（挑战压轴）专题1.6 正方形模型-十字架模型-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版）

这是一份（挑战压轴）专题1.6 正方形模型-十字架模型-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版），共42页。
（挑战压轴）专题1.6 正方形模型-十字架模型
【方法技巧】
分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段EF与MN，图3中的线段BE与AF）满足：若垂直，则相等。


【典例分析】
【典例1】（2021•大埔县模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，连接BE，AF．求证：BE＝AF．


【变式1-1】（2022•荔湾区一模）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AF⊥BE于G，连接BE，AF．求证：BE＝AF．




【变式1-2】（2022春•潮南区期中）已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF，且AE＝BF．
求证：矩形ABCD是正方形．



【变式1-3】（2022春•海淀区校级期中）在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点，
过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N．
（1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明；
（2）连接BD交MN于点F．
①根据题意补全图形；
②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论 　 　．







【典例2】（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为（　　）

A．80° B．75° C．70° D．65°
【变式2-1】（2022•灞桥区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（　　）

A．1 B．2 C． D．2
【变式2-2】（2022•遵义模拟）如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝20°，则∠AEF的度数（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
【变式2-3】（2022•道里区校级开学）如图，点E在正方形ABCD的边BC上，2BE＝3CE，过点D作AE的垂线交AB于F，点G为垂足，若FG＝3，则EG的长为 　 　．

【典例3】（2022春•新会区校级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BM＝CN＝5，CM、DN交于点O．则下列结论：①DN⊥MC；②DN垂直平分MC；③S△ODC＝S四边形BMON；④OC＝中，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-1】（2021•罗湖区校级模拟）如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF；⑤∠BAE＝∠AFB
其中，正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式3-2】（2018春•巫山县期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个


【变式3-3】（2021莒南县期中）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④∠CEA＝∠DFB；⑤S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【典例3】（2020秋•漳州期中）（1）如图1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AE⊥DF．则AE和DF的数量关系为 　 　．
（2）如图2，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边AD，BC，CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．
（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度．









【变式3-1】（2020春•利州区期末）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF．
（1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．




【变式3-2】（2021•永嘉县校级模拟）如图，正方形ABCD边长为8，E，F分别是BC，CD上的点，且AE⊥BF．
（1）求证：AE＝BF．
（2）若AF＝10，求AE的长．








【变式3-3】（2022春•孝南区期中）如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E．
（1）求证：AP⊥BQ；
（2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度．














【跟踪训练】
1．（2013春•崇川区校级月考）如图，在正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上，若MN⊥EF，MN＝10cm，则EF＝　　cm．

2．（2022•榆林模拟）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2022•沙坪坝区校级一模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在DC，BC上，BF＝CE＝4，连接AE、DF，AE与DF相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，则HG的长为（　　）

A． B． C．5 D．2
4．（2022•南岗区校级一模）如图，四边形ABCD为正方形，点E、点G分别为BC、AB边上的点，CE＝BG＝BE，连接DE、CG交于点F，若GF＝3，四边形ABCD的面积为 　 　．

5．（2022•柳南区二模）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，以下三个结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③S△AEF为定值．其中正确的结论有 　 　．（填入正确的序号即可）．

6．（2022•内黄县模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是CD，BC边上的动点，且CE+CF＝4，BE和AF相交于点G，在点E、F运动的过程中，当△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍时，△BCG的面积为 　 　．

7．（2015秋•永新县期末）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点．且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF，②AE⊥BF，③AO＝OE，④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有 　 　．（只填序号）






8．（2022•咸丰县模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G，求证：AB＝FB．（提示：延长DE交AB的延长线于H）






9．（2022•新城区校级一模）如图，四边形ABCD是一个正方形，E、F分别在AD、DC边上，且DE＝CF．AF、BE交于O点．求证：AF＝BE．











10．（2022春•福州期中）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AF，DE．求证：AF＝DE．




11.（2022•越秀区校级一模）如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ⊥AP．

12．（2021春•前郭县期中）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的点，连接CE，过点D作DF⊥CE，分别交BC，CE于点F、G．
（1）求证：CE＝DF；
（2）若AB＝3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△DCG的面积为
　 　，CG+DG的长为 　 　．



（挑战压轴）专题1.6 正方形模型-十字架模型
【方法技巧】
分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段EF与MN，图3中的线段BE与AF）满足：若垂直，则相等。


【典例分析】
【典例1】（2021•大埔县模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，连接BE，AF．求证：BE＝AF．

