专题4.3 图形的位似（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版）

这是一份专题4.3 图形的位似（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版），共30页。
 专题4.3 图形的位似（知识解读）
【直击考点】




【学习目标】
1.了解图形的位似，明确位似变换是特殊的相似变换；
2.能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；

【知识点梳理】
考点1 位似图形的概念
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
考点2 位似图形的性质
（1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
注意：
（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未
必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
考点3 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的

考点4 作位似图形的步骤
　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
　第二步：作位似中心与各关键点连线；
　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
　第四步：顺次连接各对应点.
注意：
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.




【典例分析】
【考点1位似图形性质】
【典例1】（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（　　）

A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【变式1-1】（2021秋•瑞安市期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，O为位似中心，位似比为2：3．若AB＝4，则DE的长为（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10
【变式1-2】（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（　　）

A．4 B．6 C．9 D．16
【典例2】（2021•江北区校级模拟）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O是位似中心，若△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则CO：C′O的值为（　　）

A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．1：3
【变式2-2】（2021春•渝中区校级期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（　　）

A．2 B．6 C．8 D．9
【变式2-3】（2021春•沙坪坝区校级月考）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△A'B'C'，已知OB：OB'＝2：3，则△ABC与△A'B'C'的面积之比为（　　）

A．1：3 B．1：9 C．2：3 D．4：9
【考点2 位似图形的点坐标】
【典例3】（2022•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（4，3），D（5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（　　）

A．（10，7） B．（8，7） C．（10，7.5） D．（8，6）
【变式3-1】（2022•揭阳四模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣12，﹣8）
C．（﹣3，﹣2）或（3，2） D．（﹣12，﹣8）或（12，8）
【变式3-2】（2022•嘉兴二模）如图，在平面直角坐标系中，以P（0，﹣1）为位似中心，在y轴右侧作△ABP放大2倍后的位似图形△DCP，若点B的坐标为（﹣2，﹣4），则点B的对应点C的坐标为（　　）

A．（4，5） B．（4，6） C．（2，4） D．（2，6）

【考点3 判定位似中心】
【典例4】（2022•嵊州市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们的位似中心的坐标是（　　）

A．（4，4） B．（4，3） C．（4，2） D．（3，4）
【变式4-1】（2022•路南区一模）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点D（2，2），点G（0，1），则它们位似中心的坐标是（　　）

A．（﹣2，0） B．（﹣1，0） C．（0，0） D．（﹣3，0）
【变式4-2】（2020秋•江阴市校级月考）如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC＝3.6cm，OF＝2.4cm，求它们的相似比．





【考点4 位似图形的判定】
【典例5】（2019秋•唐山期末）如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
（1）求证：△ADP∽△BCP；
（2）直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？
（3）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．


【变式5-1】（2018秋•邵阳县期末）如图，如果AC∥BD，CE∥DF，那么△ACE与△BDF是位似三角形吗？为什么？

【变式5-2】如图，点A，D在∠XOY的边OX上，点B，E在OY边上，射线OZ在∠XOY内，且点C，F在OZ上，AC∥DF，BC∥EF．＝．
（1）试说明△ABC与△DEF是位似图形；
（2）求△ABC与△DEF的位似比．


【考点5 画位似图形放大后的的位似图形】
【典例6】（2019秋•锡山区期末）已知△ABC三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．
（1）画出△ABC；
（2）以B为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形△A1BC1；
（3）写出点A的对应点A1的坐标：　 　．

【变式6-1】（2019秋•西城区期末）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为．






【变式6-2】（2016春•威海期末）如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．
（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．
（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为　 　．


【变式6-3】（2022•马鞍山二模）如图11×7的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）
（1）在线段BC下方用无刻度直尺作出一点O，使得OA＝OC
（2）以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得对应△A'B'C'，请在网格中作出△A'B'C'．



【考点6 平移、轴对称、旋转和位似】
【典例7】（2022•雨山区二模）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABO的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（2，2），B（1，3），把△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到△A1B1O．
（1）画出△A1B1O，直接写出点A1，B1的坐标；
（2）计算在旋转过程中，△ABO所扫过的面积．
（3）以原点O为位似中心，位似比为2，在第三象限画出△ABO放大后的△A2B2O．



【变式7-1】（2022•安徽三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（2）将△ABC以点C为位似中心放大2倍得到△A2B2C2，在网格中画出△A2B2C2．



【变式7-2】（2022•广西模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣5）、B（﹣3，﹣1）、C（﹣5，﹣4）．
（1）画出将△ABC向上平移6个单位长度后对应的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，为位似比，在第一象限内，画出△ABC的位似图形△A2B2C2；
（3）点M是BC的中点，请直接写出点M分别在△A1B1C1和△A2B2C2中的对应点M1和M2的坐标．

【变式7-3】（2022•宾阳县二模）如图，在直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，3），B（4，0），C（0，2）．
（1）请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴的右侧画出△A2B2C2．
（3）在y轴上存在点P，使得△OA1P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标．

专题4.3 图形的位似（知识解读）
【直击考点】




【学习目标】
1.了解图形的位似，明确位似变换是特殊的相似变换；
2.能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；

【知识点梳理】
考点1 位似图形的概念
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
考点2 位似图形的性质
（2） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
注意：
（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未
必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
考点3 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的

考点4 作位似图形的步骤
　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
　第二步：作位似中心与各关键点连线；
　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
　第四步：顺次连接各对应点.
注意：
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.




