当，∴，，∵，∴，A正确；对于B：，画出与的图象，根据函数的图象，要想至少有3个正整数解，要满足，∴，故B错；对于C：设切点则，∴，即，设，当时，，∴是单调递增函数，∴最多只有一个根，又，∴，由得切线方程是，故C正确；对于D.：由题意.设，则，于是在上是增函数.因为，，所以，即对任意的恒成立，因此只需.设，，所以在上为增函数，所以，所以，即的最大值是，选项D正确；故选：ACD.【点睛】分段函数与不等式相结合的题目，往往需要数形结合进行求解，尤其是整数解个数问题，画出函数图象，转化为交点个数问题等. 三、填空题13．的展开式中的系数是______（用数字作答）．【答案】-4480【分析】，把三项式转化成二项式，利用二项式定理求解.【详解】解：，其展开式的通项为，令，则，的通项为，令的系数为.所以的展开式中的系数是.故答案为：-448014．过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______．【答案】【分析】由题知、，进而求解方程即可.【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，所以，所以直线的方程为，即；方法2：设，，则由，可得，同理可得，所以直线的方程为.故答案为：15．已知函数有两个不同的极值点、，且，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】由可得，分析可知函数在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，且，令可得，设，其中，则函数在上有两个不等的零点，所以，，解得.故答案为：. 四、双空题16．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆是“黄金椭圆”，则___________，若“黄金椭圆”两个焦点分别为、，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则___________．【答案】          【分析】由离心率的定义可求得，利用结合椭圆定义可求解．【详解】由题，，所以．如图，连接，设内切圆半径为，则，即，，∴，∴∴，∴．故答案为：；． 五、解答题17．已知数列满足(1)记，写出，并求出数列的通项公式；(2)求数列的前2022项和.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根据的定义求得，求出，由等比数列通项公式可得结论；（2）由得，，然后用并项求和法结合等比数列前项和公式计算．【详解】(1)，又(2)，则18．如图，为中点，曲线上任一点到点的距离相等，在曲线上且关于对称.(1)若点与点重合，求的值；(2)求五边形面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理即可得出答案；（2）根据题意可得，则，设，则，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.【详解】(1)若点P与点C重合，连接，，在中，，所以，因为，所以，(2)连接，因为曲线CMD上任一点到O距离相等，所以，因为P，Q关于OM对称，所以，设，则，则，其中，当时，取得最大值，所以五边形面积S的最大值为.19．如图，圆台下底面圆的直径为， 是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，.(1)证明：平面；(2)求平面和平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)线线垂直从而证明线面垂直.(2)利用向量法，即可求二面角的余弦值.【详解】(1)∵为圆台下底面圆的直径，是圆上异于的点，故又∵，，∴∵，∴，∴∴，又∵，，平面∴平面(2)取的中点，连接，则，由(1)可知，∵，∴平面，又∵ ∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系；…由题意可得，，∵平面，∴，四边形为矩形，∴   平面的一个法向量为.设平面的一条法向量为，，由     得     令，则，平面的一个法向量为             则平面与平面的夹角的余弦值为∴平面和平面夹角的余弦值为20．根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：1230概率 其中.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.(1)若，求和；(2)为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育､医疗福利的增加等）.①若希望增大，如何调控的值？②是否存在的值使得，请说明理由.【答案】(1)，；(2)①增加p的取值；②不存在，理由见解析.【分析】(1)根据条件概率计算方法求出，再根据即可计算求值；(2)①根据分布列的概率和为1得到与p的关系，构造函数，利用导数判断其单调性，求出其f(p)单调性，从而可判断=α的单调性，从而得到结果；②根据分布列概率和为1及列出关于p的方程，判断方程是否有解即可．【详解】(1)由题意得：，所以，．由全概率公式，得，又，则；(2)①由，得，记，，则，记，则，故在单调递减．∵，∴，∴，在单调递减．因此增加p的取值，会减小，增大，即增大．②假设存在p使，又，将上述两式相乘，得，化简得，，设，则，则在单调递减，在单调递增，的最小值为，∴不存在使得．21．设为双曲线的左､右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.(1)求双曲线的离心率；(2)已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】(1)2(2)以为直径的圆过定点或【分析】（1）当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，故，列出方程，得到，求出离心率；（2）直线的斜率存在时，设出直线，与双曲线联立后得到两根之和，两根之积，求出直线，得到，同理得到，求出以为直径的圆的圆心和半径，得到以为直径的圆的方程，求出定点坐标，再验证当直线的斜率不存在时，是否满足.【详解】(1)由已知得：，将代入中，，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，此时，即，整理得：，因为，所以，方程两边同除以得：，解得：或（舍去），所以双曲线的离心率为2(2)因为，所以，解得：，故，，所以双曲线方程为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，与双曲线联立得：，设，则，，因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，所以，解得：，直线，则，同理可求得：，则，其中，所以则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，所以以为直径的圆的方程为：，整理得：，所以以为直径的圆过定点，，当直线的斜率不存在时，此时不妨设，此时直线，点P坐标为，同理可得：，.以为直径的圆的方程为，点，在此圆上，综上：以为直径的圆过定点，.【点睛】直线过定点问题或圆过定点问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再表达出直线方程或圆的方程，结合方程特点，求出所过的定点坐标.22．已知是自然对数的底数，函数，直线为曲线的切线，.(1)求的值；(2)①判断的零点个数；②定义函数在上单调递增.求实数的取值范围.【答案】(1)1(2)①零点个数为1个；② 【分析】（1）求出的导数，设出切点，可得斜率，由切线方程可得参数方程即可求得答案；（2）①利用零点的性质判断出零点的范围，然后利用的导数判断出函数的单调性，即可判断出零点个数；②先求出的交点设为，并求出的具体范围，然后利用新定义求最小值并求得的解析，然后利用恒成立的判断分离参数后利用函数的单调性即可求得答案.【详解】(1)解：由题意得：设切线的且点位，则可得：，又可得 ： ①又因为直线为曲线的切线故可知 ②由①②解得：(2)① 由小问（1）可知： ，故必然存在零点，且又因为，当时，当时，令 故故在上是减函数综上分析，只有一个零点，且② 由的导数为当时，递增，当时，递减；对的导数在时，递增；设的交点为，由（2）中①可知当时，，由题意得：在时恒成立，即有；在上最值为故当时，，由题意得：在时恒成立，即有令，则可得函数在递增，在上递减，即可知在处取得极小值，且为最小值；综上所述：，即.