专题22.1.5 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像和性质（知识解读2）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（人教版）

这是一份专题22.1.5 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像和性质（知识解读2）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（人教版），共26页。

专题22.1.5 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像和性质（知识解读2）
【直击考点】

【学习目标】
1.掌握二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
2.掌握二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的最大（小）值的方法

【知识点梳理】
考点1 二次函数图象和性质
a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点

考点2 求y=ax²+bx+c（a≠0）的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．

注意：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．

【典例分析】
【考点1 a、b、c及b²-4ac对图像的影响】
【例1】抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b＋c＝0；④8a﹣2b＋c＞0；⑤若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确的有（　　）

A．②③④ B．①②③ C．②④⑤ D．②③
【变式1-1】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑤b＜c.其中正确的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1-2】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，点A的坐标为（-4，0），抛物线的对称轴为直线x=-1，有以下结论：①该抛物线的最大值为a-b+c；②a+b+c>0；③b2-4ac>0；④2a+b=0，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＞0；④b2+8a＞4ac．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【考点2 对称轴】
【例2】如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A （1，0）， B （4，0），下列说法正确的是（　　）

A．b2−4ac<0 B．a−b+c>0
C．图象的对称轴是直线 x=2 D．图象的对称轴是直线 x=52


【变式2-1】二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是 x=1 ，下列结论正确的是（　　）．

A．abc>0 B．2a+b<0 C．3b−2c<0 D．3a+c<0
【变式2-2】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴是x＝1，下列说法正确的是（　　）

A．a＞0 B．c＜0 C．b2－4ac ＜0 D．2a＋b＝0
【变式2-3】若 A(m,6) 与 B(4−m,6) 在抛物线 y=ax2+bx+c 的图象上，则其对称轴是（　　）
A．x=3 B．x=−3 C．x=2 D．x=2−m
【例3】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①a+b+c＝0；②a﹣2b+c＞0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-1】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(−2，0)，且对称轴为直线x=−12，有下列结论：
①abc<0；②a+b>0；③4a−2b+3c<0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过(−c2a，0)；⑤4am2−4bm+b≤0．其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点3 求二次函数最大（小)值】
【例4】二次函数 y=−x2+2x+1,当−1≤x≤2 时，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值1，有最小值-2 B．有最大值2，有最小值-2
C．有最大值1，有最小值-1 D．有最大值2，有最小值1
【变式4-1】已知二次函数 y=x2−4x+2 ，关于该函数在 −1≤x≤3 的取值范围内，下列说法正确的是（　　）。
A．有最大值-1，有最小值-2 B．有最大值0，有最小值-1
C．有最大值7，有最小值-1 D．有最大值7，有最小值-2
【变式4-2】已知二次函数的图象 (−3≤x≤0) 如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是 (　　)

A．有最大值1，无最小值 B．有最大值1，有最小值0
C．有最大值1，有最小值 −3 D．有最大值0，有最小值 −3


【变式4-3】我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（　　）

A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1
B．当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大
C．当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0
D．当x＝1时，函数的最大值是4
【变式4-4】定义： min{a,b}=a(a≤b)b(a>b) ，若函数 y=min(x+1，−x2+2x+3) ，则该函数的最大值为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
【考点4 二次函数综合】
【例5】已知二次函数 y1=x2+mx+n 的图象经过点 P(−3,1) ，对称轴是经过 (−1,0) 且平行于y轴的直线.

（1）求m，n的值，
（2）如图，一次函数 y2=kx+b 的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，若点B与点 M(−4,a) 关于抛物线对称轴对称，求一次函数的表达式.
（3）根据函数图象直接写出 y1>y2 时，x的取值范围.

【变式5-1】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(−1，0)和点B(0，3)，对称轴为直线x=1.

（1）求该二次函数的解析式；
（2）若0≤x≤4求函数y的取值范围；
（3）点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线y=mx+n经过A、C两点，根据图象直接写出满足ax2+bx+c>mx+n的x的取值范围.





【变式5-2】如图，已知二次函数图象与 x 轴交于 A(a,0),B(b,0) 两点，与 y 轴交于点 C ，对称轴为直线 x=2 .

（1）若 a=1 时，求 b 的值；
（2）若函数图象经过点 D(a+b,3) ，且直线CD//x轴，连接 AC,AD,CD ，求 △ACD 的面积.

