专题21.11 一元二次方程解法-因式分解法（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.11  一元二次方程解法-因式分解法（知识讲解）

【学习目标】

1. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；

2. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．

【要点梳理】

知识要点一：因式分解法解一元二次方程

1.用因式分解法解一元二次方程的步骤

　　（1）将方程右边化为0；

　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；

　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.

特别说明：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；

（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；

（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；

（4）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。

知识要点二：换元法解一元二次方程

1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.

换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知

识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.

2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,

当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目

的.

【典型例题】

类型一、用因式分解法解一元二次方程

1．用适当的方法解下列方程：

(1)                                (2)

【答案】(1)，  (2)，

【分析】

根据因式分解法解一元二次方程即可．

(1)  解：

解得，

(2) 

解得，

【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．

举一反三：

【变式1】用适当的方法解方程：(1)．    (2)．

【答案】(1)，；  (2)，

【分析】

将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案；

先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案．

(1)  解：，

，

则或，

解得，，

所以，原方程的解为，；

(2) 

，

则，

或，

解得，．

所以，原方程的解为，．

【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．

【变式2】解方程： (1)x2－x－2＝0；                 (2)3x(x－2)＝2－x．

【答案】(1)x1＝2，x2＝－1  (2)x1＝－，x2＝2

【分析】

（1）利用因式分解法解方程；

（2）利用因式分解法解方程；

(1) 解：x2－x－2＝0，

(x－2)(x＋1)＝0，

x－2＝0或x＋1＝0，

x1＝2，x2＝－1．

(3)  3x(x－2)＝2－x，

3x(x－2)＋(x－2)＝0，

(3x＋1)(x－2)＝0，

3x＋1＝0或x－2＝0，

x1＝－，x2＝2．

【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．

类型二、用换元法解一元二次方程

2．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：

已知，求的值．

解：设，则原方程变形为，

即

∴

得t1＝﹣2，t2＝1

∴或

已知，求的值．

【答案】

【分析】先换元，再求出t的值，最后求出答案即可．

解：设

∴

即，

∴，

解得：，（舍去）

∴

即的值为．

【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．

举一反三：

【变式1】解方程：．

【答案】

【分析】设，用完全平方公式将方程化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即为的值，进而求出x的值，将x的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方程的解．

解：设，

则，

原方程化成，

解这个方程，得，，

当y＝1时，=1，即．由，此方程无实根，

当y＝－2时，，即，

解得：，

经检验，x＝－1是原分式方程的解，

∴原方程的解为x＝－1．

【点拨】题目主要考查了换元法解分式方程，关键是利用进行转化，进而设，将原方程转化为一元二次方程．

【变式2】解方程：

【答案】，

【分析】先设：得到解出y的值，再求解x的值并把结果进行检验即可得到答案；

解：设   ，

原方程化为：，

运用十字相乘法得到：，

解得，

当时，解得，

当时，解得，

经检验，和原方程的分母均不为0，

故原方程的解为：或；

【点拨】本题主要考查了用换元法求解一元二次方程，掌握换元法求解一元二次方程的步骤是解题的关键．

类型三、因式分解法解一元二次方程的应用

3．阅读例题，解答问题：

例：解方程．

解：原方程化为．

令，原方程化成

解得，（不合题意，舍去）．

．．

∴原方程的解是，

请模仿上面的方法解方程：．

【答案】，

【分析】

根据题意利用换元法解一元二次方程，然后解绝对值方程即可．

解：原方程化为．

令，原方程化成．

解得，（不合题意，舍去）．

，

．

∴原方程的解是，．

【点拨】本题主要考查了用换元法和因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程，解题的关键在于能够准确根据题意使用换元法解方程．

举一反三：

【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．

（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；

（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；

（3）在线段PE上取点F，使PF=2，过点F作MN⊥PE，截取FM= ，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．

【答案】（1） ，（ ，0）；（2）见解析；（3） ，t2=1.5.

【分析】

（1）由C是OB的中点求出时间，然后确定OP，即可求出点E的坐标；

（2）连接CD，根据平行四边形的性质可得：，，在由线段的数量关系可得：，依据平行四边形的判定定理即可证明；

（3）C的坐标是，P的坐标是，则F的坐标是，E的坐标是，D的坐标是，设CE的解析式是，将点坐标代入即可确定函数解析式，同理可得DE的解析式，然后分两种情况讨论：当M在CE上时，M的坐标是；当N在DE上时，N的坐标是；将M、N两点坐标分别代入求解即可．

（1）解：，

则 ， ，

则，

则E的坐标是；

（2）解：连接CD，如图所示：

∵四边形PCOD是平行四边形，

∴，，

∵，

∴，

即：

∴四边形ADEC是平行四边形；

（3）解：C的坐标是，P的坐标是，则F的坐标是，E的坐标是，D的坐标是．

设CE的解析式是，

则，

解得：，

则CE的解析式是，

同理DE的解析式是，

当M在CE上时，M的坐标是，,

则 ，

解得：；

当N在DE上时，N的坐标是，

则 ，

解得：，

综合可得： ，．

【点拨】题目主要考查平行四边形与动点问题，包括平行四边形的判定和性质，一次函数解析式的确定，一元二次方程的求解等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．

【变式2】某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆成的图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2中盆景数量为4，盆花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12……

按照以上规律，解决下列问题：

(1)图6中盆景数量为________，盆花数量为___________；

(2)已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案中盆景和盆花的数量；

(3)若有n（n为偶数，且）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要盆花的数量为________．（用含n的代数式表示）

【答案】(1)12；42  (2)该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110  (3)

【分析】

（1）由图可知，依次写出图1到图5的盆景的数量，盆花的数量；推导出一般性规律：图中盆景的数量为：；盆花的数量为：，将代入求解即可；

（2）由题意知，，求出满足要求的值，进而可得盆景，盆花的数量；

（3）根据推导出的一般性规律作答即可．

(1) 解：由图可知，盆景的数量依次为：、、、、

盆花的数量依次为：、、、、

∴可推导出一般性规律：图中盆景的数量为：；盆花的数量为：

∴图6中盆景的数量为：；盆花的数量为：

故答案为：12；42．

(2)由题意知，

整理得

解得，（不合题意，舍去）

当时，盆景数量为，盆花数量为

∴该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110．

(3)由一般性规律可知，当有n盆盆景需要展出时，需要盆花的数量为

故答案为：．

【点拨】本题考查了图形类规律探究，列代数式，解一元二次方程．解题的关键在于推导出一般性规律．