专题22.1.1 二次函数的概念（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（人教版）

专题22.1.1  二次函数的概念（知识解读）

【直击考点】

 【学习目标】

1. 理解二次函数的概念；
2. 会根据简单的实际应用列二次函数解析式；
3. 能根据二次函数定义求参数。

【知识点梳理】

考点 1 二次函数的概念 ：

一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数.

其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．

注意：二次函数的判断方法：

①函数关系式是整式；

②化简后自变量的最高次数是2；

③二次项系数不为0．

考点2 二次函数解析式

（1）一般式：y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）

（2）顶点式：y=a(x-h)²+k（a,b,c是常数， a≠0），其中（h，k）为顶点坐标

（3）交点式：y=a(x- x1)(x-x2)(a≠0，x1， x2 是抛物线与x轴两交点的坐标，即一元二次方程ax²+bx+c=0 的两个根 )。

【典例分析】

【考点1  根据简单实际应用求二次函数解析式】

【例1】（2020•萧山区模拟）长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（　　）

A．y＝32﹣4x（0＜x＜6） B．y＝32﹣4x（0≤x≤6） 

C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6） D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6）

【变式1-1】（2021秋•浦东新区期末）在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 　          　．

【变式1-2】（2021秋•海珠区期中）小王想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．则S与x之间的函数关系式是 　         　．（不用写自变量的取值范围）

【变式1-3】（2021秋•硚口区期中）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，设苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为y平方米，则y与x的函数关系式是 　           　．

【考点2  二次函数的概念】

【例2】（2022•福州模拟）下列y关于x的函数中，是二次函数的是（　　）

A．y＝5x2 B．y＝22﹣2x 

C．y＝2x2﹣3x3+1 D．

【变式2-1】（2021秋•舞阳县期末）下列函数中，是二次函数的是（　　）

A． B． C．y＝x2+2x﹣1 D．y＝x﹣2

【变式2-2】（2021秋•上城区期末）下列函数中，是二次函数的是（　　）

A．y＝2x﹣3 B．y＝﹣ 

C．y＝（x﹣5）2﹣x2 D．y＝x（1﹣x）

【变式2-3】（2021秋•龙凤区期末）下列具有二次函数关系的是（　　）

A．正方形的周长y与边长x 

B．速度一定时，路程s与时间t 

C．正方形的面积y与边长x 

D．三角形的高一定时，面积y与底边长x

【例3】（2021秋•天津期末）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　）

A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1

【变式3-1】（2021秋•娄星区期末）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是（　　）

A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0

【变式3-2】（2021秋•宿松县校级期末）若y＝（m﹣1）是二次函数，则m的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2

【变式3-3】（2021秋•莱芜区期中）若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是（　　）

A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3

【考点3 二次函数的判定】

【例4】（2021秋•定南县期中）已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时：

（1）y是x的一次函数？

（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．

【变式4-1】（2021春•西湖区校级月考）已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，

（1）当m为何值时，此函数是一次函数？

（2）当m为何值时，此函数是二次函数？

【变式4-2】（2020•相山区二模）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．

（1）若这个函数是一次函数，求m的值；

（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？

【变式4-3】（2021秋•碑林区校级月考）一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1．

（1）求k值．

（2）求当x＝0.5时y的值？

专题22.1.1 二次函数的概念（知识解读）

【直击考点】

 【学习目标】

4. 理解二次函数的概念；
5. 会根据简单的实际应用列二次函数解析式；
6. 能根据二次函数定义求参数。

【知识点梳理】

考点 1 二次函数的概念 ：

一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数.

其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．

注意：二次函数的判断方法：

①函数关系式是整式；

②化简后自变量的最高次数是2；

③二次项系数不为0．

考点2 二次函数解析式

（1）一般式：y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）

（2）顶点式：y=a(x-h)²+k（a,b,c是常数， a≠0），其中（h，k）为顶点坐标

（3）交点式：y=a(x- x1)(x-x2)(a≠0，x1， x2 是抛物线与x轴两交点的坐标，即一元二次方程ax²+bx+c=0 的两个根 )。

【典例分析】

【考点1  根据简单实际应用求二次函数解析式】

【例1】（2020•萧山区模拟）长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（　　）

A．y＝32﹣4x（0＜x＜6） B．y＝32﹣4x（0≤x≤6） 

C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6） D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6）

【答案】A

【解答】解：∵长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，

∴y与x之间的关系式是：y＝2[（10﹣x）+（6﹣x）]＝32﹣4x （0＜x＜6）．

故选：A．

【变式1-1】（2021秋•浦东新区期末）在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 　          　．

【答案】y＝﹣4x2+8x

【解答】解：∵在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，

∴小正方形的边长为2﹣2x，

根据题意得：y＝22﹣（2﹣2x）2，

整理得：y＝﹣4x2+8x．

故答案为：y＝﹣4x2+8x．

【变式1-2】（2021秋•海珠区期中）小王想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．则S与x之间的函数关系式是 　         　．（不用写自变量的取值范围）

