专题21.2 一元二次方程的判别式、根与系数（专项训练）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（人教版）

专题21.2  一元二次方程的判别式、根与系数（专项训练）

1．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法判断

2．下列关于x的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（　　） 

A．x2+kx﹣1＝0   B．x2+kx+1＝0     C．x2+x﹣k＝0    D．x2+x+k＝0

3．当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（　　） 

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 D．无法确定

4．若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　）

A．2 B．±2 C．±4 D．±2

5．关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣4）x+（m﹣2）＝0有两个实数根，则m的取值范围（　　）

A．m≥2    B．m≤2 C．m≥2且m≠0 D．m≤2且m≠0

6．若关于 x的一元二次方程 有实数根，则 a 应满足(　　)

A． B． 且

C． 且  D．

7．若关于 x的一元二次方程 有实数根，则 a 应满足(　　)

A． B． 且

C． 且  D．

8．若关于 x的一元二次方程 有实数根，则 a 应满足(　　)

A． B． 且

C． 且  D．

9．已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根．

（1）求a的取值范围；．

（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．

10．已知关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根大于3，求的取值范围．

11．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0.

（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根.

（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积.

12．设 是一元二次方程 的两个根，则 的值是（　　）

A．2 B．1 C．-2 D．-1

13．若一元二次方程x2 5x+k =0的一根为2，则另一个根为（　　） 

A．3 B．4 C．5 D．6

14．已知 是一元二次方程 的两个根，且 ，则a，b的值分别是（　　）

A． B．

C． D．

15．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 的值为 　     　． 

16．已知m，n为一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（　　） 

A．-7 B．7 C．-2 D．2

17．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（　　）

A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2

18．已知是方程的根，则的值是（　　）

A．1 B．-1 C．±1 D．0

19．已知 是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则m的值为（　　） 

A． 或1 B． 或3 C． D．3

20．设a，b是方程x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为　     　.

21．设α、β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，则α2+2α+β的值为（　　）

A．-2014 B．2014 C．2013 D．-2013

22．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， . 

（1）求实数m的取值范围；

（2）若 ，求m的值. 

23．已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值．

24．已知关于 的一元二次方程

（1）求证：不论 为何实数,方程总有实数根;

（2）若方程的两实数根分别为 ,且满足 ,求 的值.

专题21.2  一元二次方程的判别式、根与系数（专项训练）（解析）

1．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法判断

【答案】A

【解答】解：∵根的判别式，

∴方程有两个不相等的实数根．

故答案为：A．

2．下列关于x的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（　　） 

A．x2+kx﹣1＝0   B．x2+kx+1＝0     C．x2+x﹣k＝0    D．x2+x+k＝0

【答案】A

【解答】解：A、△＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意；

B、△＝k2﹣4×1×1＝k2﹣4，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；

C、△＝12﹣4×1×（﹣k）＝1+4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；

D、△＝12﹣4×1×k＝1﹣4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意.

故答案为：A.

3．当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（　　） 

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 D．无法确定

【答案】A

【解答】解：∵b+c=5，

∴c=5-b，

∴3x2+bx+b-5＝0 ，

∴△=b2-4ac=b2-4×3×(b-5)

=b2-12b+60

=(b-6)2+24>0，

∴ 方程有两个不相等的实数根.

故答案为：A.

4．若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　）

A．2 B．±2 C．±4 D．±2

【答案】C

【解答】解：∵一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，

∴△=m2－4×4=0，

解得：m=±4，

故答案为：C．

5．关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣4）x+（m﹣2）＝0有两个实数根，则m的取值范围（　　）

A．m≥2    B．m≤2 C．m≥2且m≠0 D．m≤2且m≠0

【答案】D

【解答】解：根据题意得m≠0且Δ=（2m-4）2-4m×（m-2）≥0，

解得m≤2且m≠0，

故答案为：D．

6．若关于 x的一元二次方程 有实数根，则 a 应满足(　　)

A． B． 且

C． 且  D．

【答案】B

【解答】解：∵ 关于 x的一元二次方程 有实数根，

∴b2-4ac≥0且a≠0

∴4-4a≥0

解之：a≤1

∴a的取值范围是a≤1且a≠0.

故答案为：B

7．若关于 x的一元二次方程 有实数根，则 a 应满足(　　)

A． B． 且

C． 且  D．

【答案】B

【解答】解：∵ 关于 x的一元二次方程 有实数根，

∴b2-4ac≥0且a≠0

∴4-4a≥0

解之：a≤1

∴a的取值范围是a≤1且a≠0.

故答案为：B.

8．若关于 x的一元二次方程 有实数根，则 a 应满足(　　)

A． B． 且

C． 且  D．

【答案】B

【解答】解：∵ 关于 x的一元二次方程 有实数根，

∴b2-4ac≥0且a≠0

∴4-4a≥0

解之：a≤1

∴a的取值范围是a≤1且a≠0.

