专题06 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）

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专题06：二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
精讲温故知新
1、一元二次方程根的分布情况
设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况
两个负根即两根都小于0

两个正根即两根都大于0

一正根一负根即一个根小于0，一个大于0
大致图象（）



得出的结论



大致图象（）



得出的结论



综合结论（不讨论）



例1：1．（多选）若关于x的方程的两根为正数包含等根，则m的取值可以是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由一元二次函数零点的分布可得答案.
【详解】
由题意，构建函数，
因为关于x的方程的两根为正数包含等根， 所以，
解得， 
故选：BCD.
2.已知函数．
（1）若时，求在区间上的最大值和最小值；
（2）若的一个零点小于，另一个零点大于，求的范围.
【答案】（1） ； ；（2）
【分析】
（1）求出函数的对称轴，再判断对称轴与区间的位置关系，从而得到函数的最值；
（2）由题意得，即可得到答案；
【详解】
（1）当时，函数的对称轴为，
，，
。
（2）由题意得，，解得：。
【点睛】
本题考查二次函数在闭区间上的最值、零点分布，考查数形结合思想，考查运算求解能力.

举一反三
1．已知函数
（Ⅰ）若，求在上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若关于的方程在上有两个不相等实根，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）最大值0，最小值；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）根据，得到，由二次函数性质，即可得出结果；
（Ⅱ）由题意得到方程有两个不相等正根，得到，求解，即可得出结果.
【详解】
（Ⅰ）若，则，
因为二次函数开口向上，对称轴为：；又，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
因此；又，，
所以；
（Ⅱ）由关于的方程在上有两个不相等实根，可得方程有两个不相等正根，
则，解得．
【点睛】
本题主要考查由二次函数在给定区间的最值，以及由一元二次方程根的分布求参数的问题，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.表二：（两根与的大小比较）

分布情况
两根都小于即

两根都大于即

一个根小于，一个大于即

大致图象（）



得出的结论



大致图象（）



得出的结论



综合结论（不讨论）



例2：1．函数的两个不同的零点均大于的一个充分不必要条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意列出函数的两个不同的零点均大于时的不等式组，求得，进而结合选项判断即可.
【详解】
解：因为函数的两个不同的零点均大于，
所以，解得.
所以选项A是函数的两个不同的零点均大于的既不充分也不必要条件；选项B是函数的两个不同的零点均大于的充分不必要条件；
选项C是函数的两个不同的零点均大于的充要条件；选项D是函数的两个不同的零点均大于的必要不充分条件.故选：B.
举一反三
1．（多选）已知方程的两个根一个大于2，一个小于2，则下列选项中满足要求的实数m的值为（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的分布，列出满足的不等关系，求得其范围，再结合选项进行选择即可.
【详解】
根据题意方程的两个根一个大于2，一个小于2，
则对，满足即可，即，解得.
选项中满足的有或.故选：.
2．若关于的方程有两个实数根，且一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
令，根据题意，由求解.
【详解】令，因为方程有两个实数根，且一根大于1，另一根小于1，
所以，解得，所以实数的取值范围为，
表三：（根在区间上的分布）
分布情况
两根都在内
两根有且仅有一根在内
（图象有两种情况，只画了一种）
一根在内，另一根在内，
大致图象（）



得出的结论


或
大致图象（）



得出的结论


或
综合结论（不讨论）
——————


根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是


（1）时，； （2）时，
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：
（1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况：
若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求；
（2） 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或

例3：1．若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是（        ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
由可得，
令，由已知可得，解得，
故选：A.
2．若函数的两个零点分别为，且有，试求出的取值范围．
【答案】.
【分析】
根据题意，利用二次函数的性质和根的分布，列出不等式组，即可求出实数的取值范围．
【详解】
令，
则得的取值范围是．
故实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．

举一反三
1．已知y＝（x－m）（x－n）＋2022 （m