人教版数学九年级上册专项培优练习十一《二次函数综合题专练》（含答案）

人教版数学九年级上册专项培优练习十一

《二次函数综合题专练》

1.如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF.

(1)求证：∠HEA=∠CGF；

(2)当AH=DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；

(3)设AH=x，DG=2x，△FCG的面积为y，试求y的最大值.

2.如图，抛物线L：y=﹣(x﹣2)2+m2+2m与x轴交于A，B，直线y=kx﹣1与y轴交于E，与L的对称轴交于点F(n，3)，与L交于D，抛物线L的对称轴与L交于P.

(1)求k的值.

(2)点P能否与点F关于x轴的对称点重合？若认为能，请求出m的值；若认为不能，说明理由.

(3)小林研究了抛物线L的解析式后，得到了如下的结论：因为m可以取任意实数，所以点C可以在y轴上任意移动，即C点可以到达y轴的任何位置，你认为他说的有道理吗？说说你的想法.

(4)当抛物线L与直线y=kx﹣1有两个公共点时，直接写出适合条件的m的最大整数.

3.如图，二次函数y=ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．

(1)求a，b的值；

(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．

4.如图，抛物线y=x2﹣3x＋1.25与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E.

(1)求直线BC的解析式；

(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标.

5.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．

求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

6.已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5(a＞0).

(1)当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；

(2)①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；

②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；

(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值.

7.一次函数y=x的图象如图所示，它与二次函数y=ax2﹣4ax＋c的图象交于A、B两点(其中点A在点B的左侧)，与这个二次函数图象的对称轴交于点C.

(1)求点C的坐标；

(2)设二次函数图象的顶点为D.

①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；

②若CD=AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．

8.如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)求C、D两点坐标及△BCD的面积；

(3)若点P在x轴上方的抛物线上，满足2S△PCD=S△BCD，求点P的坐标.

9.如图，已知抛物线经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M是线段BC上的点(不与B，C重合)，过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；

(3)在(2)的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

10.如图，已知抛物线y=x2＋bx与直线y=2x＋4交于A(a，8)，B两点，P是抛物线上A，B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)若C为AB的中点，求PC的长.

(3)如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为(m，n)，请求出m，n之间的关系式.

11.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣4x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.

(1)求直线BC的表达式；

(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线BC交于点N(x3，y3)，若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1＋x2＋x3的取值范围.

12.如图，抛物线y＝a(x－1)2＋c与x轴交于点A(1－，0)和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′(1，3)处.

(1)求原抛物线的函数表达式；

(2)学校举行班徽设计比赛，九年级(5)班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比(约等于0.618).请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少(参考数据：≈2.236，≈2.449，结果可保留根号).

参考答案

1.证明：(1)过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE，

∵CD∥AB，

∴∠AEG=∠MGE，

∵GF∥HE，

∴∠HEG=∠FGE，

∴∠AEH=∠FGM；

(2)证明：在△HDG和△AEH中，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠D=∠A=90°，

∵四边形EFGH是菱形，

∴HG=HE，

在Rt△HDG和△AEH中，

，

∴Rt△HDG≌△AEH(HL)，

∴∠DHG=∠AEH，

∴∠DHG+∠AHE=90°

∴∠GHE=90°，

∴菱形EFGH为正方形；

(3)解：过F作FM⊥CD于M，

在△AHE与△MFG中，

，

∴△AHE≌△MFG，

∴MF=AH=x，

∵DG=2x，

∴CG=6﹣2x，

∴y=CG•FM=•x•(6﹣2x)=﹣(x﹣)2+，

∵a=﹣1＜0，

∴当x=时，y最大=.

2.解：(1)抛物线L的对称轴是x=2，

所以n=2，点F(2，3)，代入y=kx﹣1中，得3=2k﹣1，解得k=2；

(2)不能，理由：点P的坐标为(2，m2+2m)，点F关于x轴的对称点F'的坐标是(2，﹣3)，

若点P与点F'重合，则m2+2m=﹣3，即：(m+1)2=﹣2.显然不可能；

(3)没道理，因为，点C的纵坐标为yC=m2+2m﹣4=(m+1)2﹣5

因为yC的最小值为﹣5，

所以无论m取何值，点C都不能到达(0，﹣5)以下的位置.

(4)直线y=kx﹣1的解析式为y=2x﹣1

当﹣(x﹣2)2+m2+2m=2x﹣1时，得x2﹣2x﹣(m2+2m﹣3)=0，

△=22﹣4×1×(m2+2m﹣3)=﹣4[(m+1)2﹣5]

当△≥0时，(m+1)2﹣5≥0，

所以适合条件的m的最大整数值是1.

