专题1.3 正方形的性质与判定（能力提升）-2022-2023学年九年级数学上册《考点解读•专题训练》（北师大版）

专题1.3 正方形的性质与判定（能力提升）（原卷版）

一、选择题。

1．（2022春•定西期末）若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（　　）

A．4 cm2 B．2 cm2 C．cm2 D．2cm2

2．（2021春•鄢陵县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　）

A．BD＝AB B．AC＝AD C．∠ABC＝90° D．OD＝AC

3．（2021春•新吴区月考）下列说法中，正确的是（　　）

A．一组对边平行的四边形是平行四边形 

B．有一个角是直角的四边形是矩形 

C．四条边相等的四边形是菱形 

D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

4．（2021春•建阳区期中）正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）

A．四个角都是直角 B．两组对边分别相等 

C．内角和为360° D．对角线平分对角

5．（2022春•招远市期末）在平行四边形、矩形、菱形、正方形这四种四边形中，对角线互相垂直平分的有（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

6．（2022春•兰陵县期末）如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，连接AE，则∠AED的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°

7．（2022春•荆门期末）如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（　　）

A．4 B． C．2 D．1

8．（2021•武进区校级自主招生）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（　　）

A．10 B．12 C．14 D．16

9．（2021春•惠山区期中）如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长为（　　）

A．2﹣2 B．﹣1 C．2﹣ D．﹣1

10．（2022春•牡丹江期末）如图，正方形ABCD的边长为10，点E，F在正方形内部，AE＝CF＝8，BE＝DF＝6，则线段EF的长为（　　）

A．2 B．4 C．4﹣ D．4+

二、填空题。

11．（2022春•海伦市期末）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连接EF．设M，N分别是AB，BG的中点，EF＝5，则MN的长为　     　．

12．（2022春•新洲区期中）若正方形ABCD的边长为8，E为BC边上一点，BE＝6，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为　   　．

13．（2022•东莞市校级一模）图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为　      ．

14．（2021春•辛集市期末）如图，两条互相垂直的线段AE、BF将正方形ABCD分割成①、②、③、④四块（图1），好围成一个大正方形GHJK（图2），若MN+KR＝3，∠QMK＝60°，则AB的长是　    　．

15．（2021春•九龙坡区校级期中）如图，在正方形ABCD中，边长AB为5，菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在正方形的边AD，AB，CD上，AE＝2，DH＝3连接CG，则△CHG的面积等于　    　．

16．（2021秋•抚远市期末）如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的度数是 　  　度．

17．（2022春•上虞区期末）如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为 　   　平方厘米．

18．（2021•高阳县模拟）如图，正方形ABCD的边长为3，连接BD，P、Q两点分别在AD、CD的延长线上，且满足∠PBQ＝45°．

（1）BD的长为　    　；

（2）当BD平分∠PBQ时，DP、DQ的数量关系为　       　；

（3）当BD不平分∠PBQ时，DP•DQ＝　     　．

三、解答题。

19．（2022•东明县二模）已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是菱形

20．（2021春•阳谷县期末）如图，点P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，连接AP，作DE⊥AP，垂足是E，BF⊥AP，垂足是F．求证：DE＝BF+EF．

21．（2021春•澄城县期末）正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．

（1）求证：EF＝CF+AE；

（2）当AE＝2时，求EF的长．

22．（2021春•饶平县校级期末）如图，正方形ABCD中，点E是AD边上的一点，连接BE、CE、若BE＝CE．

（1）求证：∠1＝∠2；

（2）连接BD交CE于点H，连接AH交BE于点G，求∠AGB的度数

23．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点G．点H是线段CE上一点，且CO＝CH．

（1）若OF＝5，求FH的长；

（2）求证：BF＝OH+CF．

24．（2022春•西湖区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CE∥MN交AD于E，连接EM，CN，DN．

（1）求证：DM＝MN；

（2）求证：EM∥CN．

25．（2022•东阿县三模）如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为一边，在BC的同侧作等边三角形ABD，ACE，BCF．

（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？是菱形？是正方形？

26．（2022春•石阡县期中）（1）如图①，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A点作AG⊥EB，垂足为G，AC交BD于O，求证：OE＝FO；

（2）如图②，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G．AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．