广西壮族自治区南宁市第三十七中学2021-2022学年中考适应性考试数学试题含解析

这是一份广西壮族自治区南宁市第三十七中学2021-2022学年中考适应性考试数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了下列说法，下列实数中，无理数是等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（　　）

A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．x2•x3＝x6 B．x2+x2＝2x4
C．（﹣2x）2＝4x2 D．（ a+b）2＝a2+b2
3．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若∠A=50°10′，∠COD=100°，则∠C等于（　　）

A．30°10′ B．29°10′ C．29°50′ D．50°10′
4．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝1．M是BD的中点，则CM的长为（　　）

A． B．2 C． D．3
5．已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列说法：
① ；
②数轴上的点与实数成一一对应关系；
③﹣2是的平方根；
④任何实数不是有理数就是无理数；
⑤两个无理数的和还是无理数；
⑥无理数都是无限小数，
其中正确的个数有( 　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图，中，E是BC的中点，设，那么向量用向量表示为（ ）

A． B． C． D．
8．下列实数中，无理数是（　　）
A．3.14 B．1.01001 C． D．
9．已知二次函数的图象如图所示，若，是这个函数图象上的三点，则的大小关系是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )

A．30° B．45° C．50° D．75°
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．（2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是______．

12．如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合连接CD，则∠BDC的度数为_____度．

13．北京奥运会国家体育场“鸟巢”的建筑面积为258000平方米，那么258000用科学记数法可表示为 ．
14．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AM 是 BC 边上的中线，cos∠AMC ，则 tan∠B 的值为__________．

15．如图,已知圆O的半径为2,A是圆上一定点,B是OA的中点,E是圆上一动点,以BE为边作正方形BEFG(B、E、F、G四点按逆时针顺序排列),当点E绕⊙O圆周旋转时,点F的运动轨迹是_________图形

16．计算：_______________．
17．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）京沈高速铁路赤峰至喀左段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程?若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?
19．（5分）如图，矩形中，对角线、交于点，以、为邻边作平行四边形，连接
求证：四边形是菱形若，，求四边形的面积
20．（8分）在大城市，很多上班族选择“低碳出行”，电动车和共享单车成为他们的代步工具．某人去距离家8千米的单位上班，骑共享单车虽然比骑电动车多用20分钟，但却能强身健体，已知他骑电动车的速度是骑共享单车的1.5倍，求骑共享单车从家到单位上班花费的时间．
21．（10分）如图1，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）如图1，若BC＝3，AB＝5，则ctanB＝_____；
（2）ctan60°＝_____；
（3）如图2，已知：△ABC中，∠B是锐角，ctan C＝2，AB＝10，BC＝20，试求∠B的余弦cosB的值．

22．（10分）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．求证：△ADE∽△ABC；若AD=3，AB=5，求的值．

23．（12分）如图1所示，点E在弦AB所对的优弧上，且为半圆，C是上的动点，连接CA、CB，已知AB＝4cm，设B、C间的距离为xcm，点C到弦AB所在直线的距离为y1cm，A、C两点间的距离为y2cm．

小明根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2岁自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
0
0.78
1.76
2.85
3.98
4.95
4.47
y2/cm
4
4.69
5.26

5.96
5.94
4.47
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；结合函数图象，解决问题：
①连接BE，则BE的长约为　 　cm．
②当以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC的长度约为　 　cm．
24．（14分）将二次函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．



