人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体导学案及答案

9.2.2 总体百分位数的估计

1.通过学习和应用百分位数，重点培养数据分析素养、数学运算和数学建模素养.

2. 掌握求一组数据的百分位的基本步骤：

重点： 理解百分位数的概念及其简单应用

难点：掌握求一组数据的百分位的基本步骤：

一、新知自学

1.如何画频率分布直方图的步骤

频率分布直方图的性质

(1)因为小矩形的面积＝组距×         ＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．

这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．

(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.

(3) .=样本量.

(4)在频率分布直方图中，各矩形的面积之比等于频率之比，各矩形的高度之比也等于频率之比．

2.其他统计图表，会读图、识图

条形统计图、扇形统计图和折线统计图的区别与联系

一、情境与问题

          前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断，接下来的问题是，如何利用这些信息，为政府决策服务呢？下面我们对此进行讨论.

     问题: 如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费支出不受影响，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？

        根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻找一个数a,使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%,大于a的占20%.

         把得到的100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和81个数据分别为13.6和13.8.可以发现，区间（13.6,13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数()13.6+13.8)/2=13.7,并称此数为这组数据的第80百分位数（percentile), 或80%分位数.

     根据样本数据的第80百分位数，我们可以估计总体数据的第80百分位数为13.7左右.由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，而在决策问题中，只要临界值近似为第80百分位数即可，因此为了实际中操作的方便，可以建议市政府把月均用水量标准定为14t,或者把年用水量标准定为168t.

你认为14t这个标准一定能够保证80%的居民用水不超标吗？如果不一定，那么哪些环节可能会导致结论的差别?

第p百分位数的定义

定义:一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.

可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数:

第1步，按从小到大排列原始数据.

第2步，计算i=n×p%.

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据；

若i是整数，则第p百分位数为第项与第(i+1)项数据的平均数.

判断正误

1.若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.(    )

2.若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.(    )

（1）班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？

(2)“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？

思考1：第p百分位数有什么特点？

中位数，相当于是第50百分位数.

常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数.

这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.

其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，

第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等，

第1百分位数第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用.

163.0  164.0  161.0  157.0  162.0  165.0  158.0  155.0  164.0  162.5  154.0  154.0  164.0  149.0  159.0  161.0  170.0  171.0  155.0  148.0  172.0  162.5  158.0  155.5  157.0  163.0  172.0

例2.根据下面女生的身高的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数.

例3.根据下表或下图,估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.

跟踪训练：下表为12名毕业生的起始月薪

根据表中所给的数据计算第85百分位数.

1.下列一组数据的第25百分位数是(　　)

2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6

A.3.2     B.3.0      C.4.4      D.2.5

2.知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　)

A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3

B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据

C.这100个数从小到大排列后，9.3是第75个数和第76个数的平均数

D.这100个数从小到大排列后，9.3是第75个数和第74个数的平均数

3.某公司2018年在各个项目中总投资500万元,如图是几类项目的投资占比情况,已知在1万元以上的项目投资中,少于3万元的项目投资占     ,那么不少于3万元的项目投资共有(　　)

A.56万元 B.65万元C.91万元 D.147万元

4. 为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,你能估计一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗?

5.从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：

7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.

(1)分别求出这组数据的第25，50，95百分位数；

2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；

3)若用第25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准.

6.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．

(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式．

 (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值．

（3）根据(2)中求得的数据a＝0.001 5，b＝0.002 0.计算用电量的75%分位数．

1.通过学习和应用百分位数，重点培养数据分析素养、数学运算和数学建模素养.

2.求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：

①按照从小到大排列原始数据；

②计算i＝n×p%；

③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；

若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.

参考答案：

知识梳理

学习过程

判断正误

1. ×  √

2.不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比．

有70%的同学数学测试成绩在小于或等于85分．

思考1： 总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.

例2.解：把27名女生的样本数据按从小到大排序，可得

148.0  149.0  154.0  154.0  155.0  155.0  155.5  157.0 157.0  158.0  158.0  159.0  161.0  161.0  162.0  162.5  162.5  163.0  163.0  164.0  164.0  164.0  165.0  170.0  171.0  172.0  172.0

由25%×27=6.75,   50%×27=13.5,    75%×27=20.25,

可知样本数据的第25,50,75百分位数为第7, 14,21项数据，分别为155.5,161,164.

据此可以估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数分别约为155.5,161和164.

例3. 分析：统计表或统计图，与原始数据相比，它们损失了一些信息，例如由上表中可以知道在[16.2,19.2)内有5个数据，但不知道这5个数据具体是多少.此时，我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上.

解：由表可知，月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为23%+32%+13%+9%=77%.

在16.2t以下的居民用户所占的比例为77%+9%=86%.

因此，80%分位数一定位于[13.2,16.2)内.

由13.2+3×                  =14.2, 可以估计月均用水量的样本

数据的80%分位数约为14.2.

类似地，由22.2+3×                =22.95,

可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.

计算方法和计算中位数是一样的

跟踪训练：解:计算i＝12×85%＝10.2，

所以所给数据的第85百分位数是从小到大的第11个数据3 130

达标检测

1.解：把该组数据按照由小到大排列，可得：

2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，

由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2，是第25百分位数. 选A

2. 解析：因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的

平均数为第75百分位数，是9.3，选C.

3.

4. 解:由题意知分别落在各区间上的频数为

在[80,90)上有60×0.15=9,

在[90,100)上有60×0.25=15,

在[100,110)上有60×0.3=18,

在[110,120)上有60×0.2=12,

在[120,130]上有60×0.1=6.

从以上数据可知第50百分位数一定落在区间[100,110)上,

综上可知,第50百分位数和第75百分位数分别估计为103.3 cm,112.5 cm.

5.解　(1)将所有数据从小到大排列，得

7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，

因为共有12个数据，

所以12×25%＝3，12×50%＝6，12×95%＝11.4，

则第25百分位数是＝8.15，

第50百分位数是＝8.5，

第95百分位数是第12个数据为9.9.

 (2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9.

即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8，7.9.

 (3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g，第50百分位数为8.5 g，第95百分位数是9.9 g，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于或等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品.

6.

[解]　(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；

当200<x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60；

当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.

所以y与x之间的函数解析式为y＝

（2）由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，

用电量不超过400千瓦时的占80%，

所以75%分位数为m在[300,400)内，

所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75,

解得m＝375千瓦时，

即用电量的75%分位数为375千瓦时．

（3）设75%分位数为m，因为用电量低于30千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，