【答案】y＝﹣x2+30x

【解答】解：∵矩形的一边长为x米，

∴另一边长为（30﹣x）米，

则矩形的面积S＝x（30﹣x）＝﹣x2+30x．

故答案为：y＝﹣x2+30x．

【变式1-3】（2021秋•硚口区期中）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，设苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为y平方米，则y与x的函数关系式是 　           　．

【答案】y＝﹣2x2+30x

【解答】解：设苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（30﹣2x）米．

依题意可得：y＝x（30﹣2x），即y＝﹣2x2+30x．

故答案为：y＝﹣2x2+30x．

【考点2  二次函数的概念】

【例2】（2022•福州模拟）下列y关于x的函数中，是二次函数的是（　　）

A．y＝5x2 B．y＝22﹣2x 

C．y＝2x2﹣3x3+1 D．

【答案】A

【解答】解：A、y＝5x2，是二次函数，故A符合题意；

B、y＝22﹣2x，是一次函数，故B不符合题意；

C、y＝2x2﹣3x3+1，不是二次函数，故C不符合题意；

D、y＝，不是二次函数，故D不符合题意；

故选：A．

【变式2-1】（2021秋•舞阳县期末）下列函数中，是二次函数的是（　　）

A． B． C．y＝x2+2x﹣1 D．y＝x﹣2

【答案】C

【解答】解：A．y＝，不是二次函数，故A不符合题意；

B．y＝，不是二次函数，故B不符合题意；

C．y＝x2+2x﹣1，是二次函数，故C符合题意；

D．y＝x﹣2，不是二次函数，故B不符合题意；

故选：C．

【变式2-2】（2021秋•上城区期末）下列函数中，是二次函数的是（　　）

A．y＝2x﹣3 B．y＝﹣ 

C．y＝（x﹣5）2﹣x2 D．y＝x（1﹣x）

【答案】D

【解答】解：A．y＝2x﹣3，不是二次函数，故A不符合题意；

B．y＝﹣，不是二次函数，故B不符合题意；

C．y＝（x﹣5）2﹣x2＝x2﹣10x+25﹣x2＝﹣10x+25，不是二次函数，故C不符合题意；

D．y＝x（1﹣x）＝﹣x2+x，是二次函数，故D符合题意；

故选：D．

【变式2-3】（2021秋•龙凤区期末）下列具有二次函数关系的是（　　）

A．正方形的周长y与边长x 

B．速度一定时，路程s与时间t 

C．正方形的面积y与边长x 

D．三角形的高一定时，面积y与底边长x

【答案】C

【解答】解：A、y＝4x，是一次函数，错误；

B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；

C、y＝x2，是二次函数，正确；

D、y＝hx，h一定，是一次函数，错误．

故选：C．

【例3】（2021秋•天津期末）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　）

A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1

【答案】B

【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，

∴|a+3|＝2且a+1≠0，

解得a＝﹣5，

故选：B．

【变式3-1】（2021秋•娄星区期末）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是（　　）

A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0

【答案】A

【解答】解：由题意得：a﹣2≠0，

解得：a≠2，

故选：A．

【变式3-2】（2021秋•宿松县校级期末）若y＝（m﹣1）是二次函数，则m的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2

【答案】B

【解答】解：∵y＝（m﹣1）是二次函数，

∴m2+1＝2且m﹣1≠0，

解得m＝﹣1或m＝1（舍），

∴m＝﹣1，

故选：B．

【变式3-3】（2021秋•莱芜区期中）若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是（　　）

A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3

【答案】C

【解答】解：由题意得，m2﹣5m+8＝2且m﹣3≠0，

解得m1＝2，m2＝3，且m≠3，

所以，m＝2．

故选：C．

【考点3 二次函数的判定】

【例4】（2021秋•定南县期中）已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时：

（1）y是x的一次函数？

（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．

【答案】（1）m＝ （2）（，﹣8）．

【解答】解：（1）由y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），y是x的一次函数，得

，

解得m＝，

当m＝时，y是x的一次函数；

（2）y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得

，

解得m＝2，m＝﹣2（不符合题意的要舍去），

当m＝2时，y是x的二次函数，

当y＝﹣8时，﹣8＝﹣4x2，

解得x＝，

故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（，﹣8）．

【变式4-1】（2021春•西湖区校级月考）已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，

（1）当m为何值时，此函数是一次函数？

（2）当m为何值时，此函数是二次函数？

【答案】（1）m＝﹣2； （2）m≠﹣2且m≠0．

【解答】解：（1）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，

∴m2+2m＝0，m≠0，

解得：m＝﹣2；

（2））∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，

∴m2+2m≠0，

解得：m≠﹣2且m≠0．

【变式4-2】（2020•相山区二模）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．

（1）若这个函数是一次函数，求m的值；

（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？

【答案】（1）m＝0 （2）m≠0且m≠1

【解答】解：（1）依题意得

∴

∴m＝0；

（2）依题意得m2﹣m≠0，

∴m≠0且m≠1．

【变式4-3】（2021秋•碑林区校级月考）一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1．

（1）求k值．

（2）求当x＝0.5时y的值？

【答案】（1）k＝2 （2）x＝0.5时，y＝

【解答】解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，

解得：k＝2；

（2）把k＝2代入y＝（k﹣1）+2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1，

当x＝0.5时，y＝．