3.解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y=ax2＋bx，

得，解得：；

(2)如图，过A作x轴的垂直，垂足为D(2，0)，连接CD，

过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，

S△OAD=OD•AD=×2×4=4；

S△ACD=AD•CE=×4×(x﹣2)=2x﹣4；

S△BCD=BD•CF=×4×(﹣x2＋3x)=﹣x2＋6x，

则S=S△OAD＋S△ACD＋S△BCD=4＋2x﹣4﹣x2＋6x=﹣x2＋8x，

∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2＋8x(2＜x＜6)，

∵S=﹣x2＋8x=﹣(x﹣4)2＋16，

∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．

4.解：(1)∵抛物线y=x2﹣3x＋与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，

∴令y=0，可得x=0.5或x=，

∴A点坐标为(0.5，0)，B点坐标为(，0)；

令x=0，则y=，∴C点坐标为(0，).

设直线BC的解析式为y=kx＋b，

则有k＋b=0，b=，解得k=，b=.

∴直线BC的解析式为y=﹣x＋；

(2)设点D的横坐标为m，则坐标为(m，m2﹣3m＋)，

∴E点的坐标为(m，﹣m＋).

设DE的长度为d.

∵点D是直线BC下方抛物线上一点，

则d=(﹣m＋)﹣(m2﹣3m＋)=﹣m2＋m.

∵a=﹣1＜0，∴当m=时，d有最大值，d最大=，

∴m2﹣3m＋=()2﹣3×＋=﹣，

∴点D的坐标为(，﹣)

5.解：(1)设此抛物线的函数解析式为：y=ax2＋bx＋c(a≠0)，

将A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)三点代入函数解析式得：

解得，

所以此函数解析式为：y=x2＋x﹣4；

(2)∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，

∴M点的坐标为：(m，m2＋m﹣4)，∴S=S△AOM＋S△OBM﹣S△AOB

=×4×(﹣m2﹣m＋4)＋×4×(﹣m)﹣×4×4=﹣m2﹣4m=﹣(m＋2)2＋4，

∵﹣4＜m＜0，当m=﹣2时，S有最大值为：S=﹣4＋8=4．

答：m=﹣2时S有最大值S=4．

(3)设P(x，x2＋x﹣4)．

当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，

∴Q的横坐标等于P的横坐标，

又∵直线的解析式为y=﹣x，则Q(x，﹣x)．

由PQ=OB，得|﹣x﹣(x2＋x﹣4)|=4，解得x=0，﹣4，﹣2±2．x=0不合题意，舍去．

如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．

四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=﹣x得出Q为(4，﹣4)．

由此可得Q(﹣4，4)或(﹣2＋2，2﹣2)或(﹣2﹣2，2＋2)或(4，﹣4)．

6.解：(1)当a=1时，抛物线表达式为y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9，

∴对称轴为x=2，

∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5，

∴抛物线与x轴的交点坐标为(﹣1，0)或(5，0)；

(2)①抛物线C1表达式为y=ax2﹣4ax﹣5，

整理，得y=ax(x﹣4)﹣5.

∵当ax(x﹣4)=0时，y恒定为﹣5，

∴抛物线C1一定经过两个定点(0，﹣5)，(4，﹣5).

②这两个点连线为y=﹣5，

将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变，

∴抛物线C2的表达式为y=﹣ax2＋4ax﹣5；

(3)抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x=2时，y=2或﹣2.

当y=2时，2=﹣4a＋8a﹣5，解得a=；

当y=﹣2时，﹣2=﹣4a＋8a﹣5，解得a=.

∴a=或.

7.解：(1)y=ax2﹣4ax＋c=a(x﹣2)2﹣4a＋c，

∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，

当x=2时，y=×2=，

∴C(2，);

(2)① ∵点D与点C关于x轴对称，

∴D(2，﹣)，∴CD=3，

设A(m，m)(m<2)，

由S△ACD=3，得×3×(2﹣m)=3，解得m=0，∴A(0，0)，

由A(0，0)、 D(2，﹣)，得c=0，﹣4a＋c=﹣，

解得a=，c=0，

∴y=0x2﹣1.5x；    

②如图，设A(m，m)(m<2)，

过点A作AE⊥CD于点E，

则AE=2﹣m，CE=﹣m，AC=(2﹣m)，

∵CD=AC，∴CD=(2﹣m)，

由S△ACD=×CD×AE=10得×(2﹣m)2=10，解得m=﹣2或m=6(舍去)，

∴m=﹣2，

∴A(﹣2，﹣)，CD=5，若a＞0，则点D在点C下方，

∴D(2，﹣)，

由A(﹣2，﹣)、D(2，﹣)，得a=，c=﹣3，

∴y=x2﹣x﹣3.若a＜0，则点D在点C上方，

∴D(2，)，

由A(﹣2，﹣)，D(2，)，得a=﹣，c=，

∴y=﹣x2＋2x＋.

