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2021-2022学年湖北省武汉六中上智中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）
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这是一份2021-2022学年湖北省武汉六中上智中学九年级（上）月考数学试卷（9月份），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉六中上智中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．菱形
2．（3分）一元二次方程2x2＝x﹣3的二次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，﹣1 B．2，3 C．﹣1，3 D．﹣1，2
3．（3分）已知m是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的一个根，则2021﹣m2+4m的值为（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．2020 D．2022
4．（3分）抛物线y＝﹣2x2经过平移后得到y＝﹣2（x+3）2﹣4，其平移方法是（ ）
A．向右平移3个单位，再向下平移4个单位
B．向右平移3个单位，再向上平移4个单位
C．向左平移3个单位，再向下平移4个单位
D．向左平移3个单位，再向上平移4个单位
5．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转n度（0＜n＜180）得到△EDC，若CE∥AB，则n的值为（ ）
A．65 B．90 C．95 D．125
6．（3分）某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为（ ）
A．n2＝a B．（1+n）2＝a C．1+n+n2＝a D．n+n2＝a
7．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（﹣0.5，y1），B（2.5，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＝y2＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y2＝y3 D．y3＜y1＝y2
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣1与二次函数y＝kx2+3的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点A（p，0）（p是常数，且p＞1），第一次爬到射线OA绕O点逆时针旋转60°方向上的A1点，且OA1＝pOA；第二次爬到射线OA1绕O点逆时针旋转60°方向上的A2点，且OA2＝pOA1；…；第2021次爬行到A2021点的坐标是（ ）
A．（p2021，0） B．
C．（﹣p2021，0） D．
10．（3分）当m≤x≤m+1时，函数y＝x2﹣4|x|+2的最大值为2，则m满足的条件为（ ）
A．﹣1＜m≤0 B．m＝﹣4或3或﹣1≤m≤0
C．m＝﹣4或﹣1＜m≤0 D．m＝﹣4或3
二、填空题（共6小题，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是 ．
12．（3分）抛物线y＝x2+2x+2的顶点坐标是 ．
13．（3分）二次函数y＝kx2﹣3x+1的图象与x轴有公共点，则常数k的取值范围是 ．
14．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来共滑行 ．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象经过（﹣1，0），对称轴为x＝2．下列4个结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③一元二次方程cx2+bx+a＝0两根为﹣1和；④不等式a（x+1）（x﹣5）＜﹣3的解集满足x＜﹣1或x＞5．其中正确的结论序号是 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB+AC＝a（a＞0），将CB绕C顺时针旋转120°得CD，当DA长的最小值为时，a的值为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+2x＝0；
（2）4x2﹣x﹣9＝0．
18．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的长方形场地？
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22+3x1x2＝6，求k的值．
20．（8分）如图所示，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立平面直角坐标系，格点△ABC的顶点坐标分别为A（1，4）、B（6，4）、C（2，0），请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列作图（要求保留必要的作图痕迹），并回答下列问题：
（1）在AB上找点E，使∠ACE＝45°．
（2）点A关于直线BC的对称点为D，在BD上找点F，使BF＝BE．
（3）将线段AC绕点Q逆时针方向旋转90°得到线段BH，使点C的对应点为点B，画出线段BH，并写出点Q的坐标 ．
21．（8分）如图，抛物线y1＝﹣x﹣3与直线y2＝﹣x﹣1交于A、B两点．
（1）直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围．
（2）点C在抛物线上，点D在直线AB上，当四边形AODC是平行四边形时，求点C的横坐标．
22．（10分）某宾馆有50间相同的客房，当房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．统计表明：当房价每上调10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对有客人居住的房间每天支出20元的各种费用．设该宾馆房价上调x元（x为10的正整数倍）时，相应的住房数为y间．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）房价为多少时，宾馆的利润最大？最大利润是多少？
（3）若老板决定每住进去一间房就捐出a元（0＜a≤40）给当地福利院，同时要保证房间定价在180元至360元之间波动时（包括两端点），利润随x的增大而增大，求a的取值范围．
23．（10分）在△ABE和△CDE中，∠ABE＝∠DCE＝90°，AB＝BE，CD＝CE．
（1）连接AD、BC，点M、N分别为AD、BC的中点，连接MN，
①如图1，当B、E、C三点在一条直线上时，MN与BC关系是 ．
②如图2，当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转时，①中的结论还成立吗？如果成立，请证明你的结论；如果不成立，请说明理由．
（2）如图3，当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转时，连接AC、BD，点P、Q分别为BD、AC的中点，连接PQ，若AB＝13，CD＝5，则PQ的最大值是 ，此时以A、B、C、D为顶点的四边形的面积为 ．
