甘肃省武威市第十七中学2022年中考数学四模试卷含解析

这是一份甘肃省武威市第十七中学2022年中考数学四模试卷含解析，共21页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，下列运算正确的是，下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，使得，延长交于点，则线段的长为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
2．若关于的方程的两根互为倒数，则的值为(　　)
A． B．1 C．－1 D．0
3．如图，已知函数y=﹣与函数y=ax2+bx的交点P的纵坐标为1，则不等式ax2+bx+＞0的解集是（　　）

A．x＜﹣3 B．﹣3＜x＜0 C．x＜﹣3或x＞0 D．x＞0
4．已知点A、B、C是直径为6cm的⊙O上的点，且AB=3cm，AC=3 cm，则∠BAC的度数为（　　）
A．15°                             B．75°或15°                             C．105°或15°                             D．75°或105°
5．在如图的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象大致是（ ）

A． B． C． D．
6．随着“三农”问题的解决，某农民近两年的年收入发生了明显变化，已知前年和去年的收入分别是60000元和80000元，下面是依据①②③三种农作物每种作物每年的收入占该年年收入的比例绘制的扇形统计图．依据统计图得出的以下四个结论正确的是（　　）

A．①的收入去年和前年相同
B．③的收入所占比例前年的比去年的大
C．去年②的收入为2.8万
D．前年年收入不止①②③三种农作物的收入
7．下列运算正确的是（   ）
A．a2·a3﹦a6  B．a3+ a3﹦a6  C．|－a2|﹦a2    D．(－a2)3﹦a6
8．下列计算正确的是（　　）
A．x2+x3=x5 B．x2•x3=x5 C．（﹣x2）3=x8 D．x6÷x2=x3
9．一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）

A．AE=6cm B．
C．当0＜t≤10时， D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图所示的网格是正方形网格，点P到射线OA的距离为m，点P到射线OB的距离为n，则m __________ n．（填“>”，“=”或“<”）

12．如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是_____．
13．已知关于x的方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则实数m的值是______．
14．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．
15．已知式子有意义，则x的取值范围是_____
16．如图，Rt△ABC 中，∠C=90° ， AB=10，，则AC的长为_______ .

三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）列方程或方程组解应用题：
去年暑期，某地由于暴雨导致电路中断，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需材料先从供电局出发，10分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求吉普车的速度．
18．（8分）如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF＝BE，求证：∠D＝∠B．

19．（8分）如图，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M，则图中≌，可知，求得______．如图，在矩形的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M．
求证：．
若，求的度数．

20．（8分）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：求n的值；若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率．

21．（8分）如图，在梯形中，,,,,点为边上一动点，作⊥,垂足在边上，以点为圆心，为半径画圆，交射线于点.
（1）当圆过点时，求圆的半径；
（2）分别联结和，当时，以点为圆心，为半径的圆与圆相交，试求圆的半径的取值范围；
（3）将劣弧沿直线翻折交于点,试通过计算说明线段和的比值为定值，并求出次定值.

22．（10分）如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．若∠A＝n°，求∠BOC的度数．

23．（12分）（1）化简：
（2）解不等式组．
24．为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛．从中抽取了部分学生成绩（得分数取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计频数分布直方图（未完成）和扇形图如下，请解答下列问题：
（1）A组的频数a比B组的频数b小24，样本容量　 　，a为　 　：
（2）n为　 　°，E组所占比例为　 　%：
（3）补全频数分布直方图；
（4）若成绩在80分以上优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀学生有　 　名．




参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、B
【解析】
先利用已知证明，从而得出，求出BD的长度，最后利用求解即可．
【详解】










故选：B．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
2、C
【解析】
根据已知和根与系数的关系得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，即可求出符合题意的k的值．
【详解】
解：设、是的两根，
由题意得：，
由根与系数的关系得：，
∴k2=1，
解得k=1或−1，
∵方程有两个实数根，
则，
当k=1时，，
∴k=1不合题意，故舍去，
当k=−1时，，符合题意，
∴k=−1，
故答案为：−1．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及相反数的定义，熟知根与系数的关系是解答此题的关键．
3、C
【解析】
首先求出P点坐标，进而利用函数图象得出不等式ax2+bx+＞1的解集．
【详解】
∵函数y=﹣与函数y=ax2+bx的交点P的纵坐标为1，
∴1=﹣，
解得：x=﹣3，
∴P（﹣3，1），
故不等式ax2+bx+＞1的解集是：x＜﹣3或x＞1．
故选C．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确得出P点坐标．
4、C
【解析】
解：如图1．∵AD为直径，∴∠ABD=∠ACD=90°．在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，则∠BDA=30°，∠BAD=60°．在Rt△ABD中，AD=6，AC=3，∠CAD=45°，则∠BAC=105°；
如图2，．∵AD为直径，∴∠ABD=∠ABC=90°．在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，则∠BDA=30°，∠BAD=60°．在Rt△ABC中，AD=6，AC=3，∠CAD=45°，则∠BAC=15°．故选C．