8.解：(1)∵抛物线的顶点为A(1，4)，

∴设抛物线的解析式y=a(x﹣1)2＋4，

把点B(0，3)代入得，a＋4=3，解得a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2＋4；

(2)由(1)知，抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2＋4；

令y=0，则0=﹣(x﹣1)2＋4，

∴x=﹣1或x=3，

∴C(﹣1，0)，D(3，0)；

∴CD=4，

∴S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；

(3)由(2)知，S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；CD=4，

∵S△PCD=S△BCD，∴S△PCD=CD×|yP|=×4×|yP|=3，∴|yP|=，

∵点P在x轴上方的抛物线上，

∴yP＞0，∴yP=，

∵抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2＋4；

∴=﹣(x﹣1)2＋4，∴x=1±，

∴P(1＋，)，或P(1﹣，).

9.解：(1)y=﹣x2＋2x＋3

(2)易求直线BC的解析式为y=﹣x＋3，

∴M(m，﹣m＋3)，

又∵MN⊥x轴，

∴N(m，﹣m2＋2m＋3)，

∴MN=(﹣m2＋2m＋3)﹣(﹣m＋3)＝﹣m2＋3m(0＜m＜3)

(3)S△BNC=S△CMN＋S△MNB=|MN|·|OB|，

∴当|MN|最大时，△BNC的面积最大，

MN=﹣m2＋3m=﹣(m﹣)2＋，

所以当m＝时，△BNC的面积最大为.

10.解：(1)∵A(a，8)是抛物线和直线的交点，

∴点A在直线上，∴8=2a＋4，解得a=2.

∴点A的坐标为(2，8).

又∵点A在抛物线上，

∴8=22＋2b，解得b=2.

∴抛物线的函数表达式为y=x2＋2x.

(2)联立抛物线和直线的函数表达式，

得解得

∴点B的坐标为(－2，0).

如图，过点A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，

则AQ=8，OQ=OB=2，即O为BQ的中点.

当C为AB的中点时，OC为△ABQ的中位线，故点C在y轴上，OC=AQ=4，

∴点C的坐标为(0，4).

又∵PC∥x轴，∴点P的纵坐标为4.

∵点P在抛物线上，

∴4=x2＋2x，解得x1=－1－，x2=－1.

∵点P在A，B之间的抛物线上，

∴x=－1－不合题意，舍去，

∴点P的坐标为(－1，4)，

∴PC=－1－0=－1.

(3)∵点D(m，n)，且四边形PCDE为矩形，

∴点C的横坐标为m，点E的纵坐标为n.

∵点C，E都在直线y=2x＋4上，

∴点C(m，2m＋4)，E(，n).

∵PC∥x轴，PE∥y轴，∴点P(，2m+4).

∵点P在抛物线上，

∴2m＋4=()2＋2·，

整理可得n2－4n－8m－16=0，

即m，n之间的关系式为n2－4n－8m－16=0.

11.解：(1)由y=x2﹣4x＋3得到y=(x﹣3)(x﹣1)，C(0，3)，

∴A(1，0)，B(3，0).

设直线BC的表达式为y=kx＋b(k≠0)，

则b=3，3k＋b=0，解得k=﹣1，b=3.

∴直线BC的表达式为y=﹣x＋3；

(2)由y=x2﹣4x＋3得到y=(x﹣2)2﹣1，

∴抛物线y=x2﹣4x＋3的对称轴是x=2，顶点坐标是(2，﹣1).

∵y1=y2，∴x1＋x2=4.

令y=﹣1，代入y=﹣x＋3，得x=4.

∵x1＜x2＜x3(如答图)，

∴3＜x3＜4，

即7＜x1＋x2＋x3＜8.

12.解：(1)∵点P与点P′(1，3)关于x轴对称，

∴点P的坐标为(1，－3).

设原抛物线的表达式为y＝a(x－1)2－3，∵其过点A(1－，0)，

∴0＝a(1－－1)2－3，解得a＝1.

∴原抛物线的函数表达式为y＝(x－1)2－3，即y＝x2－2x－2.

(2)∵CD∥x轴，P′(1，3)在CD上，

∴C，D两点纵坐标均为3.

由(x－1)2－3＝3，解得x1＝1－，x2＝1＋，

∴C，D两点的坐标分别为(1－，3)，(1＋，3)，∴CD＝2.

∴“W”图案的高与宽(CD)的比为＝(或约等于0.612).