专题22.30 二次函数与一元二次方程（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题22.30 二次函数与一元二次方程（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共61页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题22.30 二次函数与一元二次方程（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
类型一：抛物线与坐标轴交点坐标
1．已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣2a﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交负半轴于点C，△ABC的面积为15，则该抛物线的对称轴为（       ）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣ C．直线x＝ D．直线x＝
2．四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为2；丁发现当时，，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（       ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．已知抛物线与抛物线：关于直线对称，则抛物线V与x，y轴的交点为顶点的三角形的面积为（       ）
A．6 B．12 C．21 D．42
类型二：由函数值求自变量的值
4．三个方程的正根分别记为，则下列判断正确的是（       ）
A． B． C． D．
5．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（       ）
A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤12
6．已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如表所示，则方程的根是（   ）

…



…

…



…
A．或 B．或 C．或 D．或
类型三：图象法确定一元二次方程的近似根
7．如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（       ）

A．的解集是
B．的解集是
C．的解集是
D．的解是或
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，已知顶点坐标为（﹣2，﹣9a）．有下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1．其中正确结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．如下表给出了二次函数中，x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解（精确到0.1）为（       ）

……
2
2.1
2.2
2.3
2.4
……

……
－1
－0.39
0.24
0.89
1.56
……
A．2 B．2.1 C．2.2 D．2.3
类型四：图象法解一元二次不等式
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②b=﹣2；③使y≤3成立的x的取值范围是x≤-2或x≥1；④一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜4）的两根之和为﹣2．其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②关于的不等式的解集为；③；④．其中正确结论的个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知二次函数图像上的两点和，若，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
类型五：图象法求自变量或因变量的取值范围
13．下列命题正确的是（       ）
A．若分式方程有增根，则它的增根是
B．两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．已知抛物线，当时，
14．已知二次函数的图象如下图所示，则下列五个结论：①abc＞0；②a＋c＞b；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④3b＞2c；⑤（其中m为实数，且m≠1），其中正确的是（　　）

A．①② B．③④ C．③④⑤ D．①②③④
15．已知抛物线，过，且对称轴是直线，则当时，自变量的取值范围是（       ）
A． B． C． D．或
类型六：根据交点确定不等式的解集
16．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④不等式的解集为，正确的结论个数是(     )

A．1 B．2 C．3 D．4
17．点A（，），B（，）在抛物线上，已知：，存在一个正数m，当时，都有，则m的取值范围是（       ）
A． B． C．或 D．或
18．如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③；④．⑤b＝4a

其中正确的个数有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型七：抛物线与x轴交点问题
19．已知关于的二次函数，下列说法不正确的是（       ）
A．对任意实数，该函数图象与轴都有两个不同的交点
B．对任意实数，该函数图象都经过点
C．对任意实数，当时，函数的值都随的增大而增大
D．对任意实数，该函数图象的顶点在二次函数的图象上运动
20．已知二次函数y=a（x+1）（x-m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜-1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（　　）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则-1＜a＜0；
③若（-2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
④若图象上两点(，y1)，(+n，y2)对一切正数n，总有y1＞y2，则≤m＜2．
A．①② B．①③ C．③④ D．①③④
21．如图，是二次函数的图象，则下列结论正确的个数有（       ）
①；②；③二次函数最小值为；④．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型八：根据二次函数的图象确定相应方程根的情况
22．若三个方程，，的正根分别记为，，，则下列判断正确的是（       ）
A． B． C． D．
23．如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③3b＝2c；④抛物线顶点坐标为，则关于x的方程有实数根．其中正确的个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．如图，抛物线经过点，与y轴交于点，抛物线的对称轴为直线．