【解答】证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE＝AF．
【变式1-1】（2022•荔湾区一模）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AF⊥BE于G，连接BE，AF．求证：BE＝AF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝DA，
∴∠DAF+∠BAF＝90°，
又∵AF⊥BE，
∴∠ABG+∠BAF＝90°，
∴∠ABG＝∠DAF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴BE＝AF．
【变式1-2】（2022春•潮南区期中）已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF，且AE＝BF．
求证：矩形ABCD是正方形．

【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠DAE+∠AFB＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
【变式1-3】（2022春•海淀区校级期中）在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点，
过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N．
（1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明；
（2）连接BD交MN于点F．
①根据题意补全图形；
②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论 　EF＝EM+FN　．

【解答】解：（1）MN＝AP．
证明：过点M作MG⊥CD于点G，则四边形AMGD是矩形，

∴MG＝AD，∠MGN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP＝90°，AB＝BC＝AD，
∴MG＝AB，∠ABP＝∠MGN，
又∵MN⊥AP，
∴∠AEM＝90°，
∴∠AME+∠BAP＝90°，
又∵∠NMG+∠AME＝90°，
∴∠NMG＝∠BAP，
∴△ABP≌△MGN（ASA），
∴AP＝MN；

（2）①补全图形如图2，

②如图3，过点P作PH∥AB交MN于点H，交BD于点K，过点M作MG⊥CD于点G，

∵AM∥PH，
∴∠MAE＝∠EPH，
∵E为AP的中点，
∴AE＝EP，
又∵∠AEM＝∠PEH，
∴△AME≌△PHE（ASA），
∴ME＝EH，AM＝PH，
∵四边形AMGD是矩形，
∴AM＝DG，
∴DG＝PH，
∵∠CBD＝45°，∠BPK＝90°，
∴∠BPK＝∠BKP＝45°，
∴BP＝PK，
由（1）知△ABP≌△MGN，
∴BP＝NG，
∴PK＝NG，
∴HK＝DN，
又∵NK∥DN，
∴∠HKF＝∠NDF，
∴△HKF≌△NDF（AAS），
∴HF＝NF，
∴EF＝EH+HF＝EM+FN．
故答案为：EF＝EM+FN．
【典例2】（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为（　　）

A．80° B．75° C．70° D．65°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABF＝∠CBF＝ABC＝45°，
在△ABF和△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS）；
∴∠AFB＝∠CFB，
又∵∠AFC＝140°，
∴∠CFB＝70°，
∵∠DFC+∠CFB＝180°，
∴∠DFC＝180°﹣∠CFB＝110°，
∵∠DEF+∠EDF＝∠DFC，
∴∠DEC＝∠DFC﹣∠EDF＝110°﹣45°＝65°，
故选：D．
【变式2-1】（2022•灞桥区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（　　）

A．1 B．2 C． D．2
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，
在△ABE与△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∴∠ABE+∠BAO＝∠DAF+∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∵△ABE≌△DAF，
∴S△ABE＝S△DAF，
∴S△ABE﹣S△AOE＝S△DAF﹣S△AOE，
即S△ABO＝S四边形OEDF＝1，
∵OA＝1，
∴BO＝2，
∴AB＝＝＝，
故选：C．
【变式2-2】（2022•遵义模拟）如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝20°，则∠AEF的度数（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，BC＝BA，∠ABE＝∠CBE＝45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）．
∴∠BAE＝∠BCE＝20°，
∵∠ABC＝90°，∠BCF＝20°，
∴∠BFC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCF，
＝180°﹣90°﹣20°
＝70°，
∵∠BFC＝∠BAE+∠AEF，
∴∠AEF＝∠BFC﹣∠BAE＝70°﹣20°＝50°，
故选：D．
【变式2-3】（2022•道里区校级开学）如图，点E在正方形ABCD的边BC上，2BE＝3CE，过点D作AE的垂线交AB于F，点G为垂足，若FG＝3，则EG的长为 　 　．