点睛：本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的知识，掌握直径所对的圆周角是直径和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．
5、A
【解析】
函数→一次函数的图像及性质
6、C
【解析】
A、前年①的收入为60000×=19500，去年①的收入为80000×=26000，此选项错误；
B、前年③的收入所占比例为×100%=30%，去年③的收入所占比例为×100%=32.5%，此选项错误；
C、去年②的收入为80000×=28000=2.8（万元），此选项正确；
D、前年年收入即为①②③三种农作物的收入，此选项错误，
故选C．
【点睛】
本题主要考查扇形统计图，解题的关键是掌握扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数，并且通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．
7、C
【解析】
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】
a2·a3﹦a5，故A项错误；a3+ a3﹦2a3，故B项错误；a3+ a3﹦- a6，故D项错误，选C.
【点睛】
本题考查同底数幂加减乘除及乘方，解题的关键是清楚运算法则.
8、B
【解析】
分析：直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则和积的乘方运算法则分别计算得出答案．
详解：A、不是同类项，无法计算，故此选项错误；
B、 正确；
C、 故此选项错误；
D、 故此选项错误；
故选：B．
点睛：此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
9、C
【解析】
试题分析：∵解不等式得：，解不等式，得：x≤5，∴不等式组的解集是，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，故选C．
考点：一元一次不等式组的整数解．
10、D
【解析】
（1）结论A正确，理由如下：
解析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm，
故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm．
（2）结论B正确，理由如下：
如图，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，

由函数图象可知，BC=BE=10cm，，
∴EF=1．∴．
（3）结论C正确，理由如下：
如图，过点P作PG⊥BQ于点G，

∵BQ=BP=t，∴．
（4）结论D错误，理由如下：
当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，
设为N，如图，连接NB，NC．

此时AN=1，ND=2，由勾股定理求得：NB=，NC=．
∵BC=10，
∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形．
故选D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、>
【解析】
由图像可知在射线上有一个特殊点,点到射线的距离，点到射线的距离，于是可知 ,利用锐角三角函数 ,即可判断出
【详解】
由题意可知：找到特殊点，如图所示：

设点到射线的距离 ，点到射线的距离
由图可知，
,
,


【点睛】
本题考查了点到线的距离，熟知在直角三角形中利用三角函数来解角和边的关系是解题关键.
12、y=2（x+1）2+1．
【解析】
原抛物线的顶点为（0，-1），向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，1）；
可设新抛物线的解析式为y=2（x-h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+1．
13、±4
【解析】
分析：由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
详解：∵方程有两个相等的实数根，
∴
解得：
故答案为
点睛：考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个不相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
14、-1
【解析】
根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m的取值即可．
【详解】
解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．
故答案为-1.
【点睛】
本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
15、x≤1且x≠﹣1．
【解析】
根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+1≠0，解得：x≤1且x≠﹣1．
故答案为x≤1且x≠﹣1．
16、8
【解析】
在Rt△ABC中，cosB=，AB=10，可求得BC，再利用勾股定理即可求AC的长.
【详解】
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10
∴cosB=，得BC=6
由勾股定理得BC=
故答案为8.
【点睛】
此题主要考查锐角三角函数在直角三形中的应用及勾股定理．

三、解答题（共8题，共72分）
17、吉普车的速度为30千米/时.
【解析】
先设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时，列出方程求出x的值，再进行检验，即可求出答案．
【详解】
解：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为15x千米/时.
由题意得：.
解得，x=20
经检验，x=20是原方程的解，并且x=20,1.5x=30都符合题意.
答：吉普车的速度为30千米/时.
点评：本题难度中等，主要考查学生对分式方程实际应用的综合运用．为中考常见题型，要求学生牢固掌握．注意检验．
18、证明见解析．
【解析】
根据在同圆中等弦对的弧相等，AB、CD是⊙O的直径，则，由FD=EB，得，，由等量减去等量仍是等量得：，即，由等弧对的圆周角相等，得∠D=∠B．
【详解】
解：方法（一）
证明：∵AB、CD是⊙O的直径，
∴．
∵FD=EB，
∴．
∴．
即．
∴∠D=∠B．
方法（二）
证明：如图，连接CF，AE．
∵AB、CD是⊙O的直径，
∴∠F=∠E=90°（直径所对的圆周角是直角）．
∵AB=CD，DF=BE，
∴Rt△DFC≌Rt△BEA（HL）．
∴∠D=∠B．

