河北省邯郸市育华中学2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

育华中学2021-2022九年级上学期期中考试数学试卷

一．选择题（共16小题，1-10题每题3分，11-16每题2分，共42分）

1．下列用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．    B． C． D．

2．已知⊙O的直径为12cm，如果圆心O到一条直线的距离为7cm，那么这条直线与这个圆的位置关系是（　　）

A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切

3．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，a）与点Q（b，1）关于原点对称，则a+b的值为（　　）

A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3

4．二次函数y＝x2﹣2x+1与x轴交点的情况是（　　）

A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点

5．如图，⨀O的半径为2，△ABC内接于⨀O，∠A＝30°，则弦BC的长为（　　）

A．2 B． C．2 D．2

6．如图所示的正方形网格中，A，B，C三点均在格点上，那么△ABC的外接圆圆心是（　　）

A．点E B．点F C．点G D．点H

7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转130°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为（　　）

A．65° B．50° C．25° D．15°

8．如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD＝8m，桥拱半径OC＝5m，则水面宽AB＝（　　）

A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m

9．如果抛物线y＝2x2﹣4x+m的顶点关于原点对称点的坐标是（﹣1，﹣3），那么m的值是（　　）

A．5 B．﹣3 C．﹣9 D．﹣1

10．下列说法：

①平分弦的直径垂直于弦  

②三点确定一个圆，

③相等的圆心角所对的弧相等

④垂直于半径的直线是圆的切线 

⑤三角形的内心到三条边的距离相等

其中不正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．如图，线段AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，∠E＝42°，则∠CDB等于（　　）

A．22° B．24° C．28° D．48°

12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＜0；③线段BC移动形成的阴影部分的面积为4；④若c＝﹣1，则b2＝4a．其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

13．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧BC上的点，且∠CAD＝20°，则∠ACD的度数为（　　）

A．70° B．80° C．90° D．100°

14．点P（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+mx+5的图象上，则2a﹣b的最大值等于（　　）

A．4 B．﹣4 C．﹣4.5 D．4.5

15．如图，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点．且，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD＝BD；②∠MAN＝90°；③；④∠ACM+∠ANM＝∠MOB；⑤AEMF；⑥FM=FN．其中正确结论的结论共有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

16．如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，则t的取值错误的是（　　）

A．t＝2.5 B．t＝3 C．t＝3.5 D．t＝4

二．填空题（共3小题，17、18每题3分，19题每空2分，共12分）

17．若抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴的一个交点为（3，0），则与x轴的另一个交点的坐标为 　       　．

18．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，顶点B在x轴负半轴上，∠ABO＝90°．将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为　      　．

19．如图，半圆O的直径AB＝4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在AQ（弧）上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．

①发现：∠POQ为定值，∠POQ=      　；

②思考：点M与AB的最大距离为　           　，点M与AB的最小距离为　           　。

三．解答题（共7小题，共66分）

20．（8分）已知数轴上三点M、O、N对应的数分别为﹣1、0、3．点P为数轴上任意一点，且表示的数为x．

（1）则MN的长为　 　个单位长度；

（2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是　 　；

（3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值：若不存在，请说明理由．

21．（9分）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3＝﹣9，

（1）若把实数对（﹣5，2）放入其中，得到的实数是　     　．

（2）若实数（m，﹣3m）放入其中，得到实数4，求m的值．

（3）小明说，若把实数对（n，3n﹣1）放入其中，得到的实数可能小于-15，你认为小明的说法正确吗？为什么？

22．（9分）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，OP＝1，求BC的长．

23．（9分）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．

（1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是　   　，AE与BC的位置关系是　   　．

（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；

（3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值　        　．

24．（9分）如图，在△ABE中，BE＞AE，延长BE到点D，使DE＝BE，延长AE到点C，使CE＝AE．以点E为圆心，分别以BE、AE为半径作大小两个半圆，连结CD．

（1）求证：AB＝CD；

（2）设小半圆与BD相交于点M，BE＝2AE＝4．

①当S△ABE取得最大值时，求其最大值以及CD的长；

②当AB恰好与小半圆相切时，求弧AM的角度．

25．（10分）如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．

（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；

（2）设点P的纵坐标为yP，求yP的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；

（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．

26．（12分）某公司计划试销一种商品，现准备从此种商品 A，B 两品牌中选择一个品牌进行销售，设每月销售量为x台。若销售A品牌的商品，每台商品的进价为5万元，售价为m（m 是常数，6≤m ≤10）万元，每月还需支出其他费用10万元，设每月获得的利润为y，（万元）；若销售B品牌的商品，每月获得的利润y，（万元）与x（台）的函数图象如图（抛物线的一部分），其中P为抛物线的顶点。

（1）分别求出y，为，与x的函数关系式；

（2）已知4月份只销售A品牌的商品，5月份只销售B品牌的商品，若两个月的销售量相同，所获得的利润均为20万元，求 m的值;

