专题21.4 一元二次方程解法-直接开平方法（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.4 一元二次方程解法-直接开平方法（知识讲解）

【学习目标】

掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；

2．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.

1. 【要点梳理】

 直接开平方法解一元二次方程

（1）       如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=.

（2）       直接开平方法适用于解形如x2 = p或(mx+a)2 = p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）       用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）       直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

　【典型例题】

【知识点一】用直接开平方法解一元二次方程

1．一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据直接开平方法可以解答本题．

解：∵（x+1）2=16，

∴x+1=±4，

∴x+1=4或x+1=-4，

故选：D．

【点拨】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解方程的方法．

举一反三：

【变式1】若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（     ）

A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8

【答案】C

【分析】先直接开平方求得a2+b2﹣3＝±5，然后再整体求出a2+b2即可．

解：∵（a2+b2﹣3）2＝25，

∴a2+b2﹣3＝±5，

∴a2+b2＝3±5，

∴ a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2

∵a2+b2≥0

∴a2+b2＝8．

故选：C．

【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法和代数式求值，掌握运用直接开平方法解一元二次方程和整体思想是解答本题的关键．

【变式2】方程的根是（     ）

A．5和 B．2和 C．8和 D．3和

【答案】C

【分析】利用直接开平方法解方程即可得答案．

解：

(x-3)2=25，

∴x-3=±5，

∴x=8或x=-2，

故选：C．

【点拨】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．

2.已知方程（x2+y2﹣1）2＝16，则x2+y2的值为______．

【答案】5

【分析】根据直接开平方解得，再根据计算即可；

解：∵（x2+y2﹣1）2＝16，

∴，

∴或，

∵，

∴；

故答案是5．

【点拨】本题主要考查了直接开平方法解方程，准确计算是解题的关键．

举一反三：

【变式1】方程的实数解为__________．

【答案】 ；

【分析】通过移项、系数化为1、开平方先求出，舍去负值后进一步开平方即可．

解：移项后可得：

或（舍）

故答案为： ．

【点拨】本题考查了高次方程的求解问题，解题步骤参照解一元二次方程的步骤，将方程逐步转化为(n为偶数，a为常数）的形式，再通过逐步开平方降次即可求解，注意解题过程中不符合条件的值舍去即可．

【变式2】已知，则_________．

【答案】8

【分析】将等号两边同时开平方，解出的值，再根据的非负性进行取舍即可．

解：，

，

=8或－10，

≥0，

=8．              

故答案为：8．

【点拨】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程的步骤，方程若能化为形如的形式，那么可得，需要注意的是两数平方的和的非负性．

3.解下列方程：

（1）(x－1)2＝9；                  （2）．

【答案】（1）x1＝4，x2＝-2；    （2）x = 2

【分析】

（1）根据直接开平方法求解一元二次方程，即可得到答案；

（2）根据立方根的性质求解，即可得到答案．

解：（1）∵(x－1)2＝9

∴x－1＝±3

∴x1＝4，x2＝-2．

（2）移项，得 

∴                                                                                           ∴x = 2．

【点拨】本题考查了一元二次方程、立方根的知识；解题的关键是熟练掌握直接开平方法求解一元二次方程、立方根的性质，从而完成求解．

举一反三：

【变式1】解方程：

【答案】x=1或x= -3

【分析】移项，利用直接开平方法，求解即可．

解：∵，

∴，

∴x+1=2或x+1=-2，

解得x=1或x= -3．

【点拨】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．

【变式2】解方程：．

【答案】，

【分析】方程整理后，用开平方法进行解方程．

解：

整理得：

两边开平方得：

即或

所以，

【点拨】本题考查了解一元二次方程的方法，根据方程的特点选择合适的方法是提高解题效率的关键．

【知识点二】用直接开平方法解一元二次方程的应用

4.给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．若函数，求方程的解．

【答案】，

【分析】根据题中新定义的运算，先求出，代入已知条件，然后求解一元二次方程即可．

解：∵，

∴，

∵

∴

∴

∴，，

∴的解为：，．

【点拨】题目主要考查求一元二次方程的解，理解新运算的计算方法，并结合一元二次方程是解题关键．

举一反三：

【变式1】定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．

如．．．都是一元二次方程．根据平方根的特征，可以将形如的一元二次方程转化为一元一次方程求解．

如：解方程的思路是：由可得．

解决问题：

解方程

解：

，或                 

解方程：

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）将化简即可得到两个根，再分别解一元一次方程求出方程的解即可；

（2）根据例题的解答方法求解即可.

解：（1）

，或-2，

0，

故答案为：-2,0；

（2），

，

或

.

【点拨】此题考查解一元二次方程的方法，运用平方根的特征将一元二次方程直接开方化为一元一次方程，正确理解题目中解方程的方法是解题的关键.

【变式2】如图，用两个边长为5cm的小正方形拼成一个大的正方形．

(1)求大正方形的边长？

(2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2且面积为60cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明理由．

【答案】(1)10cm     (2)能，理由见分析

【分析】

（1）根据已知正方形的边长即可求出大正方形的边长；

（2）先求出长方形的边长，再判断即可．

解：（1）大正方形的边长；

（2）设长方形纸片的长为，宽为，

则，

解得：，

，

所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为．

【点拨】本题考查了算术平方根、勾股定理，解一元二次方程，能根据题意列出算式是解此题的关键．