【典例分析】
【考点1位似图形性质】
【典例1】（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（　　）

A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【答案】A
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长之比是1：2，
故选：A．
【变式1-1】（2021秋•瑞安市期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，O为位似中心，位似比为2：3．若AB＝4，则DE的长为（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，
∴AB：DE＝2：3．
∵AB＝4，
∴DE＝6．
故选：A．
【变式1-2】（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（　　）

A．4 B．6 C．9 D．16
【答案】B
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，相似比为2：3．
∴C△ABC：C△DEF＝2：3，
∵△ABC的周长为4，
∴△DEF的周长是6，
故选：B．
【典例2】（2021•江北区校级模拟）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O是位似中心，若△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则CO：C′O的值为（　　）

A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．1：3
【答案】A
【解答】解：如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O是位似中心，若△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2．
∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，
∴△BCO∽△B′C′O′．
∴CO：C′O＝BC：B′C′＝1：2．
故选：A．

【变式2-2】（2021春•渝中区校级期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（　　）

A．2 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3，
∴AB：DE＝OB：OE＝2：3，
∵△ABC∽△DEF，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△DEF＝S△ABC＝×4＝9．
故选：D．
【变式2-3】（2021春•沙坪坝区校级月考）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△A'B'C'，已知OB：OB'＝2：3，则△ABC与△A'B'C'的面积之比为（　　）

A．1：3 B．1：9 C．2：3 D．4：9
【答案】D
【解答】解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴＝＝，
∴＝＝．
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为3：2．
∴△ABC与△A'B'C'的面积之比为4：9．
故选：D．
【考点2 位似图形的点坐标】
【典例3】（2022•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（4，3），D（5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（　　）

A．（10，7） B．（8，7） C．（10，7.5） D．（8，6）
【答案】C
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
而A（2，0），D（5，0），
∴△ABC与△DEF的位似比为，
∵B（4，3），
∴E点的坐标是为（4×，3×），即（10，7.5）．
故选：C．
【变式3-1】（2022•揭阳四模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣12，﹣8）
C．（﹣3，﹣2）或（3，2） D．（﹣12，﹣8）或（12，8）
【答案】C
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点B的坐标为（﹣6，﹣4），
∴点B的对应点B′的坐标为（﹣6×，﹣4×）或（6×，4×），即（﹣3，﹣2）或（3，2），
故选：C．
【变式3-2】（2022•嘉兴二模）如图，在平面直角坐标系中，以P（0，﹣1）为位似中心，在y轴右侧作△ABP放大2倍后的位似图形△DCP，若点B的坐标为（﹣2，﹣4），则点B的对应点C的坐标为（　　）

A．（4，5） B．（4，6） C．（2，4） D．（2，6）
【答案】A
【解答】解：以点P为坐标原点，原y轴为y轴建立新的平面直角坐标系，
则点B在新坐标系中的坐标为（﹣2，﹣3），
∵△ABP与△DCP的位似比为1：2，
∴点C在新坐标系中的坐标为（4，6），
则点C在原坐标系中的坐标为（4，5），
故选：A．
【考点3 判定位似中心】
【典例4】（2022•嵊州市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们的位似中心的坐标是（　　）

A．（4，4） B．（4，3） C．（4，2） D．（3，4）
【答案】C
【解答】解：连接DB、OA并延长交于点P，
则点P为位似中心，
由平面直角坐标系可知，点P的坐标为（4，2），
故选：C．

【变式4-1】（2022•路南区一模）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点D（2，2），点G（0，1），则它们位似中心的坐标是（　　）

A．（﹣2，0） B．（﹣1，0） C．（0，0） D．（﹣3，0）
【答案】A
【解答】解：∵点F与点C是一对对应点，可知两个位似图形在位似中心同旁，位似中心就是CF与x轴的交点，
设直线GD解析式为y＝kx+b，
将D（2，2），G（0，1），代入，
得，
解得 ，
即y＝x+1，
令y＝0得x＝﹣2，
∴O′坐标是（﹣2，0）；
故选：A．
【变式4-2】（2020秋•江阴市校级月考）如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC＝3.6cm，OF＝2.4cm，求它们的相似比．

【解答】解：连接AD，CF交于点O，
则点O即为所求；
∵OC＝3.6cm，OF＝2.4cm，
∴OC：OF＝3：2，
∴△ABC与△DEF的相似比为3：2．

【考点4 位似图形的判定】
【典例5】（2019秋•唐山期末）如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
（1）求证：△ADP∽△BCP；
（2）直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？
（3）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．

