湖北省十一所名校（孝感高中、武汉二中、襄阳五中、襄阳四中、黄冈高中等）2021-2022学年高三上学期第一次联考数学试题(word版含解析)

鄂南高中 黄冈高中 黄石二中 荆州中学 龙泉中学

武汉二中 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中 宜昌一中 夷陵中学

2022届高三湖北十一校第一次联考

数学试题

命题学校：孝感高中命题人： 武娟 陈慧玲 柴全中  审题人：褚卫斌

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若集合，集合，则(   )
   A．
   B．
   C．
   D．
2. 方程表示双曲线，则的取值范围是(    )
   A．
   B．
   C．
   D．
3. 设，向量，则是的(    )条件
   A．充分不必要
   B．必要不充分
   C．充要
   D．既不充分也不必要
4. 函数的最大值为(    )
   A．
   B．1
   C．
   D．2
5. 连接正四面体每条棱的中点，形成如图所示的多面体，则该多面体的体积是原正四面体体积的（）

A．
B．
C．
D．

6. 已知数列是等差数列，是其前项和，若，则数列的公差是()
   A．1
   B．2
   C．3
   D．4
7. 函数的图象与轴交于点，图象上离轴最近的最高点为若对恒有则实数a的最大值为()

A．

C．
D．

8. 若关于x的方程有三个不司的实数解，则实数a的可能取值()

A．－5
B．－2
C．2
D．3

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9. 下列说法正确的的有（）
   A．已知一组数据的方差为3，则的方差也为3
   B．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4
   C．已知随机变量服从正态分布，若，则
   D．已知随机变量服从二项分布，若，则
10. 三角形中，角的对边分别为，下列条件能判断是钝角三角形的有()
    A．
    B．
    C．
    D．
11. 2021年3月30日，我国知名品牌小米公司启用了具备 “超椭圆” 数学之美的全新Logo．据了解，新Logo将原本方正的橙色边框换成了圆角边框，这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感，而设计师的灵感来源于数学中的曲线，则下列说法正确的有()
    A．对任意的，曲线总关于原点成中心对称
    B．当时，曲线总过四个整点(横、纵坐标都为整数的点)
    C．当时，曲线上点到原点距离的最小值为
    D．当时，曲线围成图形的面积可以为2
12. 如图，已知矩形平面，且，点为线段(除端点外)上的一点．沿直线将向上翻折成，为的中点，则下列说法正确的有(  )

A．三棱锥的体积为
B．当点固定在线段某位置时，则在某圆上运动

C．当点在线段上运动时，则在某球面上运动
D．当点在线段上运动时，三棱锥的体积的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若复数满足，则________．
14. 在一次社团活动中，甲乙两人进行象棋比赛，规定每局比赛获胜的一方得3分，负的一方得1分(假设没有平局)．已知甲胜乙的概率为，若甲乙两人比赛两局，且两局比赛结果互不影响．设两局比赛结束后甲的得分为，则________．
15. 线段是圆的一条动弦，且，直线恒过定点，则的最小值为________．
16. 已知函数，则的单调递增区间为________；若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为________．
    四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (10分)在锐角中，角的对边分别为，已知．
    (1)求证：．
    (2)若，求的取值范围．
18. (12分)自2021年9月以来，某中学实行封闭式管理，学生均在学校食堂就餐．为了解学生对食堂服务的满意度，食堂作了一次随机调查，已知被调查的男女生人数相同均为．调查显示男生满意的人数占男生人数的，女生满意的人数占女生人数的，且经以下列联表计算可得的观测值．

(1)求的值，完成上述表格，并判断有多大的把握认为学生对食堂服务的评价与性别有关?

