2021-2022学年江苏省泰州市姜堰区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省泰州市姜堰区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

1.    年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列二次根式中属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    用配方法解一元二次方程，配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是(    )

A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 邻边互相垂直

5.    在下列式子中，可以取和的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    函数的图象可以由的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到．根据所获信息判断，下列直线中与函数的图象没有公共点的是(    )

A. 经过点且平行于轴的直线 B. 经过点且平行于轴的直线
C. 经过点且平行于轴的直线 D. 经过点且平行于轴的直线

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

7.    比较大小：______填“”“”或“”
8.    小丽掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，当她掷第次时，正面朝上的概率为______．
9.    当______时，分式的值为零．
10. 一组数据共有个，分成组后其中前四组的频数分别是、、、，则第组数据的频率为______．
11. 已知是关于的方程的一个根，则______．
12. 如图是反比例函数的图象，则的值可能是______写出一个可能的值即可．

13. 某地区加大教育投入，年投入教育经费万元，以后每年逐步增长，预计年，教育经费投入为万元，则年平均增长率为______．
14. 如图，在▱中，，，则的度数为______．

15. 如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上一动点，轴，垂足为，以为边作正方形，其中在上方，连接，则______．

16. 如图，中，，为边上的中点，为边上一点，，连接、，延长交延长线于，若，，则______．

三、解答题（本大题共10小题，共102分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 解下列方程：
    ；
    ．
19. 先化简，再求值：，其中是方程的解．
20. 近日，教育部正式印发义务教育课程方案，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，发布了义务教育劳动课程标准年版，为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表．
    
    ______，______；
    在扇形统计图中，一周劳动次的对应扇形圆心角的度数为______度，请将条形统计图补充完整画图并标注相应数据；
    若该校学生总人数为人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动次及以上的学生人数．
21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、．
    求的取值范围；
    若______填序号，求的值．
    从；；中选择一个作为条件，补充完整题目，并完成解答．
22. 你吃过拉面吗？在做拉面的过程中渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的横截面积的反比例函数，其图象如图所示．
    求出与的函数关系式；
    当面条的横截面积是时，求面条的总长度．

23. 某中学组织学生去离学校的农场，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的倍，结果先遣队比大队早到，先遣队和大队的速度各是多少？
24. 如图，矩形中，为边上方一点，，．
    在图中，请仅用无刻度的直尺作出边的中点；
    如图，在的条件下，连接、、、，若四边形为菱形，请探究、之间的数量关系．
     

25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点点在点左边，交轴于点，延长交反比例函数的图象于点，点为第四象限内一点，，连接．
    填空： ______填“”、“”或“”；
    连接，若平分．
    若的面积为，求的值；
    连接，四边形能否为菱形？若能，直接写出符合条件的的值；若不能，说明理由．

26. 对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“直图形”例如，图中点为点关于点的“直图形”．
    的图象关于原点的“直图形”的表达式为______；
    为的图象上一点，其横坐标为，点的坐标为点关于点的“直图形”为点．
    若，试说明：不论为何值，点始终在直线上；
    若，试判断点能否在直线上？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：：，不是最简二次根式；
：不能再化简，所以是最简二次根式；
：，所以不是最简二次根式；
：，所以最简二次根式．
故选：．
最简二次根式是指被开方数中不含有可以开得尽方的因式或因数，也不含有分母，根据这些即可求解．
本题主要考查了最简二次根式的定义，关键是把握定义的两个要求．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查菱形与矩形的性质，需要同学们对各种平行四边形的性质熟练掌握并区分．
菱形的性质有：四条边相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角．
矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分．
【解答】
解：、对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；
B、对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；
C、对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；
D、邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：、由得，，故本选项错误；
B、由得，，故本选项错误；
C、由得，，所以可以取和，故本选项正确；
D、由得，，可以取不可以取，故本选项错误．
故选C．
根据被开方数大于等于，分母不等于对各选项分析判断即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意可知，如下图所示，图根据题意平移后得到图，
函数的图象是函数的图象向右平移个单位，在向下平移个单位得到的，
由反比例函数的图象的性质和平移的定义可知，函数的图象与直线、直线不会相交．

故选：．
根据题意可以知道平移后的反比例函数不会与直线、直线相交，判断出答案即可．
考查了平移的定义和反比例函数、一次函数的图象的性质，关键要掌握平移的定义、一次函数和反比例函数图象性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
首先分别求出两个数的平方的大小；然后根据：两个正实数，平方大的这个数也大，判断出两个数的大小关系即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大．
 

8.【答案】 

【解析】解：小丽掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，当她掷第次时，正面朝上的概率为，
故答案为：．
根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小概率，可得答案．
本题考查了概率，大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小概率．
 

9.【答案】 

【解析】解：分式的值为零，即，
，
．
故当时，分式的值为零．
故答案为．
分式的值为的条件是：分子；分母两个条件需同时具备，缺一不可．
由于该类型的题易忽略分母不为这个条件，所以常以这个知识点来命题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意知第组的频数为，
所以第组的数据的频率为，
故答案为：．
先根据五组的频数之和为求出第五组的频数，再根据频率频数总数求解即可．
本题主要考查频数与频率，解题的关键是掌握各组的频数之和等于总数、频率频数总数．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
所以．
故答案为．
将代入方程，再将当成一个整体即可求出答案．
本题考查了一元二次方程和整体思想，解题的关键是整体思想的应用．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：反比例函数的图象在一象限，
，
又反比例函数的图象经过点时，．
．
的值可以是．
故答案是：答案不唯一．
反比例函数是常数，的图象在第一象限，则，符合上述条件的的一个值可以是正数即可，答案不唯一
此题主要考查反比例函数图象的性质：时，图象是位于一、三象限；时，图象是位于二、四象限．
 