参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、D
【解析】
先求得∠A＝∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．
【详解】
解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝3，
在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．
∴∠A＝∠BCD．
∴tan∠BCD＝tanA＝＝，
故选D．
【点睛】
本题考查解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．
2、C
【解析】
根据同底数幂的法则、合并同类项的法则、积的乘方法则、完全平方公式逐一进行计算即可．
【详解】
A、x2•x3＝x5，故A选项错误；
B、x2+x2＝2x2，故B选项错误；
C、(﹣2x)2＝4x2，故C选项正确；
D、( a+b)2＝a2+2ab+b2，故D选项错误，
故选C．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键
3、C
【解析】
根据平行线性质求出∠D，根据三角形的内角和定理得出∠C=180°-∠D-∠COD，代入求出即可．
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠D=∠A=50°10′，
∵∠COD=100°，
∴∠C=180°-∠D-∠COD=29°50′.
故选C.
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质的应用，关键是求出∠D的度数和得出∠C=180°-∠D-∠COD．应该掌握的是三角形的内角和为180°.
4、C
【解析】
延长BC 到E 使BE＝AD，利用中点的性质得到CM＝ DE＝AB，再利用勾股定理进行计算即可解答.
【详解】
解：延长BC 到E 使BE＝AD，∵BC//AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE=AB，
∵BC＝3，AD＝1，
∴C是BE的中点，
∵M是BD的中点，
∴CM＝ DE＝AB，
∵AC⊥BC，
∴AB＝＝，
∴CM＝ ，
故选：C．

【点睛】
此题考查平行四边形的性质，勾股定理，解题关键在于作辅助线.
5、D
【解析】
试题分析：D选项中作的是AB的中垂线，∴PA=PB，∵PB+PC=BC，
∴PA+PC=BC．故选D．
考点：作图—复杂作图．
6、C
【解析】
根据平方根，数轴，有理数的分类逐一分析即可.
【详解】
①∵，∴是错误的；
②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；
③∵＝4，故-2是 的平方根，故说法正确；
④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确；
⑤两个无理数的和还是无理数，如 和 是错误的；
⑥无理数都是无限小数，故说法正确；
故正确的是②③④⑥共4个；
故选C.
【点睛】
本题考查了有理数的分类，数轴及平方根的概念，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如 等，也有π这样的数.
7、A
【解析】
根据，只要求出即可解决问题.
【详解】
解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.
8、C
【解析】
先把能化简的数化简，然后根据无理数的定义逐一判断即可得．
【详解】
A、3.14是有理数；
B、1.01001是有理数；
C、是无理数；
D、是分数，为有理数；
故选C．
【点睛】
本题主要考查无理数的定义，属于简单题．
9、A
【解析】
先求出二次函数的对称轴，结合二次函数的增减性即可判断．
【详解】
解：二次函数的对称轴为直线，
∵抛物线开口向下，
∴当时，y随x增大而增大，
∵，
∴
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了根据自变量的大小，比较函数值的大小，解题的关键是熟悉二次函数的增减性．
10、B
【解析】
试题解析：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、或．
【解析】
由图可知，在△OMN中，∠OMN的度数是一个定值，且∠OMN不为直角. 故当∠ONM=90°或∠MON=90°时，△OMN是直角三角形. 因此，本题需要按以下两种情况分别求解.
(1) 当∠ONM=90°时，则DN⊥BC.

过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∵BC=20，
∴在Rt△ABC中，，
∵DE是△ABC的中位线，
∴，
∴在Rt△CFE中，，.
∵BM=3，BC=20，FC=5，
∴MF=BC-BM-FC=20-3-5=12.
∵EF=5，MF=12，
∴在Rt△MFE中，，
∵DE是△ABC的中位线，BC=20，
∴，DE∥BC，
∴∠DEM=∠EMF，即∠DEO=∠EMF，
∴，
∴在Rt△ODE中，.
(2) 当∠MON=90°时，则DN⊥ME.