(2)为进一步征集学生对食堂的意见，食堂又采用分层抽样的方法从上述表示不满意的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求事件 “至少抽到一名女生” 的概率．
附表：

19. (12分)已知数列的前项和为，且满足
    (1)求数列的通项公式；
    (2)记数列的前项和为．若表示不大于的正整数的个数，求．
20. (12分)如图，在四棱锥中，是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．

21. (12分) “工艺折纸” 是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如下图)

步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点到圆心的距离为2，
按上述方法折纸．
(1)以点所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；
(2)直线过椭圆的右焦点，交该椭圆于两点，中点为，射线为坐标原点)交椭圆于，若，求直线的方程．

22. (12分)已知函数．

（1）若直线 ( e为自然对数的底数) 与函数的图象均相切，求实数的值．
(2) 设函数．
(i) 证明：函数有两个极值点；
(ii) 对 (i) 中的两个极值点，若恒成立，求实数的取值范围．

2022届高三湖北十一校第一次联考

数学参考答案

一.单选题 CABC   DBCA

1.【答案】C

【解析】因为=，，则，故选C.

2.【答案】A

【解析】因为方程表示双曲线，所以，即，

解得：.故选A.

3.【答案】B

【解析】由可得，所以；由可得，所以，

则是的必要不充分条件，故选B.

4.【答案】C

【解析】 又,则，所以当时，

取得最大值.故选C.

5. 【答案】D

【解析】由题意可知，该多面体可看作正四面体截去四个棱长为的小正四面体所得的正八面体，

则.故选D.

6.【答案】 B

【解析】由，得，则，故

7.【答案】 C

【解析】由题易得，结合图象可知，，则，又，所以，

则，则.,恒有，则在单调.令，得到轴左侧最近的最低点为,右侧最近的最高点为，则的最大值为. 故选C.

8.【答案】 A

【解析】易知不是方程的解, 则方程可变形为, 可考虑函数与的图象共有三个公共点.

当时，仅2个公共点，不符合；当时，结合图象可得，故选A.

二.多选题AC BC ABC BCD

9. 【答案】AC

【解析】A:由方差公式，将一组数据中的每个数据都加上同一常数后，方差不变，故A正确；

B:线性回归直线过样本点中心，求得，故B错误；

C:因为随机变量服从正态分布，对称轴为，又，

而，所以，则，故C正确；

D:服从二项分布，由，则，故D错误.

10. 【答案】BC

【解析】

A：由可知，且，所以是锐角，故A不正确；

B：由,得，则为钝角，故B正确；

C:由正弦定理，得，则，，故C正确；

D:法一：由正弦定理，条件等价于=，

则，即，故，则，故D不正确.

法二：,得.取，则，故D不正确.

11.【答案】ABC

【解析】A：由，易知A正确；

B：当时,取;取，曲线C总过四个整点和.故B正确；

C:当时, 曲线C: ，即, 由函数图象, 结合对称性,

可知第一象限内点(2, 2)到原点距离最近, 最近距离为，故C正确;

D：当时, , 从而,

曲线C围成的图形在正方形 的内部, 面积小于正方形的面积2. 故D错误.

12. 【答案】BCD

【解析】A：，故A错误；

B:当固定点E时，由，可知点D在以为直径的圆上运动，故B正确；

C:当点在线段上运动时，=1保持不变，即的轨迹为以A为球心，半径为1的球面的一部分，故C正确；

D：，求三棱锥的体积的最小值即求到面距离的最小值，

即求到面距离的最小值，且.过作的垂线，垂足为H，可得平面，因为在为以A为球心，半径为1的球面上运动,则到面距离的最小值为，.所以三棱锥的体积的最小值，故D正确.

三.填空题

13.【答案】

【解析】法一：由题意,则.

法二:由复数性质,则，故填.

14.【答案】4.4

【解析】,,

，所以

15.【答案】8

【解析】因为线段是圆的一条动弦，过圆心作于点，

则为中点，又，则，即点的轨迹为圆O:，

直线可化为，则直线恒过定点，因为，

由可知==，所以的最小值为8.故填8.

