专题4.2.4 相似三角形的应用（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版）

这是一份专题4.2.4 相似三角形的应用（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版），共20页。

【学习目标】
1、理解并掌握用不同方法构造相似三角形测高的原理
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，掌握把实际问题抽象为数学问题方法.
【知识点梳理】
考点1 利用相似三角形测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
注意：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
考点2 利用相似三角形测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.

注意：
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
【典例分析】
【考点1 利用相似三角形测量高度】
【典例1】（2022•陕西模拟）西安世园会标志性雕塑《水龙》，内部为钢结构，外包镜面不锈钢，既像一股水花，又似一条飞龙，既蕴含了上善若水的中国传统理念，又有巨龙腾飞的时代精神．小刚同学想利用所学知识测量该雕塑的高度AB，如图，他在距离B点48米的点C处水平放置了一个小平面镜，并沿着BC方向移动，当移动到点E处时，他刚好在小平面镜内看到雕塑的顶端A的像，此时，测得CE＝2米，小刚眼睛与地面的距离DE＝1.5米．已知点B、C、E在同一水平直线上，且AB⊥BE、DE⊥BE，求雕塑的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）
【变式1-1】（2022•澄城县一模）雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场上E处有一处积水，如图，若小李站在D处距积水2米，他正好从水面上看到距他约10米的前方一棵树的顶端A的影子已知点D、E、B在同一直线上，AB⊥BD，CD⊥BD，小李的眼睛到地面的距离CD为1.6米，求树AB的高．（∠CED＝AEB，积水水面大小忽略不计）
【变式1-2】（2021秋•泸西县期末）如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，求树高CD．
【变式1-3】（2022•新城区校级二模）小丽想利用所学知识测量旗杆AB的高度，如图，小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之间有一棵大树DE，小丽通过调整自己的位置，发现半蹲于窗边，眼睛位于C处时，恰好看到旗杆顶端A、大树顶端D在一条直线上，小丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水平距离CH、CG分别为7米、28米，眼睛到地面的距离CF为3.5米，已知大树DE的高度为7米，CG∥BF交AB于点G，AB⊥BF于点B，DE⊥BF于点E，交CG于点H，CF⊥BF于点F．求旗杆AB的高度．
【典例2】（2021秋•山阴县期末）如图，利用标杆BE测量建筑物CD的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，AC＝28m，点A，E，D在同一直线上，点B在AC上．求该建筑物CD的高度．
【变式2-1】（2021秋•金牛区期末）某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时，让一名同学直立在点F处，手拿一块直角三角板CDE，保持斜边CE与地面BF平行，延长CE交AB于点G，如图，并沿着射线CD的方向观察，刚好看到旗杆的顶端A点，已知该同学的身高CF为1.6米，点F到旗杆底端的距离BF为12米，CE＝50cm，CD＝40cm，求旗杆AB的高度．
【变式2-2】（2021•南通）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？
【典例3】（2021秋•牡丹区期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑AB的高度（如图1）．如图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．
【变式3-1】（2022•灞桥区校级三模）某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.2米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.8米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．
【变式3-2】（2021•雁塔区校级二模）如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．
【考点2 利用相似三角形测量距离】
【典例4】（2021•柳南区校级模拟）我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD（PM⊥MN）的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠PAD＝α，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直．已知油画的长度AD为100cm．
（1）视线∠ABD的度数为 2α ．（用含α的式子表示）
（2）当小然到墙壁PM的距离AB＝250cm时，求油画顶部点D到墙壁PM的距离．
（3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁PM，还是不动或者远离墙壁PM？（直接回答即可）
【变式4-1】（2021秋•市中区期中）为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示测得BD＝120m，DC＝40m，EC＝30m，那么这条河的大致宽度是多少米？
【变式4-2】（2021春•任城区期末）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．求BF的长．
【变式4-3】（2021秋•高阳县期末）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．

专题4.2.4 相似三角形应用（知识解读）
【直击考点】

【学习目标】
1、理解并掌握用不同方法构造相似三角形测高的原理
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，掌握把实际问题抽象为数学问题方法.
【知识点梳理】
考点1 利用相似三角形测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
注意：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
考点2 利用相似三角形测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.