13.【答案】 

【解析】解：设年平均增长率为，根据题意得：
，
解得：，或不合题意舍去．
即：年平均增长率为．
故答案是：．
一般用增长后的量增长前的量增长率，年要投入教育经费是万元，在年的基础上再增长，就是年的教育经费数额，即可列出方程求解．
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．掌握增长前的量年平均增长率增长后的量是本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由平行四边形的性质得，再由等量关系可得，然后由等腰三角形的性质即可求解．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：正方形中，，
，
点为反比例函数的图象上一动点，轴，垂足为，
，，
，
故答案为：．
利用反比例函数系数的几何意义、正方形的性质以及勾股定理即可求得．
本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用以及反比例函数系数的几何意义，得出，，是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接，则，

，
，
为边上的中点，为的中点，
为的中位线，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
由勾股定理得，，
，
在中，由勾股定理得，，
，，
，
故答案为：．
取的中点，连接，则，可得，再利用三角形中位线定理得，，利用证明≌，得，，从而解决问题．
本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，证明点是的中点是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先化简二次根式，再合并同类二次根式；
根据分数乘法法则和平方差公式进行计算便可．
本题主要考查了实数的运算，关键熟记二次根式的性质．
 

18.【答案】解：，
，
配方，得，
，
开方得：，
解得：，；

，
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即原方程无解． 

【解析】移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解一元二次方程和解分式方程，能正确配方是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解的关键．
 

19.【答案】解：





，
解方程得：，，
要使分式有意义，且，
所以不能为和，
是方程的解，
只能为，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的加减法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出方程的解，根据分式有意义的条件得出不能为和，求出只能为，把代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值和解一元二次方程，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：样本容量为：，
故，，
故答案为：；；
在扇形统计图中，一周劳动次的对应扇形圆心角的度数为：；
一周劳动次的人为：人，
补全条形统计图如下：

故答案为：；
人，
答：估计该校一周劳动次及以上的学生人数为人．
根据“次”的人数及其所占百分比，可得样本容量，即可计算出和的值；
用乘一周劳动次所占比例，即可得出一周劳动次的对应扇形圆心角的度数；根据样本容量和条形统计图中的数据，可以计算出一周劳动次的人数，从而将条形统计图补充完整；
根据统计图中的数据，可以计算出该校一周劳动次及以上的学生人数．
本题考查扇形统计图、条形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

21.【答案】或或选一个即可 

【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根、，
，
解得：；
当时，
得：，
解得：，
，
；
当时，
得：，
解得：；
当时，
，
，
，
解得：．
故答案为：或或选一个即可．
利用根的判别式进行求解即可；
选择其中一个进行解答即可．
本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，解答的关键是熟记根的系数的关系，根的判别式并灵活运用．
 

22.【答案】解：设与的函数关系式为，
反比例函数图象经过点，
，解得，
与的函数关系式是；

当时，．
答：面条的总长度是． 

【解析】根据反比例函数图象经过点，利用待定系数法即可求出与的函数关系式；
把代入函数解析式，计算即可求出总长度的值．
本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，根据图象找出函数图象经过的点的坐标是解题的关键，难度不大．
 

23.【答案】解：设大队的速度为千米时，则先遣队的速度是千米时，
，
解得：，
经检验是原方程的解，
．
答：先遣队的速度是千米时，大队的速度是千米时． 

【解析】首先设大队的速度为千米时，则先遣队的速度是千米时，由题意可知先遣队用的时间小时大队用的时间．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄懂题意，表示出大队和先遣队各走千米所用的时间，根据时间关系：先遣队比大队早到列出方程解决问题．
 

24.【答案】解：如图中，点即为所求；


结论：．
理由：设交于点．
，，，
，，
四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
． 

【解析】连接，交于点，连接延长交于点，点即为所求；
证明，，可得结论．
本题考查作图复杂作图，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象是中心对称图形，
，
在中，，，
，
故答案为：；
如图，连接，

由可知，，
，
平分，
，
，
，
，
对于，令，则，
，
，
，
设，，
，
又，
，
，
，
，
在反比例函数上，
；
如图，连接，

由可知，，，
当时，此时四边形是菱形，
将由联立，得：，
解得：或，
，，
，
，
当时，，
即，
，
综上所述，当四边形为菱形时，．
由反比例函数的中心对称性知，再利用直角三角形斜边上中线的性质得；
利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可说明，则，设，从而得出的方程，即可解决问题；
由可知，，，只要有，即可说明四边形为菱形，利用反比例函数与一次函数求出交点、的坐标，从而得出关于的方程．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象的性质，直角三角形斜边上中线的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，证明是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：的图像关于原点的“直图形”的表达式为；
故答案为：；
当时，，
分两种情况：
当时，如图，过点作轴于，过点作轴于，

点关于点的“直图形”为点，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
此时点在直线上；
当时，如图，过点作轴于，过点作轴于，
同理可得：≌，
，，
，
此时点在直线上；

不论为何值，点始终在直线上；
点不可能在直线上，理由如下：
当时，点的坐标为，
，
如图，过点作轴于，过点作轴于，

同理可得：≌，
，，
，
当时，，
，
，
解得：或，
为的图像上一点，
，
当时，点不可能在直线上．
直接根据“直图形”的定义可得答案；
分两种情况：当时，如图，当时，如图，作辅助线构建全等三角形，证明≌，，，表示点的坐标可得结论；
如图，同理确定点的坐标为，代入可得的值，列方程无符合条件的的值，可回答问题．
本题反比例函数的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，“直图形”的定义，图形与坐标的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，正确理解“直图形”的定义，作辅助线构建三角形全等确定点的坐标是解题的关键．