24．（12分）已知抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C（0，3），顶点坐标（﹣2，﹣1）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点D在第二象限的抛物线上，且∠CBO＝∠CBD，求点D的坐标．
（3）如图2，将抛物线平移至顶点与原点重合得到新抛物线，M、N在新抛物线上且M在N的左侧，过M、N的两条直线与抛物线均有唯一的公共点，且两条直线交于点E，过E作EF∥y轴交MN于F，交抛物线于G，求证：G是EF中点．
2021-2022学年湖北省武汉六中上智中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．菱形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）一元二次方程2x2＝x﹣3的二次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，﹣1 B．2，3 C．﹣1，3 D．﹣1，2
【分析】根据一元二次方程的一般形式找出二次项系数和常数项即可．
【解答】解：2x2＝x﹣3，
2x2﹣x+3＝0，
故一元二次方程2x2＝x﹣3的二次项系数和常数项分别是2，3．
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，且一般形式为ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）．
3．（3分）已知m是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的一个根，则2021﹣m2+4m的值为（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．2020 D．2022
【分析】把x＝m代入方程x2﹣4x+1＝0得m2﹣4m＝﹣1，再把2021﹣m2+4m变形为2021﹣（m2﹣4m），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣4x+1＝0得m2﹣4m+1＝0，
所以m2﹣4m＝﹣1，
所以2021﹣m2+4m＝2021﹣（m2﹣4m）＝2021﹣（﹣1）＝2022．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．（3分）抛物线y＝﹣2x2经过平移后得到y＝﹣2（x+3）2﹣4，其平移方法是（ ）
A．向右平移3个单位，再向下平移4个单位
B．向右平移3个单位，再向上平移4个单位
C．向左平移3个单位，再向下平移4个单位
D．向左平移3个单位，再向上平移4个单位
【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣4），由此确定平移规律．
【解答】解：∵y＝﹣2（x+3）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣3，﹣4），
∵抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是（0，0），
∴平移的方法可以是：将抛物线y＝﹣2x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转n度（0＜n＜180）得到△EDC，若CE∥AB，则n的值为（ ）
A．65 B．90 C．95 D．125
【分析】由三角形内角和可得∠A＝95°，再根据平行线的性质即可得出答案．
【解答】解：∵∠B＝55°，∠ACB＝30°，
∴∠A＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣85°＝95°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A＝95°，
∴n＝95，
故选：C．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，熟记平行线的性质是解题的关键．
6．（3分）某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为（ ）
A．n2＝a B．（1+n）2＝a C．1+n+n2＝a D．n+n2＝a
【分析】第一轮分裂成n个细胞，第二轮分裂成n•n＝n2个细胞，结合题意可得答案．
【解答】解：设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为n2＝a，
故选：A．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮分裂后细胞的人数，再根据题意得出第二轮分裂后细胞的人数，而已知第二轮分裂后细胞的人数，故可得方程．
7．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（﹣0.5，y1），B（2.5，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＝y2＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y2＝y3 D．y3＜y1＝y2
【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x＝1，图象开口向上；利用二次函数的对称性和增减性即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝3（x﹣1）2+h，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∵A（﹣0.5，y1）关于直线x＝1的对称点为（2.5，y1），
∴y1＝y2＜y3，
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣1与二次函数y＝kx2+3的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝kx﹣1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝kx2+3的图象相比是否一致．
【解答】解：由一次函数y＝kx﹣1可知，直线与y轴的交点为（0，﹣1），由二次函数y＝kx2+3可知，抛物线与y轴的交点为（0，3），
故选项B、D不可能；
A、由抛物线可知，k＜0，由直线可知，k＞0，故选项A不可能；
C、由抛物线可知，k＜0，由直线可知，k＜0，故选项C有可能；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象，一次函数的图象，熟练掌握一次函数和二次函数的性质是解题的关键．
9．（3分）在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点A（p，0）（p是常数，且p＞1），第一次爬到射线OA绕O点逆时针旋转60°方向上的A1点，且OA1＝pOA；第二次爬到射线OA1绕O点逆时针旋转60°方向上的A2点，且OA2＝pOA1；…；第2021次爬行到A2021点的坐标是（ ）
A．（p2021，0） B．
C．（﹣p2021，0） D．
【分析】由题意知：每6次为一组循环，探究规律解决问题即可．
【解答】解：由题意知：每6次为一组循环，
∵2021÷6＝336……5，
∴A2021点第四象限，OA2021＝p2022，
∴点A2021的横坐标为p2022，纵坐标为﹣，
∴A2021 （p2022，﹣），
故选：D．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