16.【答案】(填亦可)；

【解析】, 令, 得的单调递增区间(或亦可);

可化为.设

法一：，记，显然在上单调递增，由零点存在性定理可知存在，

使，则可知在上单调递减，在上单调递增，则 =，则，故.

法二：==，设，则，由第一空可知，则，故.

法三：易证得，则=,则，故.

四.解答题

17.【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）因为，由正弦定理得.

因为==，

所以，                                              （2分）

则或，即或（舍去），故.           （4分）

（2）因为是锐角三角形，所以得.        （6分）

所以.由正弦定理可得：，则            （8分）

所以.                                                    （10分）                           

18. 【答案】(1)；(2)

【解析】（1）设，据题意列出列联表如下所示：

则，则，，

，则，故被调查的男生的人数为50. （4分）

得到列联表如下：

（5分）

因为，所以有95％的把握认为对食堂服务的评价与性别有关.（7分）

由分层抽样得抽出的9人中，男生6人女生3人.（9分）

再任取3人共种取法，则至少有一名女生的概率为.（12分）

19. 【答案】(1)；(2)

【解析】（1）因为，所以

两式相减得（2分）

故，所以数列是等比数列，公比为（3分）           

即（4分）            

（2）因为，则，

（6分）

两式相减得

所以（8分）

显然，且即为递增数列，          （9分）

，所以

所以.                                           （12分）  

20.【答案】(1)见解析；(2)

【解析】(1)法一：取中点，连接，因为分别为的中点，

所以，且.（2分）

又因为，，，且,所以，且，

所以四边形为平行四边形,所以，而平面，平面，

所以平面.    （5分）

法二：取中点，连接，因为，且，

所以四边形为平行四边形，则，则.（2分）

因为分别为的中点，所以，则，平面，

所以平面平面，又因为而平面，所以平面.                  （5分）

(2)法一：

取中点，连接，因为,，所以为等腰直角三角形，

所以,又因为，,所以，所以，                               

又因为，，平面,所以平面.  （8分）

记为点到平面的距离，因为 =，

因为，所以，又，，平面，

所以平面，且平面，所以.则,

，所以，                    （10分）

设与平面所成角为，则.                 （12分）

法二：由法一证得平面，以为原点，以方向分别为轴，

轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系.                               （6分）

,,,，，                （7分）

由法一证得平面，且平面，所以，

又，，平面，所以平面，     （9分）

故平面的一个法向量为.（10分）

设与平面所成角为，所以==. （12分）

21. 【答案】（1）；（2）．

【详解】（1）如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系

设为椭圆上一点，由题意可知,,

所以点轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆，                 （2分）      

因为,所以，则，

所以椭圆的标准方程为；                                      （5分）

（2）法二一：因为，所以．

当斜率为0时，，两点重合，不合题意;（6分）

故设直线的方程为，，，，

联立，得,所以，，(7分)

所以，，                             （8分）

所以，即，                                   （9分）

将代入得，即，解得：， （11分）

所以直线的方程为，即.                        （12分）

法二：因为，所以，

当斜率不存在时，，不合题意；                             （6分）

当斜率存在时，设直线方程为，设点，，

则，两式作差得：，即，         （7分）

故直线的方程为：，联立，解得，      

联立，解得，因为，所以，       （9分）

即，则，解得：，                       （11分）

所以直线的方程为．即.                      （12分）

22．【答案】（1）；（2）(i)见解析; (ii)

【解析】(1),令,得,所以直线与函数

的图象相切于点.代入,得,即切线方程为.（2分）

法一:将切线方程代入中,得.

令判别式得.                                           (4分)

法二:令,得,,

则直线与切于点， （2分）

代入可得.   （4分）

(2)(i)

则.(5分)

考虑到的判别式,以及.

所以有两个不等实根且,.

所以当;当;当.

即函数有两个极值点(8分)

(ii)=

==.           

即恒成立.(10分)

记则.(11分)

所以在上递增,,所以(12分)