【答案】
【解答】解：∵AE⊥DF，四边形ABCD是正方形，
∴∠DAF＝∠ABE＝90°，AD＝AB，
∴∠GAF+∠AEB＝90°，∠GAF+∠GFA＝90°，
∴∠GFA＝∠AEB，
∴△DAF≌△ABE（AAS），
∴AF＝BE，AE＝DF，∠ADF＝∠BAE，
∵2BE＝3CE，
即BE：CE＝3：2，
∴AF：FB＝3：2，
设AF＝BE＝3x，则BF＝CE＝2x，则AB＝5x，
∴tan∠BAE＝，
∴AG＝，
∵∠BAE＝∠ADF，
∴DG＝AG÷tan∠ADF＝5×，
∴AE＝DF＝DG+FG＝+3＝，
∴GE＝AE﹣AG＝，
故答案为：．
【典例3】（2022春•新会区校级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BM＝CN＝5，CM、DN交于点O．则下列结论：①DN⊥MC；②DN垂直平分MC；③S△ODC＝S四边形BMON；④OC＝中，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在△BMC和△CND中，
，
∴△BMC≌△CND（SAS），
∴∠MCB＝∠NDC．
又∠MCN+∠MCD＝90°，
∴∠MCD+∠NDC＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴DN⊥MC，故①正确；
在Rt△CDN中，∵CD＝12，CN＝5，
∴DN＝＝13．
又∵∠BCD＝90°，∠COD＝90°，
∴NC•CD＝ND•OC，
∴OC＝，OM＝13﹣＝，
∴OC≠OM，故②错误④正确；
∵△BMC≌△CND，
∴S△BMC＝S△CND，
S△BMC﹣S△CNO＝S△CND﹣S△CNC，即S四边形BMON＝S△ODC，故③正确．
综上，正确的结论是①③④．
故选：C．
【变式3-1】（2021•罗湖区校级模拟）如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF；⑤∠BAE＝∠AFB
其中，正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE＝BF，故①正确；∠ABF＝∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABF+∠BAO＝90°，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO＝OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB＝S四边形DEOF，故④正确；
∵AE⊥BF，
∴∠AOB＝90°．
∴∠OAB+∠ABO＝90°．
又∵∠AFB+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠AFO，故⑤正确．
故选：C．
【变式3-2】（2018春•巫山县期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，
即AF＝DE，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE＝BF，故①正确；
∠ABF＝∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABF+∠BAO＝90°，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO＝OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB＝S四边形DEOF，故④正确；
综上所述，错误的有③．
故选：B．
【变式3-3】（2021莒南县期中）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④∠CEA＝∠DFB；⑤S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，
而CE＝DF，
∴AF＝DE，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE＝BF，故①正确；
∴∠ABF＝∠EAD，∠AFB＝∠DEA，
∴∠CEA＝∠DFB，故④正确；
而∠EAD+∠EAB＝90°，
∴∠ABF+∠EAB＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
连接BE，如图所示：
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，故③错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
∴S△AOB＝S四边形DEOF，故⑤正确．
综上所述，正确的结论有4个．
故选：A．


【典例3】（2020秋•漳州期中）（1）如图1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AE⊥DF．则AE和DF的数量关系为 　 　．
（2）如图2，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边AD，BC，CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．
（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度．

【解答】解：（1）∵∠DAO+∠BAE＝90°，∠DAO+∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE＝DF，
故答案为：AE＝DF；

（2）如图1，过点E作EM⊥BC于点M，则四边形ABME为矩形，

则AB＝EM，
在正方形ABCD中，AB＝BC，
∴EM＝BC，
∵EM⊥BC，
∴∠MEF+∠EFM＝90°，
∵BC⊥EM，
∴∠CBG+∠EFM＝90°，
∴∠CBG＝∠MEF，
在△BCG和△EMF中，
，
∴△BCG≌△EMF（ASA），
∴EF＝BG；

（3）如图2，连接MN，
∵M、N关于EF对称，
∴MN⊥EF，过点E作EH⊥BC于点H，

过点M作MG⊥CD于点G，则EH⊥MG，
由（2）同理可得：△EHF≌△MGN（ASA），
∴NG＝HF，
∵AE＝2，BF＝4，
∴NG＝HF＝4﹣2＝2，
又∵GC＝MB＝1，
∴NC＝NG+CG＝2+1＝3．
【变式3-1】（2020春•利州区期末）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF．
（1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．

【解答】解：（1）AF＝DE．
∵ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵AE＝BF，
∴△DAE≌△ABF，
∴AF＝DE．

（2）四边形HIJK是正方形．
如下图，H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，
∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，
∵AF＝DE，
∴HI＝KJ＝HK＝IJ，
∴四边形HIJK是菱形，
∵△DAE≌△ABF，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠AOE＝90°
∴∠KHI＝90°，
∴四边形HIJK是正方形．

【变式3-2】（2021•永嘉县校级模拟）如图，正方形ABCD边长为8，E，F分别是BC，CD上的点，且AE⊥BF．
（1）求证：AE＝BF．
（2）若AF＝10，求AE的长．