注意：
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
【典例分析】
【考点1 利用相似三角形测量高度】
【典例1】（2022•陕西模拟）西安世园会标志性雕塑《水龙》，内部为钢结构，外包镜面不锈钢，既像一股水花，又似一条飞龙，既蕴含了上善若水的中国传统理念，又有巨龙腾飞的时代精神．小刚同学想利用所学知识测量该雕塑的高度AB，如图，他在距离B点48米的点C处水平放置了一个小平面镜，并沿着BC方向移动，当移动到点E处时，他刚好在小平面镜内看到雕塑的顶端A的像，此时，测得CE＝2米，小刚眼睛与地面的距离DE＝1.5米．已知点B、C、E在同一水平直线上，且AB⊥BE、DE⊥BE，求雕塑的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）
【解答】解：根据题意，得∠ACB＝∠DCE．
∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠ABC＝∠DEC＝90°．
∴△ABC∽△DEC．
∴＝．
∵BC＝48米，CE＝2米，DE＝1.5米，
∴＝．
解得AB＝36．
答：雕塑的高度AB是36米
【变式1-1】（2022•澄城县一模）雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场上E处有一处积水，如图，若小李站在D处距积水2米，他正好从水面上看到距他约10米的前方一棵树的顶端A的影子已知点D、E、B在同一直线上，AB⊥BD，CD⊥BD，小李的眼睛到地面的距离CD为1.6米，求树AB的高．（∠CED＝AEB，积水水面大小忽略不计）
【解答】解：由题意得：△CDE∽△ABE，
∴＝，
∵CD＝1.6米，DE＝2米，BE＝8米，
即：＝，
解得：AB＝6.4，
答：树高大约是6.4米．
【变式1-2】（2021秋•泸西县期末）如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，求树高CD．
【解答】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF＝GB＝DH＝1.7米，EG＝FB＝2米，GH＝BD＝6米，
∴AG＝AB﹣GB＝2.9﹣1.7＝1.2（米），
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴＝，
∴＝，
解得CH＝4.8，
∴CD＝CH+DH＝4.8+1.7＝6.5（米）．
答：树高CD为6.5米．
【变式1-3】（2022•新城区校级二模）小丽想利用所学知识测量旗杆AB的高度，如图，小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之间有一棵大树DE，小丽通过调整自己的位置，发现半蹲于窗边，眼睛位于C处时，恰好看到旗杆顶端A、大树顶端D在一条直线上，小丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水平距离CH、CG分别为7米、28米，眼睛到地面的距离CF为3.5米，已知大树DE的高度为7米，CG∥BF交AB于点G，AB⊥BF于点B，DE⊥BF于点E，交CG于点H，CF⊥BF于点F．求旗杆AB的高度．
【解答】解：由题意知BG＝HE＝CF＝3.5米，
∴DH＝DE﹣CF＝7﹣3.5＝3.5（米），
∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴AG∥DH，
∴△CDH∽△CAG，
∴＝，
即，
∴AG＝14米，
∴AB＝AG+GB＝14+3.5＝17.5（米），
∴旗杆AB的高度为17.5米．
【典例2】（2021秋•山阴县期末）如图，利用标杆BE测量建筑物CD的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，AC＝28m，点A，E，D在同一直线上，点B在AC上．求该建筑物CD的高度．
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴∠EBA＝∠DCA＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△EBA∽△DCA，
∴，
∵BE＝1.2，AB＝1.6，AC＝28，
∴，
∴CD＝21，
∴该建筑物CD的高度是21m．
【变式2-1】（2021秋•金牛区期末）某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时，让一名同学直立在点F处，手拿一块直角三角板CDE，保持斜边CE与地面BF平行，延长CE交AB于点G，如图，并沿着射线CD的方向观察，刚好看到旗杆的顶端A点，已知该同学的身高CF为1.6米，点F到旗杆底端的距离BF为12米，CE＝50cm，CD＝40cm，求旗杆AB的高度．
【解答】解：由题意得：CF⊥BF，AB⊥BF，CG⊥AB，
∴∠BFC＝∠ABF＝BGC＝90°，
∴四边形CFBG是矩形，
∴CG＝FB＝12m，CF＝GB＝1.6m，
∵∠CDE＝90°，CE＝50cm，CD＝40cm，
∴DE＝＝＝30cm，
∵∠CDE＝∠CGA＝90°，∠DCE＝∠ACG，
∴△CDE∽△CGA，
∴＝，
∴＝，
∴GA＝9m，
∴AB＝AG+BG＝9+1.6＝10.6m，
答：旗杆AB的高度为10.6米．
【变式2-2】（2021•南通）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？