10．（3分）当m≤x≤m+1时，函数y＝x2﹣4|x|+2的最大值为2，则m满足的条件为（ ）
A．﹣1＜m≤0 B．m＝﹣4或3或﹣1≤m≤0
C．m＝﹣4或﹣1＜m≤0 D．m＝﹣4或3
【分析】根据题意画出函数的抛物线，再分三种情况进行讨论．
【解答】解：y＝x2﹣4|x|+2＝，
当x＞0时，图象在y轴右侧，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣2），
当x＜0时，图象在y轴左侧，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2），
当x＝0时，y＝2，
如图所示：
①当m+1＜0时，y＝2时，x2+4x+2＝2，
解得：x＝﹣4，
∵m≤x≤m+1时，函数y＝x2﹣4|x|+2的最大值为2，
∴m＝﹣4；
②当m＞0时，y＝2时，x2﹣4x+2＝2，
解得：x＝4，
∵m≤x≤m+1时，函数y＝x2﹣4|x|+2的最大值为2，
∴m+1＝4，即m＝3，
③当原点在m和m+1之间即m+1≥0，且m≤0时，y有最大值为2，
∴﹣1≤m≤0，
综上，m＝﹣4或m＝3或﹣1≤m≤0，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的抛物线的性质，解题的关键是把二次函数写成分段函数．
二、填空题（共6小题，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是 （3，﹣1） ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标的特征解决此题．
【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特征，得点P（﹣3，1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
【点评】本题主要考查关于原点对称的点的坐标的特征，熟练掌握关于原点对称的点的坐标的特征是解决本题的关键．
12．（3分）抛物线y＝x2+2x+2的顶点坐标是 （﹣1，1） ．
【分析】将抛物线解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将函数解析式化为顶点式．
13．（3分）二次函数y＝kx2﹣3x+1的图象与x轴有公共点，则常数k的取值范围是 k≤且k≠0 ．
【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到△＝（﹣3）2﹣4k×1≥0，然后解不等式即可得到k的值．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣3x+1的图象与x轴有公共点，
∴△＝（﹣3）2﹣4k×1≥0，
解得：k≤，
又∵y＝kx2﹣4x+2是二次函数，
∴k≠0，
∴k的取值范围是k≤且k≠0．
故答案为：k≤且k≠0．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：当Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来共滑行 750m ．
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出y的最大值即可得．
【解答】解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，
∴当t＝25时，y取得最大值750，
即飞机着陆后滑行750米才能停下来，
故答案为：750m．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为y的最大值是解题的关键．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象经过（﹣1，0），对称轴为x＝2．下列4个结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③一元二次方程cx2+bx+a＝0两根为﹣1和；④不等式a（x+1）（x﹣5）＜﹣3的解集满足x＜﹣1或x＞5．其中正确的结论序号是 ① ．
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣4a，则可对①进行判断；利用x＝﹣3时，y＜0可对②进行判断；根据二次利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），即可得到ax2+bx+c＝0的两个根为﹣1和5，根据根与系数的关系得到﹣＝﹣，＝﹣，可对③进行判断；利用抛物线在x轴下方对应的自变量的范围可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），
∴ax2+bx+c＝0的两个根为﹣1和5，
∴﹣＝﹣1+5＝4，＝﹣1×5＝﹣5，
∴﹣＝﹣，＝﹣，
∵﹣1×≠﹣，
∴﹣1×≠，
∴一元二次方程cx2+bx+a＝0两根不是﹣1和，所以③错误；
∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（5，0），
∴当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，
∴不等式a（x+1）（x﹣5）＜0的解集满足x＜﹣1或x＞5．所以④错误；
故答案为①．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB+AC＝a（a＞0），将CB绕C顺时针旋转120°得CD，当DA长的最小值为时，a的值为 ．
【分析】由旋转的性质可得BC＝CD，∠BCD＝120°，∠ACH＝120°，AC＝CH＝x，由“SAS”可证△ABC≌△HDC，可得AB＝DH＝a﹣x，∠BAC＝∠DHC＝120°，由勾股定理和二次函数的性质可求解．
【解答】解：如图，将AC绕C顺时针旋转120°得CH，连接AH，DH，过点C作CG⊥AH于G，
设AC＝x，则AB＝a﹣x，
∵将CB绕C顺时针旋转120°得CD，
∴BC＝CD，∠BCD＝120°，
∵将AC绕C顺时针旋转120°得CH，
∴∠ACH＝120°，AC＝CH＝x，
∴∠CAH＝∠CHA＝30°，∠BCD＝∠ACH，
∴∠BCA＝∠DCH，
∵CG⊥AH，
∴CG＝CH＝，AG＝GH＝x，
∴AH＝x，
在△ABC和△HDC中，
，
∴△ABC≌△HDC（SAS），
∴AB＝DH＝a﹣x，∠BAC＝∠DHC＝120°，
∴∠AHD＝90°，
∴AD2＝DH2+AH2＝（a﹣x）2+3x2＝（2x﹣a）2+a2≥a2，
∵DA长的最小值为，
∴＝，
∴a＝，
故答案为．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+2x＝0；
（2）4x2﹣x﹣9＝0．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用公式法解方程．
【解答】解：（1）x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2；
（2）∵Δ＝（﹣1）2﹣4×4×（﹣9）＝145，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
18．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的长方形场地？
【分析】设垂直于墙的一边长xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解．
【解答】解：设垂直于墙的一边长xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，
