福建省三明市梅列区梅列、永安2021-2022学年中考数学模试卷含解析

这是一份福建省三明市梅列区梅列、永安2021-2022学年中考数学模试卷含解析，共18页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔等内容，欢迎下载使用。
2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．下列计算结果为a6的是（　　）
A．a2•a3 B．a12÷a2 C．（a2）3 D．（﹣a2）3
2．如图，有一些点组成形如四边形的图案，每条“边”（包括顶点）有n（n>1）个点.当n＝2018时，这个图形总的点数S为（　　）

A．8064 B．8067 C．8068 D．8072
3．在，，0，1这四个数中，最小的数是　　
A． B． C．0 D．1
4．若关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围( )
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（　　）
A．2a+3a=5a2 B．（a3）3=a9 C．a2•a4=a8 D．a6÷a3=a2
6．3点40分，时钟的时针与分针的夹角为（　　）
A．140° B．130° C．120° D．110°
7．如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为米，那么这两树在坡面上的距离为（ ）

A． B． C．5cosα D．
8．如图，已知的周长等于 ，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）

A． B． C． D．
9．如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡的坡度为（   ）

A． B． C． D．
10．如图，该图形经过折叠可以围成一个正方体，折好以后与“静”字相对的字是（ ）

A．着 B．沉 C．应 D．冷
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是____．

12．如图，已知点E是菱形ABCD的AD边上的一点，连接BE、CE，M、N分别是BE、CE的中点，连接MN，若∠A=60°，AB=4，则四边形BCNM的面积为_____．

13．正多边形的一个外角是，则这个多边形的内角和的度数是___________________．
14．如图，正方形ABCD中，AB=2，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，连接BF，则图中阴影部分的面积是_____．

15．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是_____三角形．
16．某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为_____m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈， cos53°≈，tan53°≈）．

17．如图，将的边绕着点顺时针旋转得到，边AC绕着点A逆时针旋转得到，联结．当时，我们称是的“双旋三角形”．如果等边的边长为a，那么它的“双旋三角形”的面积是__________（用含a的代数式表示）．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）已知：如图所示，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点P在该抛物线上滑动，且满足条件S△PAB=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标．

19．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,求证：AC•CD=CP•BP；若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．

20．（8分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．

21．（10分）已知如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D是BC边的中点，DE⊥BC于点D，交AB于点E，连接CE．
（1）求∠AEC的度数；
（2）请你判断AE、BE、AC三条线段之间的等量关系，并证明你的结论．

22．（10分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形；当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

23．（12分）如图，某游乐园有一个滑梯高度AB，高度AC为3米，倾斜角度为58°．为了改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由58°减至30°，调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）

24．（14分）已知，关于 x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+3＝0 有实数根，求k的取值范围．



参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、C
【解析】
分别根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则逐一计算可得．
【详解】
A、a2•a3=a5，此选项不符合题意；
B、a12÷a2=a10，此选项不符合题意；
C、（a2）3=a6，此选项符合题意；
D、（-a2）3=-a6，此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则．
2、C
【解析】
分析：本题重点注意各个顶点同时在两条边上，计算点的个数时，不要把顶点重复计算了．
详解：此题中要计算点的个数，可以类似周长的计算方法进行，但应注意各个顶点重复了一次．
如当n=2时，共有S2=4×2﹣4=4；当n=3时，共有S3=4×3﹣4，…，依此类推，即Sn=4n﹣4，当n=2018时，S2018=4×2018﹣4=1．
故选C．
点睛：本题考查了图形的变化类问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
3、A
【解析】
【分析】根据正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，即可得答案．
【详解】由正数大于零，零大于负数，得
，
最小的数是，
故选A．
【点睛】本题考查了有理数比较大小，利用好“正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小”是解题关键．
4、A
【解析】
分别解两个不等式得到得x＜20和x＞3-2a，由于不等式组只有5个整数解，则不等式组的解集为3-2a＜x＜20，且整数解为15、16、17、18、19，得到14≤3-2a＜15，然后再解关于a的不等式组即可．
【详解】