【解答】（1）证明∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB，
∴△ADP∽△BCP；
（2）解：△ADP与△BCP不是位似图形，
因为它们的对应点的连线不平行；
（3）解：∵△ADP∽△BCP，
∴＝，又∠APB＝∠DPC，
∴△APB∽△DPC，
∴＝，即＝，
解得，AP＝6．
【变式5-1】（2018秋•邵阳县期末）如图，如果AC∥BD，CE∥DF，那么△ACE与△BDF是位似三角形吗？为什么？

【解答】解：△ACE与△BDF是位似三角形，
理由：∵AC∥BD，CE∥DF，
∴＝，＝，
∴＝，
又∵∠AOE＝∠BOF，
∴△OAE∽△OBF，
∴∠OAE＝∠OBF，
∴AE∥BF，
又∵△ACE与△BDF对应点相交于点O，
∴△ACE与△BDF是位似三角形．

【变式5-2】如图，点A，D在∠XOY的边OX上，点B，E在OY边上，射线OZ在∠XOY内，且点C，F在OZ上，AC∥DF，BC∥EF．＝．
（1）试说明△ABC与△DEF是位似图形；
（2）求△ABC与△DEF的位似比．

【解答】解：（1）∵AC∥DF，BC∥EF，
∴∠DFO＝∠ACO，∠OFE＝∠OCB，＝＝，＝，
∴∠DFE＝∠ACB，＝，
∴△ACB∽△DFE，
∴△ABC与△DEF是位似图形；

（2）∵△ABC与△DEF是位似图形，＝，
∴△ABC与△DEF的位似比为：．
【考点5 画位似图形放大后的的位似图形】
【典例6】（2019秋•锡山区期末）已知△ABC三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．
（1）画出△ABC；
（2）以B为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形△A1BC1；
（3）写出点A的对应点A1的坐标：　 　．

【解答】解：（1）根据A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．
在坐标系中找出连接即可；


（2）把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
所画图形如下所示：

它的三个对应顶点的坐标分别是：（﹣3，1）、（3，3）、（1，﹣1）．

（3）利用（2）中图象，直接得出答案．
故答案为：（﹣3，1）．
【变式6-1】（2019秋•西城区期末）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为．

【解答】解：如图所示：△A′B′O即为所求．

【变式6-2】（2016春•威海期末）如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．
（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．
（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为　 　．

【解答】解：（1）如图，△DEF和△D′E′F′为所作；

（2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．
故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．
【变式6-3】（2022•马鞍山二模）如图11×7的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）
（1）在线段BC下方用无刻度直尺作出一点O，使得OA＝OC
（2）以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得对应△A'B'C'，请在网格中作出△A'B'C'．

【解答】解：（1）如图，点O为所作；
（2）如图，△A'B'C'为所作．

【考点6 平移、轴对称、旋转和位似】
【典例7】（2022•雨山区二模）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABO的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（2，2），B（1，3），把△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到△A1B1O．
（1）画出△A1B1O，直接写出点A1，B1的坐标；
（2）计算在旋转过程中，△ABO所扫过的面积．
（3）以原点O为位似中心，位似比为2，在第三象限画出△ABO放大后的△A2B2O．

【解答】解：（1）如图所示，△A1B1O，即为所求；A1，B1的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，1）；

（2）OB＝，AB＝，OA＝2，
∴OB2＝OA2+AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠OAB＝90°，
∴△ABO所扫过的面积＝扇形BOB1的面积+S＝．
（3）如上图所示，△A2B2O即为所求．
【变式7-1】（2022•安徽三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（2）将△ABC以点C为位似中心放大2倍得到△A2B2C2，在网格中画出△A2B2C2．

【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2即为所求．

【变式7-2】（2022•广西模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣5）、B（﹣3，﹣1）、C（﹣5，﹣4）．
（1）画出将△ABC向上平移6个单位长度后对应的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，为位似比，在第一象限内，画出△ABC的位似图形△A2B2C2；
（3）点M是BC的中点，请直接写出点M分别在△A1B1C1和△A2B2C2中的对应点M1和M2的坐标．

【解答】解：（1）作图如图，△A1B1C1即为所求．

（2）作图如图，△A2B2C2即为所求．

（3）∵点M是BC的中点，
∴点M的坐标为（﹣4，﹣），
向上平移6个单位长度可得M1（﹣4，），
根据位似的性质，横纵坐标都变为原来的，且在第一象限，
∴M2（2，）．
【变式7-3】（2022•宾阳县二模）如图，在直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，3），B（4，0），C（0，2）．
（1）请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴的右侧画出△A2B2C2．
（3）在y轴上存在点P，使得△OA1P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标．

【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．

（3）∵△OA1P的面积为6，点P在y轴上，
∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）．