由题意得x（20﹣2x）＝50，
解得：x1＝x2＝5，
（20﹣2×5）＝10（m）．
答：长方形场地的长和宽分别为：10m，5m．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，表示出长方形场地的面积是解题关键．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22+3x1x2＝6，求k的值．
【分析】（1）根据方程有实数根得出Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2+k）≥0，解之即可得出答案；
（2）根据韦达定理得出x1+x2＝2k，x1x2＝k2+k，代入x12+x22+3x1x2＝6，即（x1+x2）2+x1x2＝6可得（2k2）+（k2+k）＝6，解之即可得出k的值，再结合（1）中条件取舍即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2+k）≥0，
解得k≤0；
（2）根据题意，得：x1+x2＝2k，x1x2＝k2+k，
∵x12+x22+3x1x2＝6，
∴（x1+x2）2+x1x2＝6，
∴（2k）2+（k2+k）＝6，
解得k＝1或k＝﹣，
∵k≤0，
∴k＝﹣．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组；（2）牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”．
20．（8分）如图所示，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立平面直角坐标系，格点△ABC的顶点坐标分别为A（1，4）、B（6，4）、C（2，0），请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列作图（要求保留必要的作图痕迹），并回答下列问题：
（1）在AB上找点E，使∠ACE＝45°．
（2）点A关于直线BC的对称点为D，在BD上找点F，使BF＝BE．
（3）将线段AC绕点Q逆时针方向旋转90°得到线段BH，使点C的对应点为点B，画出线段BH，并写出点Q的坐标 （2，4） ．
【分析】（1）取格点T，W，连接AT，BW交于点J，作射线CJ交AB于点E，点E即为所求．
（2）根据对称性作出点D，取格点R，连接CR交BD于点F，点D，F即为所求．
（3）利用旋转变换的性质，作出点Q，线段BH即可．
【解答】解：（1）如图，点E即为所求．
（2）如图，点D，点F即为所求．
（3）如图，点Q，线段BH即为所求，Q（2，4），
故答案为：（2，4）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，线段的垂直平分线的性质，轴对称变换等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
21．（8分）如图，抛物线y1＝﹣x﹣3与直线y2＝﹣x﹣1交于A、B两点．
（1）直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围．
（2）点C在抛物线上，点D在直线AB上，当四边形AODC是平行四边形时，求点C的横坐标．
【分析】（1）首先将两个函数关系式联立成方程组，解方程组求得A，B坐标；利用函数的图象，发现抛物线在直线AB下方的部分满足条件，结合图象指出对应部分的x的值即可；
（2）利用抛物线y1＝﹣x﹣3求出点A的坐标，得到线段AO的长，利用平行四边形的对边相等，AO＝DC＝2和平行线之间的距离相等，列出方程组，解方程组即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：
，
解得：，．
∴A（﹣2，0），B（4，﹣3）．
由函数的图象，发现抛物线在直线AB下方的部分满足条件y1＜y2，
∴当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：﹣2＜x＜4．
（2）如下图，当四边形AODC是平行四边形时，则CD＝AO．
设C（a，a2﹣a﹣3），D（b，﹣b﹣1），
∵CD∥OA，
∴﹣a﹣3＝﹣b﹣1．
即．
由（1）知：A（﹣2，0），
∴OA＝2．
∴CD＝2．
∴b﹣a＝2．
∴，
解得：，．
∴点C的横坐标为1﹣或1．
【点评】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，二元一次方程组的解法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
22．（10分）某宾馆有50间相同的客房，当房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．统计表明：当房价每上调10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对有客人居住的房间每天支出20元的各种费用．设该宾馆房价上调x元（x为10的正整数倍）时，相应的住房数为y间．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）房价为多少时，宾馆的利润最大？最大利润是多少？
（3）若老板决定每住进去一间房就捐出a元（0＜a≤40）给当地福利院，同时要保证房间定价在180元至360元之间波动时（包括两端点），利润随x的增大而增大，求a的取值范围．
【分析】（1）根据利润＝利润率×成本，总利润＝单件利润×销售量列式计算即可；
（2）根据题意得到函数解析式，然后根据二次函数的性质即可得到答案；
（3）根据二次函数的性质得到对称轴方程，解不等式即可确定a的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝50﹣＝﹣0.1x+50（0≤x≤160且x≠2）；
（2）由题意知：w＝（180+x﹣20）（﹣0.1x+50）＝﹣0.1x2+34x+8000，
函数的对称轴为x＝170，
∵﹣0.1＜0，故w有最大值，此时w为10890，
即房价为350元时，宾馆当天利润w最大，最大值为10890元；
（3）由题意得：w＝（﹣0.1x+50）（180+x﹣20﹣a）＝﹣0.1（x﹣500）（x+160﹣a），
函数的对称轴为x＝（500﹣160+a），
∵要保证房间定价在180元至360元之间波动且利润w随x的增大而增大，
∵0≤x≤160且x≠2，
∴x＝（500﹣160+a）≥360﹣180，解得a≥20，
故20≤a≤40．
【点评】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的数量关系．
23．（10分）在△ABE和△CDE中，∠ABE＝∠DCE＝90°，AB＝BE，CD＝CE．
（1）连接AD、BC，点M、N分别为AD、BC的中点，连接MN，
①如图1，当B、E、C三点在一条直线上时，MN与BC关系是 MN⊥BC，MN＝BC ．
②如图2，当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转时，①中的结论还成立吗？如果成立，请证明你的结论；如果不成立，请说明理由．
（2）如图3，当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转时，连接AC、BD，点P、Q分别为BD、AC的中点，连接PQ，若AB＝13，CD＝5，则PQ的最大值是 9 ，此时以A、B、C、D为顶点的四边形的面积为 72 ．
【分析】（1）①延长CM、BA交于R，连接BM，证明△DMC≌△AMR（AAS），得CM＝RM，CD＝AR，从而BR＝BC，△BCR是等腰直角三角形，可得MN⊥BC，MN＝BC；