专题22.1.5 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像和性质（知识解读2）
【直击考点】

【学习目标】
1.掌握二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
2.掌握二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的最大（小）值的方法

【知识点梳理】
考点1 二次函数图象和性质
a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点

考点2 求y=ax²+bx+c（a≠0）的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．

注意：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．

【典例分析】
【考点1 a、b、c及b²-4ac对图像的影响】
【例1】抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b＋c＝0；④8a﹣2b＋c＞0；⑤若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确的有（　　）

A．②③④ B．①②③ C．②④⑤ D．②③
【答案】A
【解答】解：∵图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣b2a＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵图象与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，①不符合题意．
由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，②符合题意，
由图象可知，抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
当x＝﹣3时，y＝0，
∴9a﹣3b+c＝0，③符合题意，
8a﹣2b＋c中：a＞0、b＝2a＞0；c＜0
由（1,0）在抛物线上，可得a+b+c=0 c=-a-b
所以8a﹣2b＋c=a＞0，④复合题
∵|﹣2﹣（﹣1）|＝1，|﹣0.5﹣（﹣1）|＝0.5，
∵1＞0.5，
∴当x＝﹣2时的函数值大于x＝﹣0.5时的函数值，
∴y1＜y2，⑤不符合题意，
∴正确的有②③④，
故答案为：A．
【变式1-1】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑤b＜c.其中正确的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ b2a ＝1，
∴b＝﹣2a＞0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0），
∴x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的2个交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④正确；
∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，
∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，
即b＜c，所以⑤正确.
故答案为：B.
【变式1-2】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，点A的坐标为（-4，0），抛物线的对称轴为直线x=-1，有以下结论：①该抛物线的最大值为a-b+c；②a+b+c>0；③b2-4ac>0；④2a+b=0，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，开口向下，
∴当x=-1，y有最大值，最大值y=a-b+c，故①正确；
∵点A的坐标为（-4，0），对称轴为直线x=-1，
∴B（2，0），
∴当x=1时，y=a+b+c＞0，故②正确；
∵ 抛物线与x轴有两个交点，
∴ b2-4ac>0，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴-b2a=-1，
∴2a-b=0，故④错误，
∴正确的个数为3个.
故答案为：C
【变式1-3】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＞0；④b2+8a＞4ac．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：如图：

∵x＝-2时，y＜0，
∴4a－2b＋c＜0，所以①符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，
∴-2＜x1+x2＜0
∴﹣1＜x1+x22＜0，
∵对称轴x=−b2a=x1+x22，
∴−1<−b2a<0，
∴2a－b＜0，故②符合题意；
∵−b2a<0，a<0，
∴b<0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc>0，故③符合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），对称轴在-1和0之间，
∴顶点纵坐标大于2，
∴4ac−b24a>2，
∵a＜0，
∴b2＋8a＞4ac，所以④符合题意．
∴正确的选项有4个；
故答案为：D．
【考点2 对称轴】
【例2】如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A （1，0）， B （4，0），下列说法正确的是（　　）

A．b2−4ac<0 B．a−b+c>0
C．图象的对称轴是直线 x=2 D．图象的对称轴是直线 x=52
【答案】D
【解答】解： ∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A （1，0）， B （4，0），
∴b2−4ac ＞ 0， 故 A 不符合题意，
当 x=−1 时， y=a−b+c,
由函数图像可得： (−1，a−b+c) 在第三象限，
所以 a−b+c ＜ 0， 故 B 不符合题意，
∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A （1，0）， B （4，0），
∴ 图象的对称轴是直线 x=1+42=2.5， 故 C 不符合题意， D 符合题意，
故答案为：D
【变式2-1】二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是 x=1 ，下列结论正确的是（　　）．

A．abc>0 B．2a+b<0 C．3b−2c<0 D．3a+c<0
【答案】D
【解答】解：∵−b2a=1>0 ，
∴ab<0 ，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0 ，
∴abc<0 ，
故A不符合题意；
∵−b2a=1 ，
∴2a+b=0 ，
故B不符合题意；
∵x=−1 时，
y=a-b+c<0 ，
∴2a-2b+2c<0 ，
∵−b2a=1 ，
∴2a=−b ，
∴-b-2b+2c<0 ，
∴3b-2c>0 ，
故C不符合题意；
∵x=−1 时，
y=a-b+c<0 ，
∵−b2a=1 ，
∴2a=−b ，
∴3a+c<0 ，
故D符合题意；
故答案为：D．
【变式2-2】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴是x＝1，下列说法正确的是（　　）

A．a＞0 B．c＜0 C．b2－4ac ＜0 D．2a＋b＝0
【答案】D
【解答】解：A、∵抛物线的开口向下，∴a<0，错误；
B、∵抛物线与y轴的交点位于y轴的正半轴，∴c>0，错误；
C、∵抛物线与x轴有两个交点，∴△= b2－4ac >0 ，错误；
D、∵x=-b2a=1，∴ 2a＋b＝0 ，正确.
故答案为：D.