故答案为：B.

9．已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根．

（1）求a的取值范围；．

（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．

【答案】（1） a>-  且a≠0 （2）-3.

【解答】（1）解：由题意得：a≠0，△=4+12a>0，

 解得a>-  且a≠0.

（2）解：由题意得：a+2-3=0，

 解得：a=1，

∴x2+2x-3=0，

 (x-1)(x+3)=0，

 解得x=1或-3，

∴另一个实数根为：-3.

10．已知关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根大于3，求的取值范围．

【答案】（1）略 （2）．

【解答】（1）证明：∵

，

∵无论取何值时，，

∴原方程总有两个实数根；

（2）解：∵原方程可化为，

∴，，

∵该方程有一个根大于3，

∴．

∴．

11．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0.

（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根.

（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积.

【答案】（1）略 （2）或.

【解答】（1）证明：，

其中：，，，

∴，

∴在实数范围内，m无论取何值，，

即，

∴关于x的方程恒有两个不相等的实数根；

（2）解：根据题意得：将代入方程可得：

，

解得，

∴方程为，

解得：或，

∴方程的另一个根为；

①当该直角三角形的两直角边是1、3时，

该直角三角形的面积为：；

②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，

由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为，

则该直角三角形的面积为；

综上可得，该直角三角形的面积为或

12．设 是一元二次方程 的两个根，则 的值是（　　）

A．2 B．1 C．-2 D．-1

【答案】D

【解答】解：∵ 是一元二次方程 ，

∴ .

故答案为：D.

13．若一元二次方程x2 5x+k =0的一根为2，则另一个根为（　　） 

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【解答】解：设方程的另一根为t，

根据题意得2＋t＝5，

解得t＝3.

故答案为：A.

14．已知 是一元二次方程 的两个根，且 ，则a，b的值分别是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解答】解： ∵ ，

∴ ，

解得a=-，b=1.

故答案为：D.

15．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 的值为 　     　． 

【答案】-2

【解答】解：根据题意得m+n=4，mn=-2，

所以原式= =-2．

故答案为：-2

16．已知m，n为一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（　　） 

A．-7 B．7 C．-2 D．2

【答案】A

【解答】解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，

∴m＋n＝4，mn＝-3，

∴ ，

故答案为：A．

17．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（　　）

A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2

【答案】B

【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，

所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×1＝7．

故答案为：B．

18．已知是方程的根，则的值是（　　）

A．1 B．-1 C．±1 D．0

【答案】B

【解答】解：∵x1与x2是方程的根，

∴ ，

∴.

故答案为：B.

19．已知 是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则m的值为（　　） 

A． 或1 B． 或3 C． D．3

【答案】D

【解答】解：根据题意得： ，且 ，

∴ ，

解得： ，

∵ ，

∴ ，即 ，

解得： 或 ，

∴m的值为3.

故答案为：D.

20．设a，b是方程x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为　     　.

【答案】2020

【解答】解：∵a，b是方程x2＋x−2021＝0的两个实数根，

∴a2＋a−2021＝0，即a2＋a＝2021，a＋b＝＝−1，

∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋a＋b＝2021−1＝.

故答案为：2020.

21．设α、β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，则α2+2α+β的值为（　　）

A．-2014 B．2014 C．2013 D．-2013

【答案】D

【解答】解：∵a是方程的根

∴a2+a+2012=0

∴a2=-a-2012

∴a2+2a+β=-a-2012+2a+β=a+β-2012

∵a和β是方程的两个实数根

∴a+β=-1

∴a+β-2012=-1-2012=-2013

 故答案为：D. 

22．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， . 

（1）求实数m的取值范围；

（2）若 ，求m的值. 

【答案】（1）   （2）

【解答】（1）解：因为一元二次方程有两个实数根，

所以

即实数m的取值范围为 ；

（2）解： ，

（舍去）或

23．已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值．

【答案】（1） （2）4

【解答】（1）解：

由于方程有实数根，所以根的判别式，则

解得

（2）解：由一元二次方程根与系数关系得

而

解得

由于符合题意，所以k的值为4．

24．已知关于 的一元二次方程

（1）求证：不论 为何实数,方程总有实数根;

（2）若方程的两实数根分别为 ,且满足 ,求 的值.

【答案】（1）略 （2）k=-1.

【解答】（1）证明： ,

∴无论   取何值, 该方程总有实数根

（2）解：∵一元二次方程x2+(k-1)x-k=0的两个根为x1，x2，

∴x1+x2=-（k-1）=1-k，x1x2=-k，

∵=2，

∴，

∴整理，解得：k=-1.