②过A作AF∥CD交CM延长线于F，连接BF，证明△DMC≌△AMF（AAS），得CM＝FM，∠FAM＝∠CDM，可得∠BAF＝∠BEC，从而△FAB≌△CEB（SAS），即得BC＝BF，∠EBC＝∠ABF，可求出△FBC是等腰直角三角形，△BCM是等腰直角三角形，故MN⊥BC，MN＝BC；
（2）连接CP并延长至T，使PT＝CP，连接AT、BT，证明△CPD≌△TPB（SAS），得BT＝CE＝CD＝5，△ABT中，AB+BT＞AT，即知PQ＜9，故当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转至A、B、T共线时，PQ最大，最大值为（AB+BT）＝9，S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD＝AB•BC+CD•BC＝72．
【解答】解：（1）①延长CM、BA交于R，连接BM，如图：
∵∠ABE＝∠DCE＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠DCM＝∠R，
∵M是AD中点，
∴DM＝AM，
∵∠DMC＝∠AMR，
∴△DMC≌△AMR（AAS），
∴CM＝RM，CD＝AR，
∵AB＝BE，CD＝CE．
∴AB+AR＝BE+CE，即BR＝BC，
而∠ABE＝90°，
∴△BCR是等腰直角三角形，
∵CM＝RM，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∵N为BC中点，
∴MN⊥BC，MN＝BC；
故答案为：MN⊥BC，MN＝BC；
②结论还成立，证明如下：
过A作AF∥CD交CM延长线于F，连接BF，如图：
∵AF∥CD，
∴∠DCM＝∠AFM，
∵∵M是AD中点，
∴DM＝AM，
又∠DMC＝∠AMF，
∴△DMC≌△AMF（AAS），
∴CM＝FM，∠FAM＝∠CDM，
∵∠CDM＝∠CDE+∠EDA＝45°+∠EDA，
∴∠FAM＝45°+∠EDA，
∴∠EAF＝∠FAM+∠EAD＝45°+∠EDA+∠EAD＝45°+（180°﹣∠AED）＝225°﹣∠AED，
∴∠BAF＝360°﹣∠EAF﹣∠EAB＝360°﹣（225°﹣∠AED）﹣45°＝90°+∠AED，
而∠BEC＝∠BEA+∠AED+∠CED＝45°+∠AED+45°＝90°+∠AED，
∴∠BAF＝∠BEC，
∵AB＝BE，AF＝CD＝CE，
∴△FAB≌△CEB（SAS），
∴BC＝BF，∠EBC＝∠ABF，
∵∠EBC+∠ABC＝90°，
∴∠ABF+∠ABC＝90°，即∠FBC＝90°，
∴△FBC是等腰直角三角形，
∵CM＝FM，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∵N是BC中点，
∴MN⊥BC，MN＝BC；
（2）连接CP并延长至T，使PT＝CP，连接AT、BT，如图：
∵Q是AC中点，PT＝CP，
∴AT＝2PQ，
∵P是BC中点，
∴DP＝BP，
∵PT＝CP，∠CPD＝∠TPB，
∴△CPD≌△TPB（SAS），
∴BT＝CE＝CD＝5，
△ABT中，AB+BT＞AT，
∴AT＜13+5，即2PQ＜18，
∴PQ＜9，
当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转至A、B、T共线（不能构成△ABT）时，如图：
此时PQ最大，最大值为（AB+BT）＝9，
此时C在BE上，S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD＝AB•BC+CD•BC＝×13×（13﹣5）+×5×8＝72，
故答案为：9，72．
【点评】本题考查旋转变换中的全等三角形，涉及等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质、三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
24．（12分）已知抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C（0，3），顶点坐标（﹣2，﹣1）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点D在第二象限的抛物线上，且∠CBO＝∠CBD，求点D的坐标．
（3）如图2，将抛物线平移至顶点与原点重合得到新抛物线，M、N在新抛物线上且M在N的左侧，过M、N的两条直线与抛物线均有唯一的公共点，且两条直线交于点E，过E作EF∥y轴交MN于F，交抛物线于G，求证：G是EF中点．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）方法一：如图1（a），过点D作DE∥x轴交BC于点E，作DH⊥BC于点H，过点E作EF⊥x轴于点F，利用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝3x+3，设D（t，r），r＝（t+2）2﹣1＝t2+4t+3，则E（，t2+4t+3），利用cos∠CBO＝＝和cos∠DEB＝cos∠CBO，＝，可得出答案；方法二：如图1（b），过点C作CH⊥BD于点H，过点H作HK⊥OA于点K，连接OH交BC于点L，利用△BCH≌△BCO（AAS）和×OH×BC＝OB×OC，求得OH＝，设H（x，y），则HK＝y，BK＝﹣1﹣x，OK＝﹣x，运用勾股定理建立方程求得H（﹣，），再求出直线BH的解析式为y＝﹣x﹣，联立方程组求解即可；
（3）将抛物线y＝（x+2）2﹣1平移至顶点与原点重合得到新抛物线y＝x2，设M（m，m2），N（n，n2），利用待定系数法求得直线EM解析式为y＝2mx﹣m2，直线EN解析式为y＝2nx﹣n2，联立方程组求得E（，mn），再运用待定系数法求出直线MN解析式为y＝（m+n）x﹣mn，根据EF∥y轴，分别求出F（，），G（，），即可证得结论．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）2﹣1，将点C（0，3）代入，
得：3＝a×（0+2）2﹣1，
解得：a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣1．
（2）方法一：在y＝（x+2）2﹣1中，令y＝0，得：（x+2）2﹣1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1，
∴A（﹣3，0），B（﹣1，0），
如图1（a），过点D作DE∥x轴交BC于点E，作DH⊥BC于点H，过点E作EF⊥x轴于点F，
则∠DEB＝∠CBO，∠DHE＝∠EOB＝90°，
设直线BC的解析式为y＝ex+f，把B（﹣1，0），C（0，3）代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝3x+3，
设D（t，r），r＝（t+2）2﹣1＝t2+4t+3，
∵DE∥x轴，
∴点E的纵坐标为t2+4t+3，
∴t2+4t+3＝3x+3，
解得：x＝，
∴E（，t2+4t+3），
∴BF＝﹣（﹣1）＝，DE＝﹣t＝，
在Rt△BOC中，OB＝1，OC＝3，
∴BC＝＝＝，
∵cos∠CBO＝＝，
∴BE＝＝＝（t2+4t+3），
∵∠CBO＝∠CBD，
∴∠DEB＝∠CBD，
∴DE＝DB，
∵DH⊥BC，
∴BH＝EH＝BE＝（t2+4t+3），
∵cos∠DEB＝cos∠CBO，
∴＝，即＝，
∴4t2+19t+15＝0，
解得：t＝﹣1（舍去）或t＝﹣，
当t＝﹣时，r＝（t+2）2﹣1＝（﹣+2）2﹣1＝，
∴点D的坐标为（，）．
方法二：过点C作CH⊥BD于点H，过点H作HK⊥OA于点K，连接OH交BC于点L，如图1（b），
