（挑战压轴）专题1.7 正方形模型-对角互补模型-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版）

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（挑战压轴）专题1.7 正方形模型-对角互补模型
【方法技巧】
在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB、BC上，若∠EOF为直角，OE、OF分别与DA、AB的延长线交于点G、H，则▲AOE≌BOF，▲AOG≌▲BOH，▲OGH是等腰直角三角形，

【典例分析】
【典例1】（2021秋•泉港区期末）如图，在正方形ABCD中，AC交BD于O，F在AC上，连线DF，过F作FE⊥DF交BD于G，交AB于E．
（1）求证：DF＝EF；
（2）若F为OC中点，求证：FG＝EG．


【变式1-1】（2020•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．
求证：CE＝DF．

【变式1-2】（2021春•宁阳县期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．
（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；
（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．





【典例2】（2022春•沂源县期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：
①△COE≌△DOF；
②CF＝BE；
③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；
④OF2+OE2＝EF2．
其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④

【变式2-1】（2021秋•锦江区期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【变式2-2】（2021•重庆）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．2
【变式2-3】（2014春•巴南区校级期末）如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP＝，Q为CD中点，则下列结论：
①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面积是16；
其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【跟踪训练】
1．（2022春•龙胜县期中）如图，两个边长相等的正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，则两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（　　）

A．不变 B．先增大再减小
C．先减小再增大 D．不断增大
2．（2021春•正阳县期中）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2、…An分别是正方形对角线的交点，则2021个正方形形成的重叠部分的面积和为（　　）

A．cm2 B．505cm2
C．cm2 D．（）2021cm2
3．（2021秋•莲池区期末）如图，点O是正方形ABCD的对称中心，射线OM，ON分别交正方形的边AD，CD于E，F两点，连接EF，已知AD＝2，∠EOF＝90°．
（1）以点E，O，F，D为顶点的图形的面积为 　　；
（2）线段EF的最小值是 　 　．

4．（2021•兰州模拟）如图，在边长为8的正方形ABCD中，对角线ACBD交于点O，点E是边CD上方一点，且∠CED＝90°，若DE＝2，则EO的长为 　 　．

5.（2021•深圳模拟）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM＝ON；
（2）若正方形ABCD的边长为6，OE＝EM，求MN的长．














6．（2010•石家庄二模）在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN＝90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．
（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为　 　；
（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；
（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为　 　；位置关系为　 　．











（挑战压轴）专题1.7 正方形模型-对角互补模型
【方法技巧】
在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB、BC上，若∠EOF为直角，OE、OF分别与DA、AB的延长线交于点G、H，则▲AOE≌BOF，▲AOG≌▲BOH，▲OGH是等腰直角三角形，

【典例分析】
【典例1】（2021秋•泉港区期末）如图，在正方形ABCD中，AC交BD于O，F在AC上，连线DF，过F作FE⊥DF交BD于G，交AB于E．
（1）求证：DF＝EF；
（2）若F为OC中点，求证：FG＝EG．

【答案】（1） 略 （2）略
【解答】证明：（1）如图1，连接BF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝BC，∠DAC＝∠BAC＝45°，AC⊥BD，
在△DAF和△BAF中，
，
∴△DAF≌△BAF（SAS），
∴DF＝BF，∠ADF＝∠ABF，
∵∠DAE＝∠DFE＝90°，
∴∠ADF+∠AEF＝180°，
∵∠AEF+∠BEF＝180°，
∴∠ADF＝∠BEF，
∴∠ABF＝∠BEF，
∴BF＝EF＝DF；
（2）如图2，过点E作EH⊥AC于H，

∴∠EHF＝∠DOF＝90°，
∴∠DFO+∠FDO＝90°＝∠DFO+∠EFH，
∴∠FDO＝∠EFH，
在△DFO和△FEH中，
，
∴△DFO≌△FEH（AAS），
∴DO＝FH，
∵F为OC中点，
∴FO＝CF，
∴OH＝OF，
∵BD∥HE，
∴，
∴FG＝GE．
【变式1-1】（2020•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．
求证：CE＝DF．

【答案】略
【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，
∴∠DOF+∠COF＝90°，
∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，
∴∠COE＝∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
∴CE＝DF．
【变式1-2】（2021春•宁阳县期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．
（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；
（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．

【答案】（1） EF2＝AF2+BF2 （2）EF2＝BF2+AE2
【解答】解：（1）EF2＝AF2+BF2．
理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠EOF＝∠AOB＝90°，
∴∠EOA＝∠FOB，
在△EOA和△FOB中，
，
∴△EOA≌△FOB（ASA），
∴AE＝BF，
在Rt△EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2；
（2）在BC上取一点H，使得BH＝AE．

∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°，
在△OAE和△OBH中，

∴△OAE≌△OBH（SAS），
∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，
∵∠EOF＝45°，
∴∠AOE+∠BOF＝45°，
∴∠BOF+∠BOH＝45°，
∴∠FOE＝∠FOH＝45°，
在△FOE和△FOH中•，
，
∴△FOE≌△FOH（SAS），
∴EF＝FH，
∵∠FBH＝90°，
∴FH2＝BF2+BH2，
∴EF2＝BF2+AE2，
【典例2】（2022春•沂源县期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：
①△COE≌△DOF；
②CF＝BE；
③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；
④OF2+OE2＝EF2．
其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④
【答案】A
【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠DOF，
在△COE和△DOF中，
，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
②∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故③正确；
④在Rt△ECF中，∠EOF＝90°，根据勾股定理，得：
OE2+OF2＝EF2，故④正确；
综上所述，正确的是①②③④，
故选：A．
【变式2-1】（2021秋•锦江区期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，
∴∠A'OB＝∠COC'．
在△OBM与△OCN中，
，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴S1+S2＝S△OAB＝×10×10＝25，
∴S2＝25﹣16＝9，
故选：D．

【变式2-2】（2021•重庆）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．2
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∴AB2＝4，
∴AB＝2，
故选：C．
【变式2-3】（2014春•巴南区校级期末）如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP＝，Q为CD中点，则下列结论：
①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面积是16；
其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A
【解答】解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCQ＝90°，
∵PQ⊥PB，
∴∠BPQ＝90°，
∴∠BPQ+∠BCQ＝180°，
∴B、C、Q、P四点共圆，
∴∠PBC＝∠PQD，∠BPC＝∠BQC，∴①正确；③正确；
过P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，则E、P、F三点共线，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，∠DAC＝∠BAC，∠DAB＝90°，
∴∠MAE＝∠PEA＝∠PMA＝90°，PM＝PE，
∴四边形AMPE是正方形，
∴AM＝PM＝PE＝AE，
∵AP＝，
∴在Rt△AEP中，由勾股定理得：AE2+PE2＝（）2，
解得：AE＝AM＝PE＝PM＝1，
∴DF＝1，
设AB＝BC＝CD＝AD＝a，
则BE＝PF＝a﹣1，
∵∠BEP＝∠PFQ＝∠BPQ＝90°，
∴∠BPE+∠EBP＝90°，∠EPB+∠FPQ＝90°，
∴∠EBP＝∠FPQ，
在△BEP和△PFQ中
，
∴△BEP≌△PFQ（ASA），
∴PE＝FQ＝1，BP＝PQ，∴②正确；
∴DQ＝1+1＝2，
∵Q为CD中点，
∴DC＝2DQ＝4，
∴正方形ABCD的面积是4×4＝16，∴④正确；
故选：A．
【跟踪训练】
1．（2022春•龙胜县期中）如图，两个边长相等的正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，则两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（　　）

A．不变 B．先增大再减小
C．先减小再增大 D．不断增大
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD、四边形PEFG是两个边长相等正方形，
∴∠BOC＝∠EOG＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，
∴∠BOC﹣∠COM＝∠EOG﹣∠COM，
即∠BOM＝∠CON，
∵在△BOM和△CON中
，
∴△BOM≌△CON，
∴两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积是S△COM+S△CNO＝S△COM+S△BOM＝S△BOC＝S正方形ABCD，
即不管怎样移动，阴影部分的面积都等于S正方形ABCD，
故选：A．
2．（2021春•正阳县期中）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2、…An分别是正方形对角线的交点，则2021个正方形形成的重叠部分的面积和为（　　）

A．cm2 B．505cm2
C．cm2 D．（）2021cm2
【答案】B
【解答】解：如图，过正方形ABCD的中心O作OM⊥CD于M，作ON⊥BC于N，
则∠EOM＝∠FON，OM＝ON，且∠EMO＝∠FNO＝90°，
∴△OEM≌△OFN（ASA），
则四边形OECF的面积就等于正方形OMCN的面积，
则OMCN的面积是1，
∴阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
∴则2021个正方形重叠形成的重叠部分的面积和＝2020×＝505（cm2）．
故选：B．