【解答】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝9（m），
答：楼高BC是9m．
【典例3】（2021秋•牡丹区期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑AB的高度（如图1）．如图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．
【解答】解：设BE＝ym，由题意可知，
△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC，
∴＝，＝，
∵EF＝HG＝2，
∴＝，
∴＝，
解得：y＝23（m），
则＝，即＝，
解得：AB＝25（m），
答：该古建筑的高度为25米．
【变式3-1】（2022•灞桥区校级三模）某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.2米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.8米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．
【解答】解：根据题意得，△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴＝，
∵DC＝HG，
∴，
∴，
∴CA＝40（米），
∴＝，
∴AB≈68.7米，
答：古塔的高度AB约为68.7米．
【变式3-2】（2021•雁塔区校级二模）如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．
【解答】解：由题意可得，∠ACE＝∠EDF＝90°，∠AEC＝∠FED，
∴△ACE∽△FDE，
∴，
即，
∴CD＝，
由题意可得，∠BCG＝∠FDG＝90°，∠BGC＝∠FGD，
∴△BCG∽△FDG，
∴，
即，
∴6.5BC＝4（CD+6.5），
∴6.5BC＝4×，
∴BC＝14（米），
∴这座建筑物的高BC为14米．
【考点2 利用相似三角形测量距离】
【典例4】（2021•柳南区校级模拟）我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD（PM⊥MN）的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠PAD＝α，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直．已知油画的长度AD为100cm．
（1）视线∠ABD的度数为 2α ．（用含α的式子表示）
（2）当小然到墙壁PM的距离AB＝250cm时，求油画顶部点D到墙壁PM的距离．
（3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁PM，还是不动或者远离墙壁PM？（直接回答即可）
【解答】解：（1）连接BD，
∵AE⊥BE，PM⊥MN，AB∥MN，
∴AB⊥PM，
∴∠PAB＝90°，∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠PAD＝90°﹣∠BAE＝α，
∵AE＝DE，BE⊥AD，
∴AB＝BD，
∴∠ABE＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠DBE+∠ABE＝2α，
故答案为：2α；
（2）过点D作DC⊥PM交PM于点C，
由题意得AB＝250cm，AD＝100cm，
则AE＝50cm，
∵∠CAD＝∠ABE＝α，∠ACD＝∠AEB＝90°，
∴△ACD∽△BEA，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝20（cm），
∴油画顶部到墙壁的距离CD是20cm；
（3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁PM．
【变式4-1】（2021秋•市中区期中）为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示测得BD＝120m，DC＝40m，EC＝30m，那么这条河的大致宽度是多少米？
【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴△ABD∽△ECD，
∴AB：CE＝BD：CD，
即AB：30＝120：40，
∴AB＝90（m），
即这条河的大致宽度是90m
【变式4-2】（2021春•任城区期末）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．求BF的长．
【解答】解：如图，在矩形ABCD中：∠DFC＝∠EFB，∠EBF＝∠FCD＝90°，
∴△BEF∽△CDF；
∴＝，即＝，
解得：BF＝91．
即：BF的长度是91cm．
【变式4-3】（2021秋•高阳县期末）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．
【解答】解：（1）由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽BED，
故，
即，
解得：BC＝3；
（2）∵AC＝5.4m，
∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴＝，
∴，
解得：AG＝1.2（m），
答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．