【变式2-3】若 A(m,6) 与 B(4−m,6) 在抛物线 y=ax2+bx+c 的图象上，则其对称轴是（　　）
A．x=3 B．x=−3 C．x=2 D．x=2−m
【答案】C
【解答】解：∵A（m，6）与B（4-m，6）在抛物线 y=ax2+bx+c 的图象上，
∴A（m，6），B（4-m，6）关于对称轴对称，
即对称轴过A（m，6），B（4-m，6）的中点，
x=m+4−m2=42=2 ，
故答案为：C．
【例3】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①a+b+c＝0；②a﹣2b+c＞0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1，0)，
∴当x=1时，a+b+c=0，
故结论①符合题意；
②根据函数图像可知，
当x=−1，y<0，即a−b+c<0，
对称轴为x=−1，即−b2a=−1 ，
根据抛物线开口向上，得a＞0，
∴b=2a＞0，
∴a−b+c−b<0，
即a−2b+c<0，
故结论②不符合题意；
③根据抛物线与x轴的一个交点为(1，0)，
对称轴为x=−1可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为-3和1，
故结论③不符合题意；
④根据函数图像可知：y2 故结论④不符合题意；
⑤当x=m时，y=am2+bm+c=m(am+b)+c，
∴当m=−1时，a−b+c=m(am+b)+c，
∴a−b≤m(am+b)，
故结论⑤不符合题意，
综上：①符合题意，
故答案为：A．
【变式3-1】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(−2，0)，且对称轴为直线x=−12，有下列结论：
①abc<0；②a+b>0；③4a−2b+3c<0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过(−c2a，0)；⑤4am2−4bm+b≤0．其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】①图像开口朝下，故a＜0，根据对称轴x=−12可知b<0，
图像与y轴交点位于x轴上方，可知c>0
∴abc>0
故①不符合题意；
②x=−b2a=−12得a=b
∴a+b<0
故②不符合题意；
③∵y=ax2+bx+c经过(−2，0)
∴4a−2b+c=0
又由①得c>0
∴4a−2b+3c>0
故③不符合题意；
④根据抛物线的对称性，得到x=−2与x=1时的函数值相等
∴当x=1时y=0，即a+b+c=0
∵a=b
∴2a+c=0即−c2a=1
∴y=ax2+bx+c经过(−c2a，0)，即经过(1，0)
故④符合题意；
⑤当x=−12时，y=14a−12b+c， 当x=m时，y=am2+bm+c
∵a<0
∴ 函数有最大值14a−12b+c
∴am2+bm+c≤14a−12b+c
化简得4am2+4bm+b≤0，
故⑤符合题意．
综上所述：④⑤符合题意．
故答案为：B．
【考点3 求二次函数最大（小)值】
【例4】二次函数 y=−x2+2x+1,当−1≤x≤2 时，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值1，有最小值-2 B．有最大值2，有最小值-2
C．有最大值1，有最小值-1 D．有最大值2，有最小值1
【答案】B
【解答】a=-1＜0，抛物线的开口向下，
当x=1时y最大值=2；
当-1≤x＜1时y随x的增大而增大，
∴当x=-1时y最小值=-4+2=-2；
当1＜x≤2时y随x的增大而减小，
∴当x=2时y最小值=-4+2=1；
∵-2＜1，
∴最小值为-2.
故答案为：B.
【变式4-1】已知二次函数 y=x2−4x+2 ，关于该函数在 −1≤x≤3 的取值范围内，下列说法正确的是（　　）。
A．有最大值-1，有最小值-2 B．有最大值0，有最小值-1
C．有最大值7，有最小值-1 D．有最大值7，有最小值-2
【答案】D
【解答】解： y=x2−4x+2 ，
=(x-2)2-2，
∵a=1>0，
∴当x=2时，函数有最小值-2，
当x=-1时，y=7，当x=3时，y=-1，
∴ 当−1≤x≤3 时，函数有有最大值7，有最小值-2 .
故答案为：D.
【变式4-2】已知二次函数的图象 (−3≤x≤0) 如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是 (　　)

A．有最大值1，无最小值 B．有最大值1，有最小值0
C．有最大值1，有最小值 −3 D．有最大值0，有最小值 −3
【答案】C
【解答】解：由函数图象可知，当 x=−1 时， y最大=1 ；当 x=−3 时， y最小=−3 ．
故答案为:C．
【变式4-3】我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（　　）