在y＝（x+2）2﹣1中，令y＝0，得：（x+2）2﹣1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1，
∴A（﹣3，0），B（﹣1，0），
∴OB＝1，OC＝3，
∴BC＝＝＝，
∵∠CBO＝∠CBD，CH⊥BD，CO⊥BO，
∴∠BHC＝∠BOC＝90°，
∵BC＝BC，
∴△BCH≌△BCO（AAS），
∴BH＝OB＝1，CH＝CO＝3，
∴BC⊥OH，OL＝HL，
∵×OH×BC＝OB×OC，
∴OH＝6，
∴OH＝，
设H（x，y），则HK＝y，BK＝﹣1﹣x，OK＝﹣x，
∵HK2+BK2＝BH2，HK2+OK2＝OH2，
∴BH2﹣BK2＝OH2﹣OK2，
∴12﹣（﹣1﹣x）2＝（）2﹣（﹣x）2，
解得：x＝﹣，
∴y＝HK＝＝，
∴H（﹣，），
设直线BH的解析式为y＝kx+b，
∵B（﹣1，0），H（﹣，），
∴，
解得：，
∴直线BH的解析式为y＝﹣x﹣，
联立方程组，得，
解得：，，
∴点D的坐标为（，）．
（3）∵将抛物线y＝（x+2）2﹣1平移至顶点与原点重合得到新抛物线y＝x2，
设M（m，m2），N（n，n2），
设直线EM解析式为y＝k1（x﹣m）+m2，
由x2＝k1（x﹣m）+m2，得：x2﹣k1x+k1m﹣m2＝0，
∵直线EM与抛物线有唯一的公共点，
∴Δ＝k12﹣4（k1m﹣m2）＝（k1﹣2m）2＝0，
∴k1＝2m，
∴直线EM解析式为y＝2m（x﹣m）+m2，即y＝2mx﹣m2，
同理，设直线EN解析式为y＝k2（x﹣n）+n2，
∴k2＝2n，
∴直线EN解析式为y＝2n（x﹣n）+n2，即y＝2nx﹣n2，
联立方程组，得：，
解得：，
∴E（，mn），
设直线MN解析式为y＝kx+b，
∵M（m，m2），N（n，n2），
∴，
解得：，
∴直线MN解析式为y＝（m+n）x﹣mn，
∵EF∥y轴，
∴F（，），G（，），
∵+mn＝，×2＝，
∴G是EF中点．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数性质的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，中点坐标公式，利用参数求出EM，EN，MN的解析式是本题的关键．
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2021-2022学年湖北省武汉六中上智中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．菱形
2．（3分）一元二次方程2x2＝x﹣3的二次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，﹣1 B．2，3 C．﹣1，3 D．﹣1，2
3．（3分）已知m是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的一个根，则2021﹣m2+4m的值为（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．2020 D．2022
4．（3分）抛物线y＝﹣2x2经过平移后得到y＝﹣2（x+3）2﹣4，其平移方法是（ ）
A．向右平移3个单位，再向下平移4个单位
B．向右平移3个单位，再向上平移4个单位
C．向左平移3个单位，再向下平移4个单位
D．向左平移3个单位，再向上平移4个单位
5．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转n度（0＜n＜180）得到△EDC，若CE∥AB，则n的值为（ ）
A．65 B．90 C．95 D．125
6．（3分）某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为（ ）
A．n2＝a B．（1+n）2＝a C．1+n+n2＝a D．n+n2＝a
7．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（﹣0.5，y1），B（2.5，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＝y2＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y2＝y3 D．y3＜y1＝y2
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣1与二次函数y＝kx2+3的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点A（p，0）（p是常数，且p＞1），第一次爬到射线OA绕O点逆时针旋转60°方向上的A1点，且OA1＝pOA；第二次爬到射线OA1绕O点逆时针旋转60°方向上的A2点，且OA2＝pOA1；…；第2021次爬行到A2021点的坐标是（ ）
A．（p2021，0） B．
C．（﹣p2021，0） D．
10．（3分）当m≤x≤m+1时，函数y＝x2﹣4|x|+2的最大值为2，则m满足的条件为（ ）
A．﹣1＜m≤0 B．m＝﹣4或3或﹣1≤m≤0
C．m＝﹣4或﹣1＜m≤0 D．m＝﹣4或3
二、填空题（共6小题，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是 ．
12．（3分）抛物线y＝x2+2x+2的顶点坐标是 ．
13．（3分）二次函数y＝kx2﹣3x+1的图象与x轴有公共点，则常数k的取值范围是 ．
14．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来共滑行 ．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象经过（﹣1，0），对称轴为x＝2．下列4个结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③一元二次方程cx2+bx+a＝0两根为﹣1和；④不等式a（x+1）（x﹣5）＜﹣3的解集满足x＜﹣1或x＞5．其中正确的结论序号是 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB+AC＝a（a＞0），将CB绕C顺时针旋转120°得CD，当DA长的最小值为时，a的值为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+2x＝0；
（2）4x2﹣x﹣9＝0．
18．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的长方形场地？
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22+3x1x2＝6，求k的值．
20．（8分）如图所示，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立平面直角坐标系，格点△ABC的顶点坐标分别为A（1，4）、B（6，4）、C（2，0），请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列作图（要求保留必要的作图痕迹），并回答下列问题：
（1）在AB上找点E，使∠ACE＝45°．
（2）点A关于直线BC的对称点为D，在BD上找点F，使BF＝BE．
（3）将线段AC绕点Q逆时针方向旋转90°得到线段BH，使点C的对应点为点B，画出线段BH，并写出点Q的坐标 ．
21．（8分）如图，抛物线y1＝﹣x﹣3与直线y2＝﹣x﹣1交于A、B两点．
（1）直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围．