3．（2021秋•莲池区期末）如图，点O是正方形ABCD的对称中心，射线OM，ON分别交正方形的边AD，CD于E，F两点，连接EF，已知AD＝2，∠EOF＝90°．
（1）以点E，O，F，D为顶点的图形的面积为 　　；
（2）线段EF的最小值是 　 　．

【答案】(1) 1 (2)
【解答】解：（1）连接AO，DO，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD+∠FOD＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，O是中心，
∴∠AOD＝90°，
∴∠EOD+∠AOE＝90°，
∴∠FOD＝∠AOE，
∵AO＝DO，∠DAO＝∠ADO＝45°，
∴△AEO≌△DFO（ASA），
∴S四边形EOFD＝S△ADO，
∵AD＝2，
∴S△ADO＝×4＝1，
∴S四边形EOFD＝1，
故答案为：1；
（2）设AE＝x，则ED＝2﹣x，
在Rt△EDF中，EF2＝x2+（2﹣x）2＝2x2﹣4x+4＝2（x﹣1）2+2，
∴当x＝1时，EF有最小值，
故答案为：．

4．（2021•兰州模拟）如图，在边长为8的正方形ABCD中，对角线ACBD交于点O，点E是边CD上方一点，且∠CED＝90°，若DE＝2，则EO的长为 　 　．

【答案】
【解答】解：如图所示，过O作OF⊥EO，交EC的延长线于F，
Rt△EOF中，∠CEO+∠F＝90°，
∵∠CED＝90°，
∴∠CEO+∠OED＝90°，
∴∠OED＝∠F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠COD＝∠DOE+∠COE＝90°，DO＝CO，
又∵∠COF+∠COE＝90°，
∴∠DOE＝∠COF，
在△DOE和△COF中，
，
∴△DOE≌△COF（AAS），
∴EO＝FO，DE＝CF＝2，
又∵∠EOF＝90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴Rt△CDE中，CE＝＝＝2，
∴EF＝+2，
∴OE＝cos45°EF＝（+2）＝+，
故答案为：+．

5.（2021•深圳模拟）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM＝ON；
（2）若正方形ABCD的边长为6，OE＝EM，求MN的长．

【答案】（1）略 （2）MN＝OM＝3
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，
∴∠OAM＝∠OBN＝135°，
∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
∴△OAM≌△OBN（ASA），
∴OM＝ON；
（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，

∵正方形的边长为6，
∴OH＝HA＝3，
∵E为OM的中点，
∴HM＝6，
则OM＝＝3，
∴MN＝OM＝3．
6．（2010•石家庄二模）在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN＝90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．
（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为　 　；
（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；
（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为　 　；位置关系为　 　．

【答案】（1） OE＝OF （2） OE＝OF，OE⊥OF； （3）相等，垂直
【解答】（1）解：由题意得：
∠BAC＝∠BCA＝45°，AO＝PA，
∠AEO＝∠AFO，
在△AEO和△CFO中
，
∴△AEO≌△CFO（AAS）
∴OE＝OF（相等）；（1分）

（2）解：OE＝OF，OE⊥OF；（3分）
证明：连接BO，
∵在正方形ABCD中，O为AC中点，
∴BO＝CO，BO⊥AC，∠BCA＝∠ABO＝45°，（4分）
∵PF⊥BC，∠BCO＝45°，
∴∠FPC＝45°，PF＝FC．
∵正方形ABCD，∠ABC＝90°，
∵PF⊥BC，PE⊥AB，
∴∠PEB＝∠PFB＝90°．
∴四边形PEBF是矩形，
∴BE＝PF．（5分）
∴BE＝FC．
∴△OBE≌△OCF，
∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，（7分）
∵∠COF+∠BOF＝90°，
∴∠BOE+∠BOF＝90°，
∴∠EOF＝90°．
∴OE⊥OF．（8分）

（3）OE＝OF（相等），OE⊥OF（垂直）．（10分）
理由：连接BO，
∵在正方形ABCD中，O为AC中点，
∴BO＝CO，BO⊥AC，∠BCA＝∠ABO＝45°，
∴∠OCF＝∠OBE
∵PF⊥BC，∠BCO＝45°，
∴∠FPC＝45°，PF＝FC．
∵正方形ABCD，∠ABC＝90°，
∵PF⊥BC，PE⊥AB，
∴∠PEB＝∠PFB＝90°．
∴四边形PEBF是矩形，
∴BE＝PF．
∴BE＝FC．
∴△OBE≌△OCF，
∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，
∵∠COF+∠BOF＝90°，
∴∠BOE+∠BOF＝90°，
∴∠EOF＝90°．
∴OE⊥OF．