过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)
∵EF=5，MF=12，
∴在Rt△MFE中，，
∴在Rt△MFE中，，
∵∠DEO=∠EMF，
∴，
∵DE=10，
∴在Rt△DOE中，.
综上所述，DO的长是或.
故本题应填写：或.
点睛：
在解决本题的过程中，难点在于对直角三角形中直角的分类讨论；关键点是通过等角代换将一个在原直角三角形中不易求得的三角函数值转换到一个容易求解的直角三角形中进行求解. 另外，本题也可以用相似三角形的方法进行求解，不过利用锐角三角函数相对简便.
12、1
【解析】
根据△EBD由△ABC旋转而成，得到△ABC≌△EBD，则BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°，则有∠BDC＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝10°，化简计算即可得出.
【详解】
解：∵△EBD由△ABC旋转而成，
∴△ABC≌△EBD，
∴BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°，
∴∠BDC＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝10°，
∴；
故答案为：1．
【点睛】
此题考查旋转的性质，即图形旋转后与原图形全等．
13、2.58×1
【解析】
科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．258 000=2.58×1．
14、
【解析】
根据cos∠AMC ，设， ，由勾股定理求出AC的长度，根据中线表达出BC即可求解．
【详解】
解：∵cos∠AMC ，
，
设， ，
∴在Rt△ACM中，
∵AM 是 BC 边上的中线，
∴BM=MC=3x，
∴BC=6x，
∴在Rt△ABC中，，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数值的求解问题，解题的关键是熟记锐角三角函数的定义．
15、圆
【解析】
根据题意作图，即可得到点F的运动轨迹.
【详解】
如图，根据题意作下图，可知F的运动轨迹为圆⊙O’.

【点睛】
此题主要考查动点的作图问题，解题的关键是根据题意作出相应的图形，方可判断.
16、
【解析】
先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解.
【详解】
2-=.
故答案为.
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．
17、1800°
【解析】
试题分析：这个正多边形的边数为=12，
所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°．
故答案为1800°．
考点：多边形内角与外角．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）乙队单独施工需要1天完成;（2）乙队至少施工l8天才能完成该项工程．
【解析】
（1）先求得甲队单独施工完成该项工程所需时间，设乙队单独施工需要x天完成该项工程，再根据“甲完成的工作量+乙完成的工作量=1”列方程解方程即可求解；
（2）设乙队施工y天完成该项工程，根据题意列不等式解不等式即可.
【详解】
（1）由题意知，甲队单独施工完成该项工程所需时间为1÷=90（天）．
设乙队单独施工需要x天完成该项工程，则
，
去分母，得x+1=2x．
解得x=1．
经检验x=1是原方程的解．
答：乙队单独施工需要1天完成．
（2）设乙队施工y天完成该项工程，则
1-
解得y≥2．
答：乙队至少施工l8天才能完成该项工程．
19、（1）见解析；（2）S四边形ADOE =.
【解析】
(1) 根据矩形的性质有OA=OB=OC=OD，根据四边形ADOE是平行四边形，得到OD∥AE，AE=OD. 等量代换得到AE=OB.即可证明四边形AOBE为平行四边形.根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明.
(2)根据菱形的性质有∠EAB=∠BAO.根据矩形的性质有AB∥CD，根据平行线的性质有∠BAC=∠ACD，求出∠DCA=60°，求出AD=.根据面积公式SΔADC，即可求解.
【详解】
（1）证明：∵矩形ABCD，
∴OA=OB=OC=OD.
∵平行四边形ADOE，
∴OD∥AE，AE=OD.
∴AE=OB.
∴四边形AOBE为平行四边形.
∵OA=OB，
∴四边形AOBE为菱形.
（2）解：∵菱形AOBE，
∴∠EAB=∠BAO.
∵矩形ABCD，
∴AB∥CD.
∴∠BAC=∠ACD，∠ADC=90°.
∴∠EAB=∠BAO=∠DCA.
∵∠EAO+∠DCO=180°，
∴∠DCA=60°.
∵DC=2，
∴AD=.
∴SΔADC=.
∴S四边形ADOE =.
【点睛】
考查平行四边形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，综合性比较强.
20、骑共享单车从家到单位上班花费的时间是1分钟．
【解析】
试题分析：设骑共享单车从家到单位上班花费x分钟，找出题目中的等量关系，列出方程，求解即可.
试题解析：设骑共享单车从家到单位上班花费x分钟，
依题意得：
解得x=1．
经检验，x=1是原方程的解，且符合题意．
答：骑共享单车从家到单位上班花费的时间是1分钟．
21、（1）；（2）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）先利用勾股定理计算出AC=4，然后根据余切的定义求解；
（2）根据余切的定义得到ctan60°=，然后把tan60°=代入计算即可；
（3）作AH⊥BC于H，如图2，先在Rt△ACH中利用余切的定义得到ctanC==2，则可设AH=x，CH=2x，BH=BC﹣CH=20﹣2x，接着再在Rt△ABH中利用勾股定理得到（20﹣2x）2+x2=102，解得x1=6，x2=10（舍去），所以BH=8，然后根据余弦的定义求解．
解：（1）∵BC=3，AB=5，
∴AC==4，
∴ctanB==；
（2）ctan60°===；
（3）作AH⊥BC于H，如图2，
在Rt△ACH中，ctanC==2，
设AH=x，则CH=2x，
∴BH=BC﹣CH=20﹣2x，
在Rt△ABH中，∵BH2+AH2=AB2，
∴（20﹣2x）2+x2=102，解得x1=6，x2=10（舍去），
∴BH=20﹣2×6=8，
∴cosB===．

