专题4.2.3 相似三角形的性质（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版）

这是一份专题4.2.3 相似三角形的性质（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版），共28页。

【学习目标】
理解并掌握相似三角形的性质，注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上；
灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算；
3、运用相似三角形的性质解决综合问题。
【知识点梳理】
考点1 相似三角形的性质
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
性质3：相似三角形周长的比等于相似比
如图一： ∽，则
由比例性质可得：
图一
性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二，∽，则分别作出与的高和，则

图二
注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
考点2 相似三角形的性质与判定综合
【典例分析】
【考点1 相似三角形的性质】
【典例1】（2016•兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2019•自贡模拟）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（ ）
A．105°B．115°C．125°D．135°
【变式1-2】（2015•贵阳）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（ ）
A．2：3B．：C．4：9D．8：27
【变式1-3】（2015•黔西南州）已知△ABC∽△A′B′C′且，则S△ABC：S△A'B'C′为（ ）
A．1：2B．2：1C．1：4D．4：1
【典例2】（2022•富阳区二模）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若，且△ADE的面积为9，则四边形BCED的面积为（ ）
A．18B．27C．72D．81
【变式2-1】（2022•灞桥区校级模拟）如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（ ）
A．B．25C．35D．63
【变式2-2】（2021•南明区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（ ）
A．9：16B．3：4C．9：4D．3：2
【典例3】（2019秋•长清区期末）如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，
求：（1）AO的长；
（2）S△BOD．
【变式3-1】（2021•丽水模拟）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（ ）
A．2B．C．D．4
【变式3-2】（2021•罗湖区校级模拟）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝6，AE＝4，AB＝12，求CD的长．
【变式3-3】（2016秋•雨花区期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．
（1）求∠ADE和∠AED的度数；
（2）求DE的长．
【变式3-4】（2016秋•相城区期末）如图，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC．
（1）求∠BAD的大小；（2）求CD的长．
【考点2 相似三角形的性质与判定综合应用】
【典例4】（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，＝．
（1）若AB＝8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【变式4-1】（2022•江西）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
【变式4-2】（2022春•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．
（1）求证：BC＝CD+ED；
（2）若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长．
【变式4-3】（2022•长沙县一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，F为BC边上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝10cm，BE＝18cm，求DE的长．
【典例5】（2022•建邺区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上且DA⊥AC，垂足为A．
（1）求证：AB2＝BD•BC；
（2）若BD＝2，则AC的长是 ．
【变式5-1】（2022•拱墅区模拟）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的长．
【变式5-2】（2021秋•秦都区期末）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）求证：△APE∽△FPA；
（3）若PE＝4，PF＝12，求PC的长．
【典例6】（2021秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．
（1）求证△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【变式6-1】（2022•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为（ ）
A．4B．4C．4D．
【变式-2】（2021秋•江都区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）若BD＝9，AC＝6，求AD的长．
【典例7】（2022•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为BD上一点，过点E作EF⊥BC交AB于点F，过点F作FG⊥EF分别交AD，AC于点N，G，过点G作GH∥EF交BC于点H．
（1）求证：△AFG∽△ABC；
（2）若AD＝3，BC＝9，设EF的长度为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数表达式，并求y的最大值．
【变式7-1】（2020•蔡甸区模拟）在锐角△ABC中，边BC长为18，高AD长为12
（1）如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K，求的值；
（2）设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．
【变式7-2】（2021秋•金川区校级期末）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，四边形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N；
（1）如图1，若四边形EFGH是正方形，求AN的长度；
（2）如图2，若四边形EFGH是矩形，则EH的长为多少时，它的面积最大？最大面积为多少？

专题4.2.3 相似三角形的性质（知识解读）
【直击考点】

【学习目标】
理解并掌握相似三角形的性质，注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上；
灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算；
3、运用相似三角形的性质解决综合问题。
【知识点梳理】
考点1 相似三角形的性质
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
性质3：相似三角形周长的比等于相似比
如图一： ∽，则
由比例性质可得：
图一
性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二，∽，则分别作出与的高和，则