【答案】（1）略 （2）2．
【解答】证明；（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°＝∠C，AB＝BC，
∴∠ABF+∠CBF＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）∵AF＝10，AD＝8，
∴DF＝＝＝6，
∴CF＝8﹣6＝2，
∴BF＝＝＝2，
∴AE＝2．
【变式3-3】（2022春•孝南区期中）如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E．
（1）求证：AP⊥BQ；
（2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度．


【答案】（1）略（2）DE＝AD （3）QM＝
【解答】解：（1）在正方形ABCD中有：AB＝BC，∠ABP＝∠BCQ＝90°，
∵BP＝CQ，
∴△ABP≌△BCQ（SAS），
∴∠PAB＝∠QBC，
∵∠QBC+∠ABQ＝90°，
∴∠PAB+∠ABQ＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AP⊥BQ；
（2）AD＝DE，理由如下：
如图，延长BQ、AD交于一点F，

当点P为BC中点时，Q为CD中点，即CQ＝DQ，
∵∠FQD＝∠BQC，∠FDQ＝∠C，
∴△FDQ≌△BCQ（ASA），
∴FD＝BC，
∴FD＝AD，
由（1）得：∠FEA＝90°，
∴DE＝FA＝AD；
（3）由（1）得：AP⊥BQ，
∴∠ANE+∠NAE＝90°，
∵∠NAE+∠AEH＝90°，
∴∠ANE＝∠AEH，
设∠ANE＝∠AEH＝α，
∵DE＝DA，
∴∠DAE＝∠AEH＝α，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠DAE＝α，
∵△PAB≌△QBC，
∴∠CQB＝∠APB＝α，
∵∠QNM＝∠ANE＝α，
∴∠CQB＝∠QNM，
∴QM＝MN，
∵CD∥AB，
∴∠ABQ＝∠CQB＝α，
∴∠ABQ＝∠ANE，
∴AN＝AB＝2，
设QM＝MN＝x，则DM＝DQ+QM＝1+x，AM＝AN+MN＝2+x，
∵AD2+DM2＝AM2，
∴22+（x+1）2＝（x+2）2，
解得：x＝，
∴QM＝．
【跟踪训练】
1．（2013春•崇川区校级月考）如图，在正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上，若MN⊥EF，MN＝10cm，则EF＝　　cm．

【答案】10
【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC于G，过点M作MH⊥CD于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴EG＝MH，EG⊥MH，
∴∠2+∠3＝90°，
∵EF⊥MN，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵在△EFG和△MNH中，
，
∴△EFG≌△MNH（ASA），
∴EF＝MN，
∵MN＝10cm，
∴EF＝10cm．
故答案为：10．

2．（2022•榆林模拟）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解答】解：∵正方形ABCD的周长为8，
∴BC＝2，
又∵O是正方形对角线的交点，
∴O是BD的中点，
∵H是CD边的中点，
∴OH是△DBC的中位线，
∴OH＝BC＝1．
故选：D
3．（2022•沙坪坝区校级一模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在DC，BC上，BF＝CE＝4，连接AE、DF，AE与DF相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，则HG的长为（　　）

A． B． C．5 D．2
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADE＝∠C＝90°，AD＝DC＝BC，
∵BF＝CE，
∴CF＝DE，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠CDF+∠DEA＝90°，
∴∠AGF＝∠DGE＝90°，
∵点H为AF的中点，
∴GH＝AF，
∵AB＝6，BF＝4，
∴AF＝，
∴GH＝，
故选：B．
4．（2022•南岗区校级一模）如图，四边形ABCD为正方形，点E、点G分别为BC、AB边上的点，CE＝BG＝BE，连接DE、CG交于点F，若GF＝3，四边形ABCD的面积为 　 　．

【答案】20
【解答】解：连接GE，如图所示：

在正方形ABCD中，BC＝CD，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，
又∵BG＝CE，
∴△GBC≌△ECD（SAS），
∴∠GCB＝∠EDC，
∵∠GCB+∠FCD＝90°，
∴∠EDC+∠FCD＝90°，
∴∠DFC＝90°，
∴GC⊥DE，
设CE＝BG＝BE＝x，
则BC＝2x，
∴正方形ABCD的边长为2x，
∴AG＝2x﹣x＝x，
在△DCE中，根据勾股定理，得DE＝x，
∵S正方形ABCD＝S△AGD+S△BGE+S△DEC+S△GED，
又∵GF＝3，
∴，
解得x＝，
∴正方形ABCD的边长为2，
∴正方形ABCD的面积为2×2＝20，
故答案为：20．
5．（2022•柳南区二模）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，以下三个结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③S△AEF为定值．其中正确的结论有 　 　．（填入正确的序号即可）．