考点：解直角三角形．
22、（1）证明见解析；（2）．
【解析】
（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可求解．
【详解】
（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴，
∴=
考点：相似三角形的判定
23、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①6；②6或4.1．
【解析】
（1）由题意得出BC＝3cm时，CD＝2.85cm，从点C与点B重合开始，一直到BC＝4，CD、AC随着BC的增大而增大，则CD一直与AB的延长线相交，由勾股定理得出BD＝，得出AD＝AB+BD＝4.9367（cm），再由勾股定理求出AC即可；
（2）描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），画出函数y1、y2的图象即可；
（3）①∵BC＝6时，CD＝AC＝4.1，即点C与点E重合，CD与AC重合，BC为直径，得出BE＝BC＝6即可；
②分两种情况：当∠CAB＝90°时，AC＝CD，即图象y1与y2的交点，由图象可得：BC＝6；
当∠CBA＝90°时，BC＝AD，由圆的对称性与∠CAB＝90°时对称，AC＝6，由图象可得：BC＝4.1．
【详解】
（1）由表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值知：BC＝3cm时，CD＝2.85cm，从点C与点B重合开始，一直到BC＝4，CD、AC随着BC的增大而增大，则CD一直与AB的延长线相交，如图1所示：
∵CD⊥AB，
∴（cm），
∴AD＝AB+BD＝4+0.9367＝4.9367（cm），
∴（cm）；
补充完整如下表：

（2）描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），画出函数y1、y2的图象如图2所示：
（3）①∵BC＝6cm时，CD＝AC＝4.1cm，即点C与点E重合，CD与AC重合，BC为直径，
∴BE＝BC＝6cm，
故答案为：6；
②以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，分两种情况：
当∠CAB＝90°时，AC＝CD，即图象y1与y2的交点，由图象可得：BC＝6cm；
当∠CBA＝90°时，BC＝AD，由圆的对称性与∠CAB＝90°时对称，AC＝6cm，由图象可得：BC＝4.1cm；
综上所述：BC的长度约为6cm或4.1cm；
故答案为：6或4.1．

【点睛】
本题是圆的综合题目，考查了勾股定理、探究试验、函数以及图象、圆的对称性、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，理解探究试验、看懂图象是解题的关键．
24、开口方向：向上;点坐标：（-1，-3）;称轴：直线.
【解析】
将二次函数一般式化为顶点式，再根据a的值即可确定该函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴．
【详解】
解：，
，
，
∴开口方向：向上，顶点坐标：（-1，-3），对称轴：直线.
【点睛】
熟练掌握将一般式化为顶点式是解题关键.