关于此题，甲、乙、丙三人的说法如下：
甲：；
乙：方程的解为和3；
丙：．
下列判断正确的是（       ）
A．甲对，乙错 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲、乙、丙都对
类型九：求抛物线与x轴截线长
25．已知二次函数的图像与x轴分别交于A、B两点，图像的顶点为C，若，则a的值为（       ）
A．3 B． C．2 D．
26．已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（       ）
A．2 B． C． D．
27．对于每个非零的自然数，抛物线与轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则的值是（       ）
A． B． C． D．
二、填空题
类型一：抛物线与坐标轴交点坐标
28．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是______．
29．如图是抛物线的部分图象，则方程的两个根是____________．

30．若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，平移后抛物线的顶点坐标为_____．
类型二：由函数值求自变量的值
31．如图，一段抛物线与x轴交于点O，；将向右平移得到第2段抛物线，交x轴于点，；再将向右平移得到第3段抛物线，交x轴于点，；又将向右平移得到第4段抛物线，交x轴于点，；若点在上，则m的值为______．

32．二次函数y=-mx2+x+m（m为常数且m＜0）的图象经过点A（-1，n）．
（1）n=______；
（2）己知平面内有两点P（-3，1），Q（0，1），若该函数图象与线段PQ有交点，则m的取值范围是______．
33．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y＝﹣2x2+mx+m﹣2经过B、C两点，若OA＝2OC，则矩形OABC的周长为 _____．

类型三：图象法确定一元二次方程的近似根
34．如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，正确的有_______（填序号）．

35．已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，那么：方程|x2﹣4|＝m．（m为实数）
①若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ______．
②若该方程恰有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 ______．

36．二次函数的图象如图所示，若方程的一个近似根是，则方程的另一个近似根为__________．（结果精确到0.1）

类型四：图象法解一元二次不等式
37．抛物线的顶点在第四象限，则的取值范围是______．
38．如图，直线与抛物线交于点和点，若，则x的取值范围是______．

39．抛物线y=ax2+bx+c的部分图像如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为______．

类型五：图象法求自变量或因变量的取值范围
40．已知二次函数的图像与一次函数图像中的每一条都至多有一个公共点，则的最大值是__________．
41．已知函数y＝﹣2x2＋8x﹣6，当0≤x≤3时，y的取值范围____．
42．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
……
0
1
2
3
……
y
……
5
2
1
2
……
若A（m，y1），B（m+6，y2）两点都在该函数图象上，当y1＞y2时，m的取值范围是 ___．
类型六：根据交点确定不等式的解集
43．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，当时，x的取值范围是__________．

44．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是_____________．

45．二此函数y＝ax2+bx+c中，x与y的部分对应关系如表：
x
﹣2
﹣1
0
2
y
m
n
2
n
（其中m＜0，n＞0）．下列结论：①a+b+c＝2；②不等式ax2+bx+c＞n的解集是﹣1＜x＜2；③若（t，y1）、（2﹣t，y2）是抛物线上不重合的两个点，则y1＞y2；④关于x的一元二次方程a（x﹣1）2﹣b（x﹣1）＝m﹣2的两个实数根为x1＝﹣2，x2＝3．其中正确的（序号）是 _____．
类型七：抛物线与x轴交点问题
46．已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别是－3和1，若抛物线与x轴有两个交点A，B，点A的坐标是，则点B的坐标是______．
47．函数与轴的交点至少有一个在轴的左侧，则的范围是__________．
48．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数，且）与直线y＝2交于A、B两点．若AB＝2，则m的值为______．

类型八：根据二次函数的图象确定相应方程根的情况
49．已知抛物线与直线的两个不同交点分别为，．若和均为整数，则实数k的值为_________．
50．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且2＜x2＜3，x1+x2＝2，则下列结论：①b2＜4ac；②若（﹣，y1）（，y2）是抛物线上的点，则y1＜y2；③a﹣at2≤bt﹣b（t为任意实数）；④若c＝﹣2，则a＞，其中正确的结论是__________（填写序号）．

51．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，抛物线的顶点为点P，当为直角三角形时，m的值为________．

类型九：求抛物线与x轴截线长
52．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－2x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．若顶点C到x轴的距离为6，则线段AB的长为______．