图二
注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
考点2 相似三角形的性质与判定综合
【典例分析】
【考点1 相似三角形的性质】
【典例1】（2016•兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，
∴△ABC与△DEF对应中线的比为，
故选：A．
【变式1-1】（2019•自贡模拟）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（ ）
A．105°B．115°C．125°D．135°
【答案】D
【解答】解：∵EF＝2，DE＝，DF＝，BC＝5，AB＝，AB＝，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF，
又∵∠DEF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°，
故选：D．
【变式1-2】（2015•贵阳）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（ ）
A．2：3B．：C．4：9D．8：27
【答案】C
【解答】解：两个相似三角形面积的比是（2：3）2＝4：9．
故选：C．
【变式1-3】（2015•黔西南州）已知△ABC∽△A′B′C′且，则S△ABC：S△A'B'C′为（ ）
A．1：2B．2：1C．1：4D．4：1
【答案】C
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，，
∴＝（）2＝，
故选：C．
【典例2】（2022•富阳区二模）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若，且△ADE的面积为9，则四边形BCED的面积为（ ）
A．18B．27C．72D．81
【答案】C
【解答】解：∵，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△ADE的面积为9，
∴△ABC的面积＝81，
∴四边形BCED的面积＝△ABC的面积﹣△ADE的面积
＝81﹣9
＝72，
故选：C．
【变式2-1】（2022•灞桥区校级模拟）如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（ ）
A．B．25C．35D．63
【答案】B
【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝（）2，
∵＝，
∴＝，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵四边形BCFE的面积为21，S△ABC＝S△AEF+S四边形BCFE，
∴S△ABC＝4+21＝25，
故选：B．
【变式2-2】（2021•南明区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（ ）
A．9：16B．3：4C．9：4D．3：2
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：AB＝DE：DC＝3：4，
∵DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝＝，
∴△DEF的面积与△DAF的面积之比＝EF：AF＝3：4．
故选：B．
【典例3】（2019秋•长清区期末）如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，
求：（1）AO的长；
（2）S△BOD．
【解答】解：（1）∵△OBD∽△OAC，
∴＝＝，
∵BO＝6，
∴AO＝10；
（2）∵△OBD∽△OAC，＝，
∴＝，
∵S△AOC＝50，
∴S△BOD＝18．
【变式3-1】（2021•丽水模拟）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】B
【解答】解：∵△ABC∽△BDC，
∴＝，
∵AC＝4，CD＝2，
∴BC2＝AC•CD＝4×2＝8，
∴BC＝2．
故选：B．
【变式3-2】（2021•罗湖区校级模拟）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝6，AE＝4，AB＝12，求CD的长．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵AD＝6，AE＝4，AB＝12，
∴＝，
∴AC＝8，
∴CD＝AC﹣AD＝8﹣6＝2．
【变式3-3】（2016秋•雨花区期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．
（1）求∠ADE和∠AED的度数；
（2）求DE的长．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝40°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣40°＝65°，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝40°，
∠AED＝∠C＝65°；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴＝，
即＝，
解得DE＝12cm．
【变式3-4】（2016秋•相城区期末）如图，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC．
（1）求∠BAD的大小；（2）求CD的长．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△DAC，
∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝153°．
（2）∵△ABC∽△DAC，
∴，
又AC＝4，BC＝6，
∴CD＝＝；
【考点2 相似三角形的性质与判定综合应用】
【典例4】（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，＝．
（1）若AB＝8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【解答】解：（1）∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE∥BF，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵AB＝8，
∴AD＝2；
（2）∵△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△ADE的面积为1，
∴△ABC的面积是16，
∵四边形BFED是平行四边形，
∴EF∥AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴△EFC的面积＝9，
∴平行四边形BFED的面积＝16﹣9﹣1＝6．
【变式4-1】（2022•江西）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACD＝∠BCA，
∵∠ACD＝∠ABE，
∴∠BCA＝∠ABE，
∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB；
（2）解：∵△ABC∽△AEB，
∴＝，
∵AB＝6，AC＝4，
∴＝，
∴AE＝＝9．
【变式4-2】（2022春•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．
（1）求证：BC＝CD+ED；
（2）若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴AE＝CD，
∵AD＝AE+DE，
∴BC＝CD+ED；
（2）∵AF＝3，AC＝8，
∴CF＝AC﹣AF＝8﹣3＝5，
∵∠AEB＝∠EBC，∠AFE＝∠BFC，
∴△AFE∽△CFB，
∴＝＝，
∴设AE＝3x，BC＝5x，
∴AB＝AE＝3x，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴（3x）2+82＝（5x）2，
∴x＝2或x＝﹣2（舍去），
∴AE＝3x＝6，
∴AE的长为6．
【变式4-3】（2022•长沙县一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，F为BC边上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝10cm，BE＝18cm，求DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴，
∵DC＝10cm，BE＝18cm，
∴AB＝DC＝10cm，AE＝AB+BE＝28cm，
即 ，
∴DE＝6（cm）．
【典例5】（2022•建邺区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上且DA⊥AC，垂足为A．
（1）求证：AB2＝BD•BC；
（2）若BD＝2，则AC的长是 2 ．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝120°，
∴∠BAC＝∠BDA＝120°，
∵∠B＝∠B，
∴△BDA∽△BAC，
∴＝，
∴AB2＝BD•BC；
（2）∵∠BAC＝120°，∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，
∵∠B＝30°，
∴∠B＝∠BAD，
∴BD＝AD＝2，
在Rt△ADC中，∠C＝30°，
∴AC＝AD＝2，
故答案为：2．
【变式5-1】（2022•拱墅区模拟）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的长．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：由（1）得：△ABC∽△ACD，
∴＝，
∴AC2＝AD•AB，
∴AC2＝2×6＝12，
∴AC＝2或AC＝﹣2（舍去），
∴AC的长为2．
【变式5-2】（2021秋•秦都区期末）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）求证：△APE∽△FPA；
（3）若PE＝4，PF＝12，求PC的长．
【解答】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝CB，
在△ADB和△CDB中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS），
∴∠PDA＝∠PDC，
在△APD和△CPD中，
，
∴△APD≌△CPD（SAS）．
（2）证明：如图，∵CD∥AB，
∴∠F＝∠PCD，
∵∠PAE＝∠PCD，
∴∠PAE＝∠F，
∵∠PAE＝∠FPA，
∴△APE∽△FPA．
（3）解：如图，∵△APE∽△FPA，
∴＝，
∵PE＝4，PF＝12，
∴PA2＝PE•PF＝4×12＝48，
∴PA＝＝4，
∴PC＝PA＝4．
∴PC的长为4．
【典例6】（2021秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．
（1）求证△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵＝，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝．
【变式6-1】（2022•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为（ ）
A．4B．4C．4D．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝，即＝，
解得：CD＝4，
故选：A．
【变式-2】（2021秋•江都区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）若BD＝9，AC＝6，求AD的长．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠ADC，∠ACD+∠A＝90°，∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，
∴AC2＝AB•AD；
（2）解：∵AC2＝AB•AD，BD＝9，AC＝6，
∴36＝（AD+9）•AD，
解得：AD1＝3，AD2＝﹣12（舍去），
则AD的长为3．
【典例7】（2022•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为BD上一点，过点E作EF⊥BC交AB于点F，过点F作FG⊥EF分别交AD，AC于点N，G，过点G作GH∥EF交BC于点H．
（1）求证：△AFG∽△ABC；
（2）若AD＝3，BC＝9，设EF的长度为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数表达式，并求y的最大值．
【解答】（1）证明：∵EF⊥BC，FG⊥EF，
∴▱EFGH为矩形，
∴FG∥BC，
∴，
∵∠BAC＝∠FAG，
∴△AFG∽△ABC；
（2）解：∵EF⊥BC，GH∥EF，
∴∠FEH＝90°，GH⊥BC，
∴∠GHE＝90°，
又FG⊥EF，AD⊥BC，
∴∠EFG＝∠ADB＝90°，
∴四边形EFGH，EFND都是矩形，
∴ND＝EF，AN⊥FG，
∵EF＝x，AD＝3，
∴ND＝EF＝x，
∴AN＝AD﹣ND＝3﹣x．
由（1）得△AFG∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴FG＝9﹣3x，
∵S四边形EFGH＝EF•FG，
∴y＝x（9﹣3x）
＝﹣3x2+9x
＝﹣3（x﹣）2+（0＜x＜3），
∴当x＝时，y取得最大值，最大值为．
【变式7-1】（2020•蔡甸区模拟）在锐角△ABC中，边BC长为18，高AD长为12
（1）如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K，求的值；
（2）设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．
【解答】解：（1）∵△AEF∽△ABC，
∴＝，
∵边BC长为18，高AD长为12，
∴＝＝；
（2）∵EH＝KD＝x，
∴AK＝12﹣x，EF＝（12﹣x），
∴S＝x（12﹣x）＝﹣（x﹣6）2+54，
当x＝6时，S有最大值为54．
【变式7-2】（2021秋•金川区校级期末）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，四边形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N；
（1）如图1，若四边形EFGH是正方形，求AN的长度；
（2）如图2，若四边形EFGH是矩形，则EH的长为多少时，它的面积最大？最大面积为多少？
【解答】解：（1）设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴，
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20；
（2）设矩形EFGH的边长EH＝y，
同理可证△AEF∽△ABC，
∴，
∴＝，
∴EF＝120﹣2y，
∵S矩形EFGH＝EF×EH＝y（120﹣2y）＝﹣2（y﹣30）2+1800，
∴当y＝30时，矩形EFGH有最大面积，
∴当EH＝30时，矩形EFGH有最大面积，最大面积为1800．