华师大版八年级上册2 线段垂直平分线课时训练

13.5.2 线段垂直平分线（附解析）

一、单选题(共10个小题)

1．如图，已知a∥b，直线与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交直线b于点C，连接，若，则的度数是（         ）

A．98° B．102° C．104° D．108°

2．如图，在△ABC中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，连接，交于点，交于点，连接．若的周长等于，的周长为，那么线段的长等于（        ）

A． B． C． D．

3．如图，△ABC中，∠BAC＝130°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，则∠EAF的度数为（         ）

A．65° B．60° C．70° D．80°

4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（         ）

A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB

C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB

5．到三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（         ）

A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点

C．三条高的交点 D．三边的垂直平分线的交点

6．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（       ）

A．AC，BC两边高线的交点处 B．AC，BC两边中线的交点处

C．AC，BC两边垂直平分线的交点处 D．∠A，∠B两内角平分线的交点处

7．如图，在△ABC中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（       ）

A．25 B．22 C．19 D．18

8．如图，，的垂直平分线交于点D，，，则的周长是（      ）

A．8cm B．13cm C．18cm D．21cm

9．如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（　    　）

A．2 B．12 C．5 D．7

10．如图，在△ABC中，，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（        ）

A．7 B．6 C．12 D．8

二、填空题(共10个小题)

11．如图，△ABC中，E为BC的中点，DE⊥BC于E，交AC于D．△ABD的周长为2lcm，AB=10cm，则AC=_________．

12．如图，△ABC中，，，垂直平分交于，则_________.

13．如图，是△ABC的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为__________．

14．如图，线段CD与线段BE互相垂直平分，，，则______．

15.如图，在△ABC中，，平分，垂直平分，将沿着折叠，使得点与点重合，，则__________．

16．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，DE、FG分别是AB、AC边的垂直平分线，点G、E在BC上，则∠GAE的度数为__________．

17．如图，在四边形中，，，，连接，的面积为，点E是边边上一动点，点P在线段上，连接，则的最小值是________．

18．如图，将△ABC绕点顺时针旋转，得到，使得DEAC，若此时点，，恰好在同一直线上，则以下结论：①点在的垂直平分线上；②平分；③；④，其中正确的是_________；（填写序号）

19．如图，在△ABC中，，，是的两条中线，是上的一个动点，则图中长度与的最小值相等的线段是_______．

20．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连结P1P2交OA于M，交OB于N，若线段P1P2的长为12 cm，则△PMN的周长为_____cm．