解①得x＜20
解②得x＞3-2a，
∵不等式组只有5个整数解，
∴不等式组的解集为3-2a＜x＜20，
∴14≤3-2a＜15，

故选：A
【点睛】
本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能求出不等式14≤3-2a＜15是解此题的关键．
5、B
【解析】
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．
【详解】
A、2a+3a=5a，故此选项错误；
B、（a3）3=a9，故此选项正确；
C、a2•a4=a6，故此选项错误；
D、a6÷a3=a3，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项和幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
6、B
【解析】
根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【详解】
解：3点40分时针与分针相距4+=份，
30°×=130，
故选B．
【点睛】
本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．
7、D
【解析】
利用所给的角的余弦值求解即可．
【详解】
∵BC=5米，∠CBA=∠α，∴AB==．
故选D．

【点睛】
本题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用．
8、C
【解析】
过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，由⊙O的周长等于6πcm，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质可得∠AOB=60°，即可证明△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可求出OH的长，根据S正六边形ABCDEF=6S△OAB即可得出答案．
【详解】
过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，设⊙O的半径为r，
∵⊙O的周长等于6πcm，
∴2πr=6π，
解得：r=3，
∴⊙O的半径为3cm，即OA=3cm，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=×360°=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=3cm，
∵OH⊥AB，
∴AH=AB，
∴AB=OA=3cm，
∴AH=cm，OH==cm，
∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6××3×=（cm2）．

故选C.
【点睛】
此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
9、A
【解析】
试题解析：∵一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，
∴这个斜坡的水平距离为：=10m，
∴这个斜坡的坡度为：50：10=5：1．
故选A．
点睛：本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度的定义．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．
10、A
【解析】
正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答
【详解】
这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“沉”与面“考”相对，面“着”与面“静”相对，“冷”与面“应”相对．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了利用正方体及其表面展开图的特点解题，明确正方体的展开图的特征是解决此题的关键

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、
【解析】
根据数轴上点的特点和相关线段的长，利用勾股定理求出斜边的长，即知表示0的点和A之间的线段的长，进而可推出A的坐标．
【详解】
∵直角三角形的两直角边为1，2，
∴斜边长为，
那么a的值是：﹣．
故答案为.
【点睛】
此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中主要利用了：已知两点间的距离，求较大的数，就用较小的数加上两点间的距离．
12、3
【解析】
如图，连接BD．首先证明△BCD是等边三角形，推出S△EBC=S△DBC=×42=4，再证明△EMN∽△EBC，可得=（）2=，推出S△EMN=，由此即可解决问题.
【详解】
解：如图，连接BD．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠BCD=60°，AD∥BC，
∴△BCD是等边三角形，
∴S△EBC=S△DBC=×42=4，
∵EM=MB，EN=NC，
∴MN∥BC，MN=BC，
∴△EMN∽△EBC，
∴=（）2=，
∴S△EMN=，
∴S阴=4-=3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13、540°
【解析】
根据多边形的外角和为360°，因此可以求出多边形的边数为360°÷72°=5，根据多边形的内角和公式（n-2）·180°，可得（5-2）×180°=540°．
考点：多边形的内角和与外角和
14、6﹣π
【解析】
过F作FM⊥BE于M，则∠FME=∠FMB=90°，

∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴∠DCB=90°，DC=BC=AB=2，∠DCB=45°，
由勾股定理得：BD=2，
∵将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，
∴∠DCE=90°，BF=BD=2，∠FBE=90°-45°=45°，
∴BM=FM=2，ME=2，
∴阴影部分的面积=×2×2+×4×2+-=6-π.
故答案为：6-π．
点睛：本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出各个部分的面积是解此题的关键．
15、直角三角形．
【解析】
根据题意，画出图形，用垂直平分线的性质解答．
【详解】
点O落在AB边上，
连接CO，
∵OD是AC的垂直平分线，
∴OC=OA，
同理OC=OB，
∴OA=OB=OC，
∴A、B、C都落在以O为圆心，以AB为直径的圆周上，
∴∠C是直角．
∴这个三角形是直角三角形．

【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，解题关键是准确画出图形，进行推理证明.
16、1.1．
【解析】
过点D作DO⊥AH于点O，先证明△ABC∽△AOD得出=，再根据已知条件求出AO，则OH=AH-AO=DG.
【详解】
解：过点D作DO⊥AH于点O，如图：