（2）点C在抛物线上，点D在直线AB上，当四边形AODC是平行四边形时，求点C的横坐标．
22．（10分）某宾馆有50间相同的客房，当房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．统计表明：当房价每上调10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对有客人居住的房间每天支出20元的各种费用．设该宾馆房价上调x元（x为10的正整数倍）时，相应的住房数为y间．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）房价为多少时，宾馆的利润最大？最大利润是多少？
（3）若老板决定每住进去一间房就捐出a元（0＜a≤40）给当地福利院，同时要保证房间定价在180元至360元之间波动时（包括两端点），利润随x的增大而增大，求a的取值范围．
23．（10分）在△ABE和△CDE中，∠ABE＝∠DCE＝90°，AB＝BE，CD＝CE．
（1）连接AD、BC，点M、N分别为AD、BC的中点，连接MN，
①如图1，当B、E、C三点在一条直线上时，MN与BC关系是 ．
②如图2，当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转时，①中的结论还成立吗？如果成立，请证明你的结论；如果不成立，请说明理由．
（2）如图3，当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转时，连接AC、BD，点P、Q分别为BD、AC的中点，连接PQ，若AB＝13，CD＝5，则PQ的最大值是 ，此时以A、B、C、D为顶点的四边形的面积为 ．
24．（12分）已知抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C（0，3），顶点坐标（﹣2，﹣1）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点D在第二象限的抛物线上，且∠CBO＝∠CBD，求点D的坐标．
（3）如图2，将抛物线平移至顶点与原点重合得到新抛物线，M、N在新抛物线上且M在N的左侧，过M、N的两条直线与抛物线均有唯一的公共点，且两条直线交于点E，过E作EF∥y轴交MN于F，交抛物线于G，求证：G是EF中点．
2021-2022学年湖北省武汉六中上智中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．菱形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）一元二次方程2x2＝x﹣3的二次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，﹣1 B．2，3 C．﹣1，3 D．﹣1，2
【分析】根据一元二次方程的一般形式找出二次项系数和常数项即可．
【解答】解：2x2＝x﹣3，
2x2﹣x+3＝0，
故一元二次方程2x2＝x﹣3的二次项系数和常数项分别是2，3．
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，且一般形式为ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）．
3．（3分）已知m是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的一个根，则2021﹣m2+4m的值为（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．2020 D．2022
【分析】把x＝m代入方程x2﹣4x+1＝0得m2﹣4m＝﹣1，再把2021﹣m2+4m变形为2021﹣（m2﹣4m），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣4x+1＝0得m2﹣4m+1＝0，
所以m2﹣4m＝﹣1，
所以2021﹣m2+4m＝2021﹣（m2﹣4m）＝2021﹣（﹣1）＝2022．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．（3分）抛物线y＝﹣2x2经过平移后得到y＝﹣2（x+3）2﹣4，其平移方法是（ ）
A．向右平移3个单位，再向下平移4个单位
B．向右平移3个单位，再向上平移4个单位
C．向左平移3个单位，再向下平移4个单位
D．向左平移3个单位，再向上平移4个单位
【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣4），由此确定平移规律．
【解答】解：∵y＝﹣2（x+3）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣3，﹣4），
∵抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是（0，0），
∴平移的方法可以是：将抛物线y＝﹣2x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转n度（0＜n＜180）得到△EDC，若CE∥AB，则n的值为（ ）
A．65 B．90 C．95 D．125
【分析】由三角形内角和可得∠A＝95°，再根据平行线的性质即可得出答案．
【解答】解：∵∠B＝55°，∠ACB＝30°，
∴∠A＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣85°＝95°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A＝95°，
∴n＝95，
故选：C．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，熟记平行线的性质是解题的关键．
6．（3分）某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为（ ）
A．n2＝a B．（1+n）2＝a C．1+n+n2＝a D．n+n2＝a
【分析】第一轮分裂成n个细胞，第二轮分裂成n•n＝n2个细胞，结合题意可得答案．
【解答】解：设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为n2＝a，
故选：A．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮分裂后细胞的人数，再根据题意得出第二轮分裂后细胞的人数，而已知第二轮分裂后细胞的人数，故可得方程．
7．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（﹣0.5，y1），B（2.5，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＝y2＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y2＝y3 D．y3＜y1＝y2
【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x＝1，图象开口向上；利用二次函数的对称性和增减性即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝3（x﹣1）2+h，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∵A（﹣0.5，y1）关于直线x＝1的对称点为（2.5，y1），
∴y1＝y2＜y3，