【点睛】
本题利用了在同圆中等弦对的弧相等，等弧对的弦，圆周角相等，等量减去等量仍是等量求解．
19、阅读发现：90°；（1）证明见解析；（2）100°
【解析】
阅读发现：只要证明，即可证明．
拓展应用：欲证明，只要证明≌即可．
根据即可计算．
【详解】
解：如图中，四边形ABCD是正方形，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
故答案为
为等边三角形，
，．
为等边三角形，
，．
四边形ABCD为矩形，
，．
．
，，
．
在和中，
，
≌．
；
≌，
，
．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的寻找解决问题，属于中考常考题型．
20、（1）50；（2）240；（3）.
【解析】
用喜爱社会实践的人数除以它所占的百分比得到n的值；
先计算出样本中喜爱看电视的人数，然后用1200乘以样本中喜爱看电视人数所占的百分比，即可估计该校喜爱看电视的学生人数；
画树状图展示12种等可能的结果数，再找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式求解.
【详解】
解：（1）；
（2）样本中喜爱看电视的人数为（人，
，
所以估计该校喜爱看电视的学生人数为240人；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到2名男生的结果数为6，
所以恰好抽到2名男生的概率．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率，也考查了统计图.
21、（1）x=1 （2） （1）
【解析】
(1)作AM⊥BC、连接AP，由等腰梯形性质知BM=4、AM=1，据此知tanB=tanC= ，从而可设PH=1k，则CH=4k、PC=5k，再表示出PA的长，根据PA=PH建立关于k的方程，解之可得；
(2)由PH=PE=1k、CH=4k、PC=5k及BC=9知BE=9−8k，由△ABE∽△CEH得 ，据此求得k的值，从而得出圆P的半径，再根据两圆间的位置关系求解可得；
(1)在圆P上取点F关于EH的对称点G，连接EG，作PQ⊥EG、HN⊥BC，先证△EPQ≌△PHN得EQ=PN，由PH=1k、HC=4k、PC=5k知sinC= 、cosC= ，据此得出NC= k、HN=k及PN=PC−NC=k，继而表示出EF、EH的长，从而出答案．
【详解】
(1)作AM⊥BC于点M，连接AP，如图1，

∵梯形ABCD中，AD//BC，且AB=DC=5、AD=1、BC=9，
∴BM=4、AM=1，
∴tanB=tanC=，
∵PH⊥DC，
∴设PH=1k，则CH=4k、PC=5k，
∵BC=9，
∴PM=BC−BM−PC=5−5k，
∴AP=AM+PM=9+(5−5k) ，
∵PA=PH，
∴9+(5−5k) =9k，
解得：k=1或k=，
当k= 时，CP=5k= >9，舍去；
∴k=1，
则圆P的半径为1．
(2)如图2，

由(1)知，PH=PE=1k、CH=4k、PC=5k，
∵BC=9，
∴BE=BC−PE−PC=9−8k，
∵△ABE∽△CEH，
∴ ，即 ，
解得：k= ，
则PH= ，即圆P的半径为，
∵圆B与圆P相交，且BE=9−8k= ，
∴ (1)在圆P上取点F关于EH的对称点G，连接EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N，

则EG=EF、∠1=∠1、EQ=QG、EF=EG=2EQ，
∴∠GEP=2∠1，
∵PE=PH，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠1+∠2=2∠1，
∴∠GEP=∠4，
∴△EPQ≌△PHN，
∴EQ=PN，
由(1)知PH=1k、HC=4k、PC=5k，
∴sinC= 、cosC= ，
∴NC= k、HN= k，
∴PN=PC−NC= k，
∴EF=EG=2EQ=2PN= k，EH= ，
∴，
故线段EH和EF的比值为定值．
【点睛】
此题考查全等三角形的性质，相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，解题关键在于作辅助线.
22、（1）125°；（2）125°；（3）∠BOC=90°+n°．
【解析】
如图，由BO、CO是角平分线得∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，再利用三角形内角和得到∠ABC+∠ACB+∠A=180°，则2∠1+2∠2+∠A=180°，接着再根据三角形内角和得到∠1+∠2+∠BOC=180°，利用等式的性质进行变换可得∠BOC=90°+∠A，然后根据此结论分别解决（1）、（2）、（3）．
【详解】
如图，

∵BO、CO是角平分线，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠1+2∠2+∠A=180°，
∵∠1+∠2+∠BOC=180°，
∴2∠1+2∠2+2∠BOC=360°，
∴2∠BOC﹣∠A=180°，
∴∠BOC=90°+∠A，
（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，
∴∠BOC=90°+×70°=125°；
（2）∠BOC=90°+∠A=125°；
（3）∠BOC=90°+n°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
23、（1）；（2）﹣2＜x<1
【解析】
（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【详解】
（1）原式＝；
（2）不等式组整理得：，
则不等式组的解集为﹣2＜x<1．
【点睛】
此题考查计算能力，（1）考查分式的化简，正确将分子与分母分解因式及按照正确运算顺序进行计算是解题的关键；（2）是解不等式组，注意系数化为1时乘或除以的是负数时要变号.
24、（1）200；16（2）126；12%（3）见解析（4）940
【解析】
分析：（1）由于A组的频数比B组小24，而A组的频率比B组小12%，则可计算出调查的总人数，然后计算a和b的值；（2）用360度乘以D组的频率可得到n的值，根据百分比之和为1可得E组百分比；（3）计算出C和E组的频数后补全频数分布直方图；(4）利用样本估计总体，用2000乘以D组和E组的频率和即可．
本题解析：
（）调查的总人数为，
∴，
，
（）部分所对的圆心角，即，
组所占比例为：，
（）组的频数为，组的频数为，
补全频数分布直方图为：

（），
∴估计成绩优秀的学生有人．
点睛：本题考查了频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，要认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了用样本估计总体.