由题意得CB∥DO，
∴△ABC∽△AOD，
∴=，
∵∠CAB=53°，tan53°=,
∴tan∠CAB==,
∵AB=1.74m，
∴CB=1.31m，
∵四边形DGHO为长方形，
∴DO=GH=3.05m，OH=DG，
∴=，
则AO=1.1875m，
∵BH=AB=1.75m，
∴AH=3.5m，
则OH=AH-AO≈1.1m，
∴DG≈1.1m.
故答案为1.1.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用.
17、.
【解析】
首先根据等边三角形、“双旋三角形”的定义得出△A B'C'是顶角为150°的等腰三角形，其中AB'=AC'=a．过C'作C'D⊥AB'于D，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出C'DAC'a，然后根据S△AB'C'AB'•C'D即可求解．
【详解】
∵等边△ABC的边长为a，∴AB=AC=a，∠BAC=60°．
∵将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB'，∴AB'=AB=a，∠B'AB=α．
∵边AC绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC'，∴AC'=AC=a，∠CAC'=β，∴∠B'AC'=∠B'AB+∠BAC+∠CAC'=α+60°+β=60°+90°=150°．
如图，过C'作C'D⊥AB'于D，则∠D=90°，∠DAC'=30°，∴C'DAC'a，∴S△AB'C'AB'•C'Da•aa1．
故答案为：a1．

【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的性质以及三角形的面积．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、 (1)y=﹣x2+4x﹣3；(2)满足条件的P点坐标有3个，它们是（2，1）或（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）．
【解析】
（1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可利用交点式求出抛物线解析式；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征，可设P（t，-t2+4t-3），根据三角形面积公式得到 •2•|-t2+4t-3|=1，然后去绝对值得到两个一元二次方程，再解方程求出t即可得到P点坐标.
【详解】
解:(1)抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）（x﹣3）=﹣x2+4x﹣3；
(2)设P（t，﹣t2+4t﹣3），
因为S△PAB=1，AB=3﹣1=2，
所以•2•|﹣t2+4t﹣3|=1，
当﹣t2+4t﹣3=1时，t1=t2=2，此时P点坐标为（2，1）；
当﹣t2+4t﹣3=﹣1时，t1=2+，t2=2﹣，此时P点坐标为（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1），
所以满足条件的P点坐标有3个，它们是（2，1）或（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.
19、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（2）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；
（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．
解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∴AB•CD=CP•BP．
∵AB=AC，
∴AC•CD=CP•BP；
（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．
∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴．
∵AB=10，BC=12，
∴，
∴BP=．
“点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．
20、（1）证明见解析（2）1
【解析】
（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；
（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB=60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF=90°，结合半径OC=1可得答案．
【详解】
（1）连接OC．

∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC．
在△OAP和△OCP中，∵，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP．
∵PA是半⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∴∠OCP=90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．
（2）∵OB=OC，∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°．
∵AB=10，∴OC=1．
由（1）知∠OCF=90°，∴CF=OC•tan∠COB=1．
【点睛】
本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．
21、（1）90°；（1）AE1+EB1＝AC1，证明见解析．
【解析】
（1）根据题意得到DE是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可；
（1）根据勾股定理解答．
【详解】
解：（1）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，
∴DE是线段BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴∠ECB＝∠B＝45°，
∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°；
（1）AE1+EB1＝AC1．
∵∠AEC＝90°，
∴AE1+EC1＝AC1，
∵EB＝EC，
∴AE1+EB1＝AC1．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
22、（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.
【解析】
分析：（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．
详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）BC=2CD．
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE=45°，
∵∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E是AD的中点，
∴AD=2CD，
∵AD=BC，
∴BC=2CD．
点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
23、调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加2.5米
【解析】
试题分析: Rt△ABD中，根据30°的角所对的直角边是斜边的一半得到AD的长，然后在Rt△ABC中,求得AB的长后用即可求得增加的长度．
试题解析: Rt△ABD中，
∵AC=3米，
∴AD=2AC=6(m)
∵在Rt△ABC中,
∴AD−AB=6−3.53≈2.5(m).
∴调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加2.5米.
24、0≤k≤且 k≠1．
【解析】
根据二次项系数非零、被开方数非负及根的判别式△≥0，即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解之即可求出 k 的取值范围．
【详解】
解：∵关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2+x+3＝0 有实数根，
∴2k≥0，k-1≠0，Δ=()2-43(k-1)≥0，
解得：0≤k≤且 k≠1．
∴k 的取值范围为 0≤k≤且 k≠1．
【点睛】
本题考查了根的判别式、二次根式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零、被开方数非负及根的判别式△≥0，列出关于 k 的一元一次不等式组是解题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