专题22.3 二次函数的实际应用-几何问题（专题训练）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（人教版）

专题22.3  二次函数的实际应用-几何问题

（专项训练）

1．（2021秋•老河口市期末）小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为xm．

（1）设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）设菜园的面积为Sm2，求S与x的函数关系式，并求出当S＝546时x的值；

（3）小明计算出菜园的最大面积是600m2，小明计算的对吗？请说明理由．

2．（2021秋•海珠区校级期末）脱贫攻坚取得重大胜利，是中国在2020年取得的最重要成就之一．家庭养猪是农村精准扶贫的重要措施之一．如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长13m，另外三面用27m长的建筑材料围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括建筑材料）．

（1）所围矩形猪舍的AB边为多少时，猪舍面积为90m2？

（2）所围矩形猪舍的AB边为多少时（AB为整数），猪舍面积最大，最大面积是多少？

3．（2022•巴中模拟）为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m．

（1）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为42m2？

（2）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？

4．（2022•江阴市校级一模）为响应江阴市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xcm，面积为ym2如图所示）．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．

5．（2021秋•洛阳期末）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长22米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．

（1）苗圃ABCD的另一边BC长为 　    　米（用含x的代数式表示）；

（2）若苗圃ABCD的面积为45m，求x的值；

（3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？

6．（2021秋•建湖县期末）为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程—开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线ABC表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝1米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF（细线表示篱笆，小型农场中间GH也是用篱笆隔开），点D可能在线段AB上（如图1），也可能在线段BA的延长线上（如图2），点E在线段BC的延长线上．

（1）当点D在线段AB上时，

①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；

②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12平方米，求DF的长；

（2）DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大？最大面积为多少平方米？

专题22.3  二次函数的实际应用-几何问题

（专项训练）

1．（2021秋•老河口市期末）小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为xm．

（1）设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）设菜园的面积为Sm2，求S与x的函数关系式，并求出当S＝546时x的值；

（3）小明计算出菜园的最大面积是600m2，小明计算的对吗？请说明理由．

【答案】（1） （2） （3）小明计算的不对

【解答】解：（1）根据题意知，y＝＝﹣x+40，

故y与x之间的函数关系式为；

（2）根据题意得，S＝＝，

当S＝576时，＝546，

解这个方程，得x1＝21，x2＝39，

∵x≤24，

∴当S＝546时，x＝21；

（3）小明计算的不对，

理由：∵S＝＝，

∵，

∴当x≤24时，S随x的增大而增大．

∴当x＝24时，S最大，此时S＝576＜600．

∴小明计算的不对．

2．（2021秋•海珠区校级期末）脱贫攻坚取得重大胜利，是中国在2020年取得的最重要成就之一．家庭养猪是农村精准扶贫的重要措施之一．如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长13m，另外三面用27m长的建筑材料围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括建筑材料）．