三、解答题

21．如图，△ABC中，，且、、分别是、、边上的点，，，点是的中点，猜想和的位置关系，并说明理由．

22．如图，在△ABC中，，平分交于点，的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，．

(1)试判断与的数量关系，并说明理由；

(2)若，求的度数．

23．问题情境：已知，如下图，在梯形中，直线l，直线l，垂足分别为D，E，点C在直线l上，，．

猜想证明：

(1)如图①，试判断的形状，并说明理由；

解决问题：

(2)如图①，若，求梯形的面积；

拓展提升：

(3)如图②，设梯形的周长为m，边中点O处有两个动点P，Q同时出发，沿着的方向移动，点Q的速度是点P速度的3倍，当点P第一次到达点B时，两点同时停止移动．

①两点同时停止移动时，点Q移动的路程与点P移动的路程之差____________．（填“>”“<”或“=”）

②移动过程中点P能否和点Q相遇？如果能，则用直线a连接相遇点和点O，并探索直线a与的位置关系，写出推理过程：如不能，说明理由．

13.5.2 线段垂直平分线解析

1．

【答案】C

【详解】∵已知分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交直线b于点C，连接，

∴直线垂直平分线段AB，

∴，

∵a∥b，，

∴，

∴，

∴．

故选：C．

2．

【答案】C

【详解】解：根据题意可得是的垂直平分线，

∵△ADC的周长为，

，

∵△ABC的周长等于，

，

是的垂直平分线，

，，

，

，

．

故选：C．

3．

【答案】D

【详解】解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，

∴EB＝EA，FA＝FC，

∴∠BAE＝∠B，∠FAC＝∠C，

∵△ABC中，∠BAC＝130°，

∴∠B＋∠C＝50°，

∴∠BAE＋∠FAC＝50°，

∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE＋∠FAC）＝80°；

故选：D．

4．

【答案】A

【详解】解：∵AC＝AD，BC＝BD，

∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，

∴AB是CD的垂直平分线．

即AB垂直平分CD．

故选：A

5．

【答案】D

【详解】解：如图，点O到△ABC的三个顶点距离相等，

即OA=OB=OC，

∵OA=OB，

∴O在线段AB的垂直平分线上，

∵OB=OC，

∴O在线段BC的垂直平分线上，

∵OA=OC，

∴O在线段AC的垂直平分线上，

又∵三角形的三边的垂直平分线相交于一点，

∴与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点．

故选：D

6．

【答案】C

【详解】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．

故选：C．

7．

【答案】C

【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，

∴BD＝CD，

∵，，

∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD

＝AB＋AD＋CD

＝AB＋AC

＝19．

故选：C

8．

【答案】B

【详解】∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，

∴AD=BD，

∵AB=AC，AB=8cm，BC=5cm，

∴△DBC的周长是BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=8cm+5cm=13cm，

故选B．

9．

【答案】B

【详解】解：是线段的垂直平分线，

，关于直线为对称，

和重合时，最小，

即的周长的最小值，

是线段的垂直平分线，

，

的最小值，

的最小周长，

故选：B．

10．

【答案】A

【详解】解：∵EF垂直平分BC，

∴B、C关于EF对称，

设AC交EF于D，

∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小，

∵EF垂直平分BC，

∴AD=CD，

∴AD+BD=AD+CD=AC=4，

∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．

故选：A．

11．

【答案】11

【详解】解：∵E为BC的中点，DE⊥BC于E，

∴BD=CD．

∵△ABD的周长为21cm,AB=10cm，

∴AC=AD+BD=21-10=11(cm)．

故答案为：11．

12．

【答案】30

【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，

∴，

∵DE垂直平分AC，

∴AE=CE，

∴∠ECA=∠A=40°，

∴∠BCE=∠ACB-∠ECA=30°，

故答案为：30．

13．

【答案】44°

【详解】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，

∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝，∠AFB＝∠EFB＝90°，

∴∠BAF＝90°−18°＝72°＝∠BEF，

∴AB＝BE，

是边上的中线，

∴AF＝EF，

是的中垂线，

∴AD＝ED，

∴∠DAF＝∠DEF，

∵∠BAC＝180°−∠ABC−∠C＝180°−36°−50°＝94°，

∴∠BED＝∠BAD＝94°，

是的一个外角，

∴∠CDE＝94°−50°＝44°，

故答案为：44°．

14．

【答案】72°

【详解】解：∵线段CD与线段BE互相垂直平分，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即：，

∵线段CD与线段BE互相垂直平分，

∴AC=AD，

∴，

∴．

故答案为：72°．

15.

【答案】52°

【详解】解：连接、，

垂直平分，

，

，

平分，

，

，，

≌，

，，

，

，

，

，

由折叠知，，

，

，

，

，

，

由折叠知，，，

，

，

∴．

故答案为：．

16．

【答案】20°

【详解】∵∠BAC=80°，

∴在△ABC中，有∠B+∠C=180°-80°=100°，

∵DE、FG是AB、AC的垂直平分线，

∴AE=BE，AG=CG，

∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAG，

∵∠B+∠C=100°，

∴∠BAE+∠CAG=100°，

∵∠BAE=∠BAG+∠GAE，∠CAG=∠CAE+∠GAE，

∴∠BAG+∠GAE+∠CAE+∠GAE=100°，

∵∠BAC=∠BAG+∠GAE+∠CAE=80°，

∴∠BAG+∠GAE+∠CAE+∠GAE=80°+∠GAE=100°，

∴∠GAE=20°，

故答案为：20°．

17．

【答案】

【详解】解：如图，连接AC，CP，

∵，，

∴BD垂直平分AC，

∴AP=CP，

∴PA+PE=PC+PE≥CE，

即PC+PE的最小值为CE的长，且当CE⊥AB时，CE最小，

∵，，BD=BD，

∴△ABD≌△CBD，

∴，

∴，

∴，即PA+PE的最小值为．

故答案为：

18．

【答案】①②④

解：将△ABC绕点顺时针旋转，得到，

，

点在的垂直平分线上，故①正确；

将绕点顺时针旋转，得到，

，

，

，

，

平分，故②正确；

，

，

将△ABC绕点顺时针旋转，得到，

，

，

，

，故④正确；

不能证明，故③错误，

故答案为：．

19．

【答案】

【详解】解：如图，连接，

∵，是的中线，

∴，，

∴垂直平分，

∴，

∴，

∵是上的一个动点，

∴，

当点、、共线时，的值最小，最小值为线段的长度，

即与的最小值相等的线段是．

故答案为：．

20．

【答案】12

【详解】解：∵P点关于OA，OB的对称点P1，P2，

∴AM垂直平分 ，BN垂直平分 ，

，

的周长为 ，

cm，

的周长为12cm．

故答案为：12cm．

21．

【答案】垂直平分，理由见解析

【详解】垂直平分，理由如下：

，

，

，，

，

在和中，

，

≌，

，

又点是的中点，

垂直平分．

22．

【答案】(1)BG=CG，理由见详解;(2)27°

【详解】（1）解：，理由：

，平分，

，，

，

的垂直平分线交于，

，

．

（2），

，

，

，

平分，

，

，

，

．

23．

【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析;(2)32;(3)①=；②移动过程中点P能和Q点相遇，直线a垂直平分

【详解】（1）解：△ABC是等腰直角三角形．

理由：∵直线l，直线l，

∴；

又∵，

∴．

又∵，

∴．

在△ADC和中，

∴．

即：．

∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）解：根据（1）可得，

∴，

∴，

∴梯形的面积．

（3）解：①∵点Q的速度是点P速度的3倍，

∴两点同时停止移动时，点Q移动的路程与点P移动的路程之差为；

故答案为：=；

②移动过程中点P能和Q点相遇．

设t秒后相遇，则点Q比点P多走一圈，

∴，

∴，

∴当点P走过的路程，与点Q相遇，

∵，

∴点P与边上的C点重合，连接，

∵且O为的中点，

∴直线a垂直平分．