专题1.2 矩形的性质与判定（专项训练）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版）

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专题1.2 矩形的性质与判定（专项训练）

1．（2022春•长沙期中）菱形、矩形同时具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
2．（2022•西工区模拟）矩形的对角线一定具有的性质是（　　）
A．互相垂直 B．互相垂直且相等
C．相等 D．互相垂直平分
3．（2022•滨海新区一模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长等于（　　）

A．6 B．8 C． D．
4.（2022春•房山区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝3，∠AOB＝60°，则AD的长为（　　）

A．6 B．3 C．3 D．3
5．（2022春•石家庄期中）如图，矩形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则矩形AB的长是（　　）cm．

A．12 B．4 C．8 D．4
6．（2022春•建湖县期中）下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（　　）
A．对角线相等 B．对角线垂直 C．邻边相等 D．邻角互补
7．（2021秋•宁德期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（　　）

A．12 B．6 C．4 D．3
8．（2022春•广丰区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若∠AOD＝110°，求∠CDE的度数．

9．（2022春•朝阳区期中）在矩形ABCD中，E在BC的延长线上，连接DE，过点B作BF∥DE交DA的延长线于点F．
（1）求证：BF＝DE；
（2）连接AE，若AF＝1，AB＝2，AD＝，求证：AE平分∠DEB．






10.（2021秋•丹东期末）四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD
11.（2022春•邹城市期中）已知▱ABCD中，对角线AC，BD交于O点，如果能够判断▱ABCD为矩形，还需添加的条件是（　　）
A．AB＝BC B．AB＝AC C．OA＝OB D．AC⊥BD
12．（2022春•高唐县期中）如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法中不正确的是（　　）

A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
D．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
13．（2021春•静安区期中）已知：如图，△ABC中，M是BA延长线上一点，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，过点A作AF∥BC，与DE的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形．
（2）如果AF平分∠MAC，求证：四边形ADCF是矩形．

14．（2021秋•太原期末）如图，在▱ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若△BCM是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系．






15．（2022•长春模拟）如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接BF，若AB＝4，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求平行四边形ABCD的面积．









16.（2022春•江都区期中）如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）若∠BAC＝90°，求证：AD＝AF；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形．并说明理由．












17．（2022春•东莞市期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长．



18．（2022•麒麟区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF、BF．
（1）求证：四边形DEBF是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，FC＝3，DF＝5，求BF的长．






19．（2021春•定州市期末）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上且DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝6，BF＝8，AF平分∠DAB，求DF的长．










20.（2022•顺德区开学）如图，在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，F是边CD的中点，连接OF并延长到E，使FE＝OF，连接CE，DE．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若∠DAB＝60°，菱形ABCD的面积为，求矩形OCED的周长．






21．（2022•庐阳区校级模拟）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）过B作BE⊥AO于E，∠CBE＝3∠ABE，BE＝2，求AE的长．







专题1.2 矩形的性质与判定（专项训练）

1．（2022春•长沙期中）菱形、矩形同时具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
【答案】C
【解答】解：因为矩形的对角线相等且互相平分，所以选项C正确，
故选：C．
2．（2022•西工区模拟）矩形的对角线一定具有的性质是（　　）
A．互相垂直 B．互相垂直且相等
C．相等 D．互相垂直平分
【答案】C
【解答】解：菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分．菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分．
故选：C．
3．（2022•滨海新区一模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长等于（　　）

A．6 B．8 C． D．
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，
∴AC＝2OA＝8，
故选：B．
4.（2022春•房山区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝3，∠AOB＝60°，则AD的长为（　　）

A．6 B．3 C．3 D．3
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，AO＝3，
∴AO＝OB＝3，AC＝BD＝6，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，AB＝3＝OA，
∴AD＝，
故选：B．
5．（2022春•石家庄期中）如图，矩形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则矩形AB的长是（　　）cm．

A．12 B．4 C．8 D．4
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD＝8，
∴AO＝OB＝4，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝4＝OA，
故选：D．
6．（2022春•建湖县期中）下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（　　）
A．对角线相等 B．对角线垂直 C．邻边相等 D．邻角互补
【答案】A
【解答】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，对角相等，菱形的对角线互相垂直平分，对角相等，
∴矩形具有而菱形不一定具有的是对角线相等，
故选：A．
7．（2021秋•宁德期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（　　）

A．12 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝12，
则CD＝AB＝×12＝6，
故选：B．
8．（2022春•广丰区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若∠AOD＝110°，求∠CDE的度数．

【答案】35°
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝110°，
∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣70°）＝55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；
故∠CDE的度数为35°．
9．（2022春•朝阳区期中）在矩形ABCD中，E在BC的延长线上，连接DE，过点B作BF∥DE交DA的延长线于点F．
（1）求证：BF＝DE；
（2）连接AE，若AF＝1，AB＝2，AD＝，求证：AE平分∠DEB．

【答案】（1）略 （2）略
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵BF∥DE，
∴四边形FBED是平行四边形，
∴BF＝DE；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴∠FAB＝90°，
∵AF＝1，AB＝2，
∴由勾股定理得：BF＝，
∵四边形BEDF为平行四边形，
∴DF∥BE，DE＝BF＝，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AD＝，
∴DE＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠AEB＝∠DEA，
即AE平分∠DEB．

10.（2021秋•丹东期末）四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD
【答案】B
【解答】解：需要添加的条件是AC＝BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
故选：B．
11.（2022春•邹城市期中）已知▱ABCD中，对角线AC，BD交于O点，如果能够判断▱ABCD为矩形，还需添加的条件是（　　）
A．AB＝BC B．AB＝AC C．OA＝OB D．AC⊥BD
【答案】C
【解答】解：添加AO＝BO，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD为矩形，
故选：C．