（1）所围矩形猪舍的AB边为多少时，猪舍面积为90m2？

（2）所围矩形猪舍的AB边为多少时（AB为整数），猪舍面积最大，最大面积是多少？

【答案】（1）AB边为5m时，猪舍面积为90m2；

（2）  AB边为8m时，猪舍面积最大，最大面积是96m2．

【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝27+1﹣2x＝（28﹣2x）m，

由题意得：x（28﹣2x）＝90，

整理得：x2﹣14x+45＝0，

解得：x1＝5，x2＝9，

当x＝5时，28﹣2x＝28﹣10＝18＞13，不合题意舍去，

当x＝9时，28﹣2x＝28﹣18＝10＜13，符合题意，

∴AB＝9m，

∴所围矩形猪舍的AB边为5m时，猪舍面积为90m2；

（2）设AB＝xm，则BC＝（28﹣2x）m，猪舍面积为Sm2，由题意得：

S＝x（28﹣2x）＝﹣2x2+28x＝﹣2（x﹣7）2+98，

∵﹣2＜0，

∴当x＝7时，S有最大值，最大值为98，

此时28﹣2x＝28﹣14＝14＞13，不和题意，

∴当X＝8时，28﹣2x＝28﹣16＝12＜13，

此时，S＝﹣2（8﹣7）2+98＝﹣2+98＝96（m2），

∴所围矩形猪舍的AB边为8m时，猪舍面积最大，最大面积是96m2．

3．（2022•巴中模拟）为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m．

（1）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为42m2？

（2）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？

【答案】（1）当AB长为7m时，绿化带ABCD的面积为42m2

（2）当AB长为6m时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是54 m2

【解答】解：（1）设AB长为xm时，绿化带ABCD的面积为42m2，

x（27﹣3x）＝42，

解得x1＝2，x2＝7，

当x＝2时，27﹣3x＝21＞9，不合题意，舍去；

当x＝7时，27﹣3x＝6，符合题意；

答：当AB长为7m时，绿化带ABCD的面积为42m2；

（2）设绿化带ABCD的面积为Sm2，AB长为am，

S＝a（27﹣3a）＝﹣3a2+27a＝﹣3（a﹣）2+，

∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝，

∵，

解得6≤a＜9，

∴当a＝6时，S取得最大值，此时S＝54，

答：当AB长为6m时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是54 m2．

4．（2022•江阴市校级一模）为响应江阴市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xcm，面积为ym2如图所示）．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣2x2+36x（9≤x＜18） （2）丙种植物最多可以购买214棵

【解答】解：（1）∵AB＝x，

∴BC＝36﹣2x，

∴y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x，

∵0＜36﹣2x≤18，

∴9≤x＜18．

∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+36x（9≤x＜18）；

（2）∵y＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，

∴x＝9时，y有最大值162（m2），

设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，

由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b＝8600，

∴a+7b＝1500，

∴b的最大值为214，此时a＝2．

需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2（m2）＜162m2，

∴丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．

5．（2021秋•洛阳期末）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长22米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．

（1）苗圃ABCD的另一边BC长为 　    　米（用含x的代数式表示）；

（2）若苗圃ABCD的面积为45m，求x的值；

（3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？

【答案】（1）24﹣3x （2）当x为4米时，苗圃ABCD的最大面积为48平方米

【解答】解：（1）∵木栏总长22米，两处各留1米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，

∴BC长为22﹣3x+2＝24﹣3x，

故答案为：24﹣3x；

（2）根据题意得：x•（24﹣3x）＝45，

解得x＝3或x＝5，

∵x＝3时，24﹣3x＝15＞14，

∴x＝3舍去，

∴x的值为5；

（3）设苗圃ABCD的面积为w，

则w＝x•（24﹣3x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，

∵﹣3＜0，

∴x＝4时，w最大为48，

答：当x为4米时，苗圃ABCD的最大面积为48平方米．

6．（2021秋•建湖县期末）为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程—开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线ABC表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝1米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF（细线表示篱笆，小型农场中间GH也是用篱笆隔开），点D可能在线段AB上（如图1），也可能在线段BA的延长线上（如图2），点E在线段BC的延长线上．

（1）当点D在线段AB上时，

①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；

②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12平方米，求DF的长；

（2）DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大？最大面积为多少平方米？

【答案】（1）EF＝（15﹣3x）；DF为4米 （2）DF为3米时，小型农场DBEF的面积最大，最大面积为平方米

【解答】解：（1）①设DF的长为x米，

∵点D在线段AB上，

∴EF＝14﹣2x﹣（x﹣1）＝（15﹣3x）米，

∵AB＝3，

∴EF≤3，即15﹣3x≤3，

∴x≥4；

②设DF的长为x米，根据题意得：

x（15﹣3x）＝12，

解得：x1＝4，x2＝1（此时点D不在线段AB上，舍去），

∴x＝4，

答：小型农场的长DF为4米；

（2）设小型农场DBEF的面积为S，DF的长为x米，

①点D在线段AB上，由（1）知此时x≥4，

则S＝x（15﹣3x）＝﹣3x2+15x＝﹣3（x﹣）2+，

∵a＝﹣3＜0，抛物线对称轴是直线x＝，

∴在对称轴右侧，S随x的增大而减小，

∴x＝4时，S有最大值，S最大值＝﹣3×42+15×4＝12（平方米）；

②点D在线段BA的延长线上，此时x＜4，

则S＝（15﹣3x+3）x＝﹣x2+9x＝﹣（x﹣3）2+，

∵a＝﹣＜0，3＜4，

∴x＝3时，S有最大值，S最大值＝，

∴x＝3时，S最大值＝（平方米）；

∵＞12，

∴小型农场的宽DF为3米时，小型农场DBEF的面积最大，最大面积为平方米．