【答案】①②
【解答】解：取AF的中点T，连接PT，BT．
∵AP⊥PF，四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝∠APF＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵AT＝TF，
∴BT＝AT＝TF＝PT，
∴A，B，F，P四点共圆，
∴∠PAF＝∠PBF＝45°，
∴∠PAF＝∠PFA＝45°，
∴PA＝PF，故①正确，
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，
∵∠ADE＝∠ABM＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠ABM＝180°，
∴C，B，M共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAF＝∠FAB+∠BAM＝∠FAB+∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠FAM，
在△FAM和△FAE中，
，
∴△FAM≌△FAE（SAS），
∴FM＝EF，
∵FM＝BF+BM＝BF+DE，
∴EF＝DE+BF，故②正确，
∵△AEF≌△AMF，
∴S△AEF＝S△AMF＝FM•AB，
∵FM的长度是变化的，
∴△AEF的面积不是定值，故③错误，
故答案为：①②．

6．（2022•内黄县模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是CD，BC边上的动点，且CE+CF＝4，BE和AF相交于点G，在点E、F运动的过程中，当△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍时，△BCG的面积为 　 　．

【答案】4或2
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴CF+BF＝4．
∵CE+CF＝4，
∴CE＝BF．
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（SAS）．
∴∠AFB＝∠BEC．
∵AB∥CD，
∴∠ABG＝∠BEC．
∴∠ABG＝∠AFB．
∵∠ABG+∠FBG＝90°，
∴∠AFB+∠FBG＝90°．
∴BG⊥AF．
∴∠AGB＝90°．
∵△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍，
∴∠ABG＝45°或60°．
∴∠GBF＝45°或30°．
过点G作GH⊥BC于点H，如图，

当∠GBF＝45°时，点F与点C重合，
∴GH＝，
∴△BCG的面积＝×BC×GH＝4．
当∠GBF＝30°时，
∵BG＝AB＝2，
∴GH＝BG＝1．
∴△BCG的面积＝×BC×GH＝2．
综上，△BCG的面积为4或2．
故答案为：4或2．
7．（2015秋•永新县期末）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点．且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF，②AE⊥BF，③AO＝OE，④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有 　 　．（只填序号）

【答案】③
【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，
即AF＝DE，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE＝BF，故①正确；
∠ABF＝∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABF+∠BAO＝90°，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO＝OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB＝S四边形DEOF，故④正确；
综上所述，错误的有③．
故答案为：③．
8．（2022•咸丰县模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G，求证：AB＝FB．（提示：延长DE交AB的延长线于H）

【解答】证明：延长DE交AB的延长线于H，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△DCE和△HBE中，
，
∴△DCE≌△HBE（ASA），
∴BH＝DC＝AB，
即B是AH的中点，
又∵∠AFH＝90°，
∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．

9．（2022•新城区校级一模）如图，四边形ABCD是一个正方形，E、F分别在AD、DC边上，且DE＝CF．AF、BE交于O点．求证：AF＝BE．

【答案】
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵DE＝CF，
∴AD﹣DE＝CD﹣CF，
∴AE＝DF，
∴△ADF≌△BAE（SAS），
∴AF＝BE．
10．（2022春•福州期中）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AF，DE．求证：AF＝DE．

【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∵E，F分别是BC，CD的中点，
∴DF＝CF＝EC＝BE，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴AF＝DE．
11.（2022•越秀区校级一模）如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ⊥AP．

【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵DQ＝CP，
∴AD﹣DQ＝CD﹣CP，
∴AQ＝DP，
∴△ABQ≌△DAP（SAS），
∴∠DAP＝∠ABQ，
∵∠DAP+∠BAP＝90°，
∴∠ABQ+BAP＝90°，
∴BQ⊥AP．
12．（2021春•前郭县期中）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的点，连接CE，过点D作DF⊥CE，分别交BC，CE于点F、G．
（1）求证：CE＝DF；
（2）若AB＝3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△DCG的面积为
　 　，CG+DG的长为 　 　．

【解答】解：（1）在正方形ABCD中，CD＝BC，∠DCF＝∠CBE＝90°，
∵DF⊥CE，
∴∠DFC+∠BCE＝90°，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴∠BEC＝∠CFD，
∴△DCF≌△CBE（AAS），
∴CE＝DF；
（2）∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9＝6
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
∵△BCE≌△CDF，
∴△DCG的面积与四边形BEGF的面积相等，均为×3＝，
设DG＝a，CG＝b，则ab＝，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝，即DG+CG＝，
故答案为：；．