（3）已知受条件限制，每月最多销售A品牌商品30台，每月最多销售B品牌商品40台，且一个月只能销售一个品牌，为获得最大月利润，该公司应该选择销售哪种品牌的商品?请说明理由。

参考答案

一．选择题（共16小题）

1．C； 2．A； 3．C； 4．B； 5．A； 6．C； 7．C； 8．D； 9．A； 10．D； 

11．B； 12．B； 13．D； 14．B； 15．C； 16．A； 

二．填空题（共3小题）

17．（﹣1，0）； 18．（，2）； 19．①60°；②，； 

三．解答题（共7小题）

20．解：（1）MN的长＝3﹣（﹣1）＝4，故答案为：4；

（2）∵点P到点M、点N的距离相等，

∴3﹣x＝x﹣（﹣1），

∴x＝1，

故答案为：1；

①当点P在点M的左侧时．

根据题意得：﹣1﹣x+3﹣x＝8．

解得：x＝﹣3．

②P在点M和点N之间时，PN+PM＝4，不合题意．

③点P在点N的右侧时，x﹣（﹣1）+x﹣3＝8．

解得：x＝5．

故x的值是﹣3或5．

21．解：（1）26

（2）根据题意得，m2+2×（﹣3m）﹣3＝4，

解得m1＝7，m2＝﹣1，

（3）不正确，n2+2(3n-1)-3=(n+3)2﹣14≥-14

22．（1）证明：连接OB，如图，

∵OP⊥OA，

∴∠AOP＝90°，

∴∠A+∠APO＝90°，

∵OA＝OB，

∴∠A＝∠OBA，

∵CP＝CB，

∴∠CPB＝∠CBP，

而∠CPB＝∠APO，

∴∠APO＝∠CBP，

∴∠OBC＝∠CBP+∠OBA＝∠APO+∠A＝90°

∴OB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：设BC＝x，则PC＝x，

在Rt△OBC中，OB＝3，OC＝CP+OP＝x+1，

∵OB2+BC2＝OC2，

∴32+x2＝（x+1）2，解得x＝4，

即BC的长为4．

23．解：（1）如图，设AC与DE交于点H，

在等腰直角△ABC和△ADE中，

∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，

∵DE⊥AC，

∴∠DAH＝∠EAH∠DAE＝45°，

∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAH＝45°，

∴∠BAD＝∠DAH，

∴AD⊥BC，

∵∠EAH＝∠C＝45°，

∴AE∥BC，

故答案为：垂直，平行；

（2）在等腰直角△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝90°，

在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，

∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，

∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝135°，

∴∠BEC＝∠AEC﹣45°＝135°﹣45°＝90°；

（3）如图，

因为△ABD的外心在边BD上时，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，

所以旋转角为90°或270°．

24．解：（1）在△ABE和△CDE中，

，

∴△ABE≌△CDE（SAS），

∴AB＝CD，

（2）①当AE⊥BE时，S△ABE取得最大值，

S△ABE最大值，

在Rt△ABE中，

，

∴，

②当AB恰好与小半圆相切时，AB⊥AE，

∵在Rt△ABE中，BE＝2AE＝4，

∴AE＝2，

∴∠ABE＝30°，

∴∠BEA＝60°，

∴∠AEM＝120°

25．解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），

∴﹣2＝（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，

解得，m＝﹣1，

∴抛物线F的表达式是：y＝x2+2x﹣1；

（2）当x＝﹣2时，yp＝4+4m+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，

∴当m＝﹣2时，yp取得最小值，最小值是﹣2，

此时抛物线F的表达式是：y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，

∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，

∵x1＜x2≤﹣2，

∴y1＞y2；

（3）m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，

理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），

∴或或，

解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4．

26．解：（1）根据题意，得y1=（m-5）x-10，

∵抛物线的顶点坐标为（50，100），

∴设y2与x的函数关系式为y2=a（x-50）²+100，

∵抛物线经过点（30，80），

∴80=a(x-50)2++100，解得a=

∴y2=(x-50)2+100

（2）由题意，得(x-50)2+100=20，

解得x1=90，x2=10，

当x1=90时，y1=（m-5）×90-10=20，

解得m=（舍去），

当x2=10时，y1=（m-5）×10-10=20，解得m=8.

（3）∵m-5>0,

∴x=30时，y1最大，最大值为y1=（m-5）×30-10=30m-160,

∵抛物线的对称轴为直线x=50，

∴当0≤x≤50时，y2随x的增大而增大，

∴当x=40时，y2最大，最大值为(40-50)2+100 =95（万元）.

①当30m-160=95时，解得m=8.5;

②当30m-160>95时，解得m>8.5;

③当30m-160<95时，解得m<8.5，

∵6≤m≤10,

∴当m=8.5时，销售A，B两种品牌的商品所获得最大利润相同，两种均可选择;

当6≤m<8.5时，销售B品牌的商品最大利润比较高，选择销售 B品牌;

当8.5<m≤10时，销售A品牌的商品最大利润比较高，选择销售 A品牌。