A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1
B．当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大
C．当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0
D．当x＝1时，函数的最大值是4
【答案】D
【解答】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x＝ −b2a ＝1，故A正确；
令|x2﹣2x﹣3|＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴（﹣1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
又∵对称轴是直线x＝1，
∴当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，故B正确；
由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，故C正确；
由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，
故当x＝1时的函数值4并非最大值，故D错误，
综上，只有D错误.
故答案为：D.
【变式4-4】定义： min{a,b}=a(a≤b)b(a>b) ，若函数 y=min(x+1，−x2+2x+3) ，则该函数的最大值为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】当 x+1≤−x2+2x+3 时，即 x2−x−2≤0 时， y=x+1 ，
令 w=x2−x−2 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当 w≤0 时， −1≤x≤2 ，
∴y=x+1 （ −1≤x≤2 ），
∵y随x的增大而增大，
∴当x=2时， y最大=3 ；
当 x+1>−x2+2x+3 时，即 x2−x−2>0 时， y=−x2+2x+3 ，
令 w=x2−x−2 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当 w>0 时， x>2 或 x<−1 ，
∴y=−x2+2x+3 （ x>2 或 x<−1 ），
∵y=−x2+2x+3 的对称轴为x=1，
∴当 x>2 时，y随x的增大而减小，
∵当x=2时， y=−x2+2x+3 =3，
∴当 x>2 时，y<3；
当 x<−1 ，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时， y=−x2+2x+3 =0；
∴当 x<−1 时，y<0；
综上， y=min(x+1，−x2+2x+3) 的最大值为3.
故答案为：C.
【考点4 二次函数综合】
【例5】已知二次函数 y1=x2+mx+n 的图象经过点 P(−3,1) ，对称轴是经过 (−1,0) 且平行于y轴的直线.

（1）求m，n的值，
（2）如图，一次函数 y2=kx+b 的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，若点B与点 M(−4,a) 关于抛物线对称轴对称，求一次函数的表达式.
（3）根据函数图象直接写出 y1>y2 时，x的取值范围.
【答案】（1）m=2 ;n=−2（2）y=x+4 (3)x<−3 或 x>2
【解答】（1）解：由二次函数经过点 P(−3，1) ，
∴1=9−3m+n ，
∴3m−n=8 ，
又 ∵ 对称轴是经过 (−1，0) 且平行于y轴的直线，
∴ 对称轴为 x=−1 ，
∴−m2=−1 ，
∴m=2 ，
∴n=−2 ；
（2）解： ∵ 一次函数经过点 P(−3，1) ，
∴1=−3k+b ，
∵ 点B与点 M(−4，a) 关于 x=−1 对称，
∴B(2，a) ，
由 (1) 知二次函数的解析式为 y=x2+2x−2 ，
抛物线经过点B，则 a=4+4−2=6 ，
∴B(2，6) ，
∴6=2k+b ，
∴k=1 ， b=4 ，
∴ 一次函数解析式为 y=x+4 ；
（3）x<−3 或 x>2
【解答】解：(3)如图，

由图象可知， x<−3 或 x>2 时， y1>y2 .

【变式5-1】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(−1，0)和点B(0，3)，对称轴为直线x=1.

（1）求该二次函数的解析式；
（2）若0≤x≤4求函数y的取值范围；
（3）点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线y=mx+n经过A、C两点，根据图象直接写出满足ax2+bx+c>mx+n的x的取值范围.
【答案】（1）y=-x2+2x+3 （2）-5≤y≤4； （3）-1 【答案】（1）解：根据题意得
a−b+c=0c=3−b2a=1 ，解得 a=−1b=2c=3 ，
所以二次函数关系式为y=-x2+2x+3；
（2）解：因为y=-（x-1）2+4，
所以抛物线的顶点坐标为（1，4），
当x=0时，y=3；x=4时，y=-5；
而抛物线的顶点坐标为（1，4），且开口向下，
所以当0≤x≤4时，-5≤y≤4；
（3）-1 ∴点C（2，3），
由图象可知，
不等式ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围：-1



【变式5-2】如图，已知二次函数图象与 x 轴交于 A(a,0),B(b,0) 两点，与 y 轴交于点 C ，对称轴为直线 x=2 .

（1）若 a=1 时，求 b 的值；
（2）若函数图象经过点 D(a+b,3) ，且直线CD//x轴，连接 AC,AD,CD ，求 △ACD 的面积.
【答案】（1）b=3 （2）6
【解答】（1）∵对称轴为直线 x=2 ，图象与 x 轴交于 A(a,0),B(b,0) .
∴a+b2=2 ，即 a+b=4 .
∵a=1,∴b=3 .
（2）∵函数图象经过点 D(a+b,3),a+b=4 ，
∴点 D 的坐标为 (4,3) .
又∵对称轴为直线 x=2 ，
∴点 D 的对称点 C(0,3) ，
∴CD=4 .
∴S△ACD=12×CD×OC=12×4×3=6 .