12．（2022春•高唐县期中）如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法中不正确的是（　　）

A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
D．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
【答案】D
【解答】解：A．连接EF，

∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴EF∥BC，BD＝CD，
设EF和BC间的距离为h，
∴S△BDE＝BD•h，S△DCF＝CD•h，
∴S△BDE＝S△DCF，
故本选项不符合题意；
B．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，
故本选项不符合题意；
C．∵四边形AEDF是平行四边形，
∴若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，
故本选项不符合题意；
D．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴EF＝BC，DF＝AB，
若AB＝BC，则FE＝DF，
∴四边形AEDF不一定是菱形，
故本选项符合题意．
故选：D．
13．（2021春•静安区期中）已知：如图，△ABC中，M是BA延长线上一点，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，过点A作AF∥BC，与DE的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形．
（2）如果AF平分∠MAC，求证：四边形ADCF是矩形．

【答案】略
【解答】证明：（1）∵AD是△ABC的中线，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）∵四边形ABDF是平行四边形，
∴AF＝BD．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AF平分∠MAC，
∴∠MAF＝∠CAF．
∵AF∥BC，
∴∠MAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形．
14．（2021秋•太原期末）如图，在▱ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若△BCM是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系．

【答案】（1）略 （2）AD＝2AB
【解答】（1）证明：∵点M是AD边的中点，
∴AM＝DM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥CD，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SSS），
∴∠A＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∴∠A＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：AD与AB之间的数量关系：AD＝2AB，理由如下：
∵△BCM是直角三角形，BM＝CM，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴∠MBC＝45°，
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AMB＝∠MBC＝45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AB＝AM，
∵点M是AD边的中点，
∴AD＝2AM
∴AD＝2AB．
15．（2022•长春模拟）如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接BF，若AB＝4，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求平行四边形ABCD的面积．

【答案】（1）略 （2）12
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，BC∥AD，
又∵BE＝DF，
∴BC﹣BE＝AD﹣DF，
即EC＝AF，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：∵∠AEB＝90°，∠ABE＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∴BE＝AB＝2，
∴AE＝＝＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB＝4，
∵四边形AECF是矩形，
∴EC＝AF＝4，
∴BC＝BE+EC＝2+4＝6，
∵∠AEC＝90°，
∴AE⊥BC，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC×AE＝6×2＝12．
16.（2022春•江都区期中）如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）若∠BAC＝90°，求证：AD＝AF；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形．并说明理由．

【答案】（1）略 （2）当AB＝AC时，四边形ADCF是矩形
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠EAF＝∠EDB，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（ASA），
∴AF＝BD，
在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，
∴AD＝BD＝DC＝BC，
∴AD＝AF；
（2）当AB＝AC时，四边形ADCF是矩形，
∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∵AD＝AF，
∴四边形ADCF是正方形，是特殊的矩形．

17．（2022春•东莞市期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长．

【答案】（1）略 （2）8
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，
∵CE＝BC，
∴AD＝CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AB＝DC，AE＝AB，
∴AE＝DC，
∴四边形ACED是矩形；

（2）解：∵四边形ACED是矩形，
∴OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD，
∴OA＝OC，
∵∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC＝AC＝4，
∴CD＝8．
18．（2022•麒麟区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF、BF．
（1）求证：四边形DEBF是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，FC＝3，DF＝5，求BF的长．

【答案】（1）略 （2）4
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵FC＝AE，
∴CD﹣FC＝AB﹣AE，
即DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形DEBF是矩形；
（2）解：∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵DC∥AB，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DFA＝∠DAF，
∴AD＝DF＝5，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝4，
由（1）得：四边形DEBF是矩形，
∴BF＝DE＝4．
19．（2021春•定州市期末）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上且DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝6，BF＝8，AF平分∠DAB，求DF的长．

【答案】（1） 略（2）10
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；

（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝6，BF＝8，
∴BC＝＝＝10，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AB∥DC，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
∵AD＝BC，
∴DF＝BC，
∴DF＝10．
20.（2022•顺德区开学）如图，在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，F是边CD的中点，连接OF并延长到E，使FE＝OF，连接CE，DE．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若∠DAB＝60°，菱形ABCD的面积为，求矩形OCED的周长．

【答案】（1）略 （2）4+4．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∵CF＝DF，EF＝OF，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵∠DOC＝90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB，∠DAO＝∠BAO＝30°，
∴AD＝2OD，
设OD＝k，则AD＝2k，
∴BD＝2k，
在Rt△AOD中，
AO＝＝＝k，AC＝2k．
∵S菱形ABCD＝AC•BD，
∴×2k×2k＝8，
∴k2＝4，
∵k＞0，
∴k＝2，
∴CO＝2，OD＝2，
∴矩形OCED的周长＝2（OD+OC）＝2（2+2）＝4+4．
21．（2022•庐阳区校级模拟）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）过B作BE⊥AO于E，∠CBE＝3∠ABE，BE＝2，求AE的长．

【答案】（1）略 （2）2﹣2．
【解答】（1）证明：∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，
∴AC＝BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠CBE＝3∠ABE，
∴∠ABE＝×90°＝22.5°，
在EB上取一点H，使得EH＝AE，易证AH＝BH，设AE＝EB＝x，则AH＝BH＝x，

∵BE＝2，
∴x+x＝2，
∴x＝2﹣2．