53．已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为(-3，0)，则线段AB的长为_______________．
54．抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），且，那么的值是______.
三、解答题
55．如图，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，连接AC，过点C作交抛物线于点D．

(1)试确定a，b的数量关系；
(2)当抛物线对称轴在y轴的左侧时，试确定a的取值范围；
(3)若，试求点B的坐标．





56．如图，已知抛物线的顶点坐标为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C，D两点．点P是抛物线上的一个动点．

(1)求此抛物线的表达式．
(2)求C，D两点坐标及△BCD的面积．
(3)若点P在x轴下方的抛物线上．满足，求点P的坐标．





57．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题

(1)写出方程的两个根；
(2)写出不等式的解集





58．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．

(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）















59．设二次函数（a，b是常数，），部分对应值如下表：

…





…

…





…
(1)试判断该函数图象的开口方向；
(2)当时，求函数y的值；
(3)根据你的解题经验，直接写出的解．






60．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点和B．

(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)若D为抛物线上一点，且在点A和点B之间（不包括点A和点B），求点D的纵坐标的取值范围；
(3)已知M是直线上一点，将点M向下平移2个单位长度得到点N，若线段与抛物线只有一个交点，直接写出点M的横坐标的取值范围．



61．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线．
(1)直接写出抛物线与轴的交点坐标；
(2)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；
(3)若抛物线与轴相交于两点，且，求的取值范围．










62．如图， 二次函数的图象与轴分别交于点 （点 在点 的左侧）， 且经过点， 与 轴交于点 ．
（1） 求的值．
（2） 将线段平移， 平移后对应点 和 都落在拋物线上， 求点的坐标．




参考答案
1．A
【分析】
先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，根据a的取值范围求出AB，OC，根据三角形的面积求出a的值，再求出对称轴即可．
解：令y=0，则x2﹣2ax﹣2a﹣1=0，即，
解得，
∴A（-1，0）B（2a+1，0）
令x=0，y=-2a-1，
∴C（0，-2a-1）
∵点C与y轴交于负半轴，
∴-2a-1＜0
∴a＞，
∴AB=2a+1-(-1)=2a+2，
OC=2a+1，
∴，
解得（舍去），
∴，
∴对称轴为，
故选：A．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，三角形的面积，关键是求出抛物线与坐标轴的交点坐标．
2．B
【分析】
假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论(本题选择的甲和丙,利用顶点坐标求出b、c的值，然后利用二次函数图像上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．
解：假设甲和丙的结论是正确的，则，
解得，
抛物线解析式为，
当时，，
乙的结论是错的；
当时，，
丁的结论是正确的；
故选：B．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握知识点，能够利用二次函数的性质求出b、c值是解题的关键．
3．D
【分析】
先求出抛物线M的顶点坐标为（-1，-4），再根据轴对称的性质求出抛物线V的顶点坐标为（5，-4），则抛物线V的解析式为，再求出抛物线V与坐标轴的交点，即可得到答案．
解：∵抛物线M的解析式为，
∴抛物线M的顶点坐标为（-1，-4），
∵抛物线V与抛物线M关于直线x=2对称，
∴抛物线V的顶点坐标为（5，-4），
∴抛物线V的解析式为，
∴抛物线V与x轴的交点坐标为（3，0），（7，0），与y轴的坐标为（0，21），
∴抛物线V与x，y轴的交点为顶点的三角形的面积为，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，正确求出抛物线V的解析式是解题的关键．
4．A
【分析】
分别设： ，，，三个方程的根即为三个二次函数与直线 的交点，画出图像，即可求解．
解：设，，，
将三个函数画在同一个直角坐标系中，如图：

则三个方程的正根 即为：直线 分别与 在第一象限交点的横坐标，
则由图可知： ．
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，二次函数图像画法，熟练掌握二次函数和一元二次方程的关系以及数形结合的方法是解题的关键．
5．D
【分析】
根据对称轴方程可得b=-4，可得二次函数解析式，可得顶点坐标为（2，-4），关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解为二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点的横坐标，当﹣1＜x≤6时，﹣4≤t≤12，进而求解；
解：∵对称轴为直线x＝2，
∴，
∴b＝﹣4，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x，
∴顶点坐标为（2，-4），
∵﹣1＜x≤6，
∴当x=-1时，y=5，当x=6时，y=12，
∴二次函数y的取值范围为﹣4≤t≤12，
∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解为y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点的横坐标，
∴﹣4≤t≤12，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．
6．D
【分析】
根据抛物线的性质和表格提供的信息得到抛物线解析式为，对称轴为，根据抛物线经过点，得到抛物线也经过点，将方程变形为，根据一元二次方程和二次函数的关系即可求出的根．
解：由抛物线经过点（0,3）得c=3，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线经过点（0,3）和（6,3），
∴抛物线对称轴为，
∵抛物线经过点，
∴抛物线也经过点，
方程变形为，
∴方程的根可以理解为二次函数的函数值为1时所对应的的自变量的取值，
所以方程的根为．
故选：D
【点拨】本题考查二次函数的性质、一元二次方程与二次函数的关系，熟知相关知识，并根据题意得抛物线经过点，并能将方程变形为是解题的关键．
7．D
【分析】
根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x4；方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或．据此即可求解．
解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x4；故A、B、C不符合题意；
方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或，故D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
8．C
【分析】
利用顶点式得到，根据抛物线的开口向上得到，则，，于是可对①进行判断；解方程得抛物线与轴的交点坐标为，，利用时，可对②进行判断；把，代入中可对③进行判断；根据抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和，则可对④进行判断．
解：抛物线的顶点坐标为，
，
抛物线的开口向上，
，
，，
，所以①正确；
当时，，解得或，
抛物线与轴的交点坐标为，，
时，，
，所以②正确；
，
而，
，所以③错误；
方程有两个根和，
抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和，
，所以④正确；
综上：正确的个数为3个，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
9．C
【分析】
由表格信息可得：当时， 当时， 再判断点哪个点离轴最近，从而可得答案.
解：由表格信息可得：当时，
当时，
而
所以一元二次方程的一个近似解：
故选C
【点拨】本题考查的是二次函数的图象与轴的交点坐标，一元二次方程的解，熟练的运用数形结合的方法解题是关键.
10．C
【分析】
①只需通过观察图象即可确定最大值；②将点坐标代入解析式，可以根据求出的解析式来判定；③观察图象即可得到取值范围；④可根据二次函数的性质得到结论；
解：将（-3，0）、（1，0）、（0，3）代入解析式可求出二次函数的解析式，
∴y=-x2-2x+3，
①观察图象，可确定顶点坐标为（-1，4），故该结论正确；
②代入三点坐标后解析式为y=-x2-2x+3，b=-2，故该结论正确；
③使y≤3成立的x的取值范围是x≤-2或x≥0，故该结论错误；
④一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜4）的两根之和，可理解成关于二次函数与y=m的解析式的交点，这两个交点的横坐标是关于x=-1对称，即两根之和为-1×2=-2．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的解析式、二次函数的性质和二次函数与一元二次方程根的关系；熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，并熟练运用二次函数的性质是解决本题的关键．
11．B
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①由函数图象可得：对称轴为直线，
∴b=-2a，
∴b+2a=0，①正确；
②由图象及对称轴可得，抛物线与x轴的两个交点关于x轴对称，
∴与x轴的另一个交点为（3,0），
∴的解集为：，②错误；
③当x=2时，y=4a+2b+c，
由②可得当时，y0，④错误；
综上可得：①③正确，
故选B．
【点拨】题目主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，熟练运用是解题关键．
12．D
【分析】
根据二次函数y=－2ax2＋4ax＋c(a>0)，可求得抛物线的对称轴为直线，继而求得(6，y2)关于对称轴的对称点为(－4，y2)，然后根据二次项系数a0)，
∴函数对称轴为：直线，
∴(6，y2)关于对称轴的对称点为(－4，y2)，
∵a>0，
∴－2a y2，
∴－4