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣1与二次函数y＝kx2+3的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝kx﹣1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝kx2+3的图象相比是否一致．
【解答】解：由一次函数y＝kx﹣1可知，直线与y轴的交点为（0，﹣1），由二次函数y＝kx2+3可知，抛物线与y轴的交点为（0，3），
故选项B、D不可能；
A、由抛物线可知，k＜0，由直线可知，k＞0，故选项A不可能；
C、由抛物线可知，k＜0，由直线可知，k＜0，故选项C有可能；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象，一次函数的图象，熟练掌握一次函数和二次函数的性质是解题的关键．
9．（3分）在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点A（p，0）（p是常数，且p＞1），第一次爬到射线OA绕O点逆时针旋转60°方向上的A1点，且OA1＝pOA；第二次爬到射线OA1绕O点逆时针旋转60°方向上的A2点，且OA2＝pOA1；…；第2021次爬行到A2021点的坐标是（ ）
A．（p2021，0） B．
C．（﹣p2021，0） D．
【分析】由题意知：每6次为一组循环，探究规律解决问题即可．
【解答】解：由题意知：每6次为一组循环，
∵2021÷6＝336……5，
∴A2021点第四象限，OA2021＝p2022，
∴点A2021的横坐标为p2022，纵坐标为﹣，
∴A2021 （p2022，﹣），
故选：D．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
10．（3分）当m≤x≤m+1时，函数y＝x2﹣4|x|+2的最大值为2，则m满足的条件为（ ）
A．﹣1＜m≤0 B．m＝﹣4或3或﹣1≤m≤0
C．m＝﹣4或﹣1＜m≤0 D．m＝﹣4或3
【分析】根据题意画出函数的抛物线，再分三种情况进行讨论．
【解答】解：y＝x2﹣4|x|+2＝，
当x＞0时，图象在y轴右侧，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣2），
当x＜0时，图象在y轴左侧，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2），
当x＝0时，y＝2，
如图所示：
①当m+1＜0时，y＝2时，x2+4x+2＝2，
解得：x＝﹣4，
∵m≤x≤m+1时，函数y＝x2﹣4|x|+2的最大值为2，
∴m＝﹣4；
②当m＞0时，y＝2时，x2﹣4x+2＝2，
解得：x＝4，
∵m≤x≤m+1时，函数y＝x2﹣4|x|+2的最大值为2，
∴m+1＝4，即m＝3，
③当原点在m和m+1之间即m+1≥0，且m≤0时，y有最大值为2，
∴﹣1≤m≤0，
综上，m＝﹣4或m＝3或﹣1≤m≤0，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的抛物线的性质，解题的关键是把二次函数写成分段函数．
二、填空题（共6小题，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是 （3，﹣1） ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标的特征解决此题．
【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特征，得点P（﹣3，1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
【点评】本题主要考查关于原点对称的点的坐标的特征，熟练掌握关于原点对称的点的坐标的特征是解决本题的关键．
12．（3分）抛物线y＝x2+2x+2的顶点坐标是 （﹣1，1） ．
【分析】将抛物线解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将函数解析式化为顶点式．
13．（3分）二次函数y＝kx2﹣3x+1的图象与x轴有公共点，则常数k的取值范围是 k≤且k≠0 ．
【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到△＝（﹣3）2﹣4k×1≥0，然后解不等式即可得到k的值．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣3x+1的图象与x轴有公共点，
∴△＝（﹣3）2﹣4k×1≥0，
解得：k≤，
又∵y＝kx2﹣4x+2是二次函数，
∴k≠0，
∴k的取值范围是k≤且k≠0．
故答案为：k≤且k≠0．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：当Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来共滑行 750m ．
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出y的最大值即可得．
【解答】解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，
∴当t＝25时，y取得最大值750，
即飞机着陆后滑行750米才能停下来，
故答案为：750m．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为y的最大值是解题的关键．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象经过（﹣1，0），对称轴为x＝2．下列4个结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③一元二次方程cx2+bx+a＝0两根为﹣1和；④不等式a（x+1）（x﹣5）＜﹣3的解集满足x＜﹣1或x＞5．其中正确的结论序号是 ① ．
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣4a，则可对①进行判断；利用x＝﹣3时，y＜0可对②进行判断；根据二次利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），即可得到ax2+bx+c＝0的两个根为﹣1和5，根据根与系数的关系得到﹣＝﹣，＝﹣，可对③进行判断；利用抛物线在x轴下方对应的自变量的范围可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），
∴ax2+bx+c＝0的两个根为﹣1和5，
∴﹣＝﹣1+5＝4，＝﹣1×5＝﹣5，
∴﹣＝﹣，＝﹣，
∵﹣1×≠﹣，
∴﹣1×≠，
∴一元二次方程cx2+bx+a＝0两根不是﹣1和，所以③错误；
∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（5，0），
∴当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，
∴不等式a（x+1）（x﹣5）＜0的解集满足x＜﹣1或x＞5．所以④错误；
故答案为①．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB+AC＝a（a＞0），将CB绕C顺时针旋转120°得CD，当DA长的最小值为时，a的值为 ．
【分析】由旋转的性质可得BC＝CD，∠BCD＝120°，∠ACH＝120°，AC＝CH＝x，由“SAS”可证△ABC≌△HDC，可得AB＝DH＝a﹣x，∠BAC＝∠DHC＝120°，由勾股定理和二次函数的性质可求解．
【解答】解：如图，将AC绕C顺时针旋转120°得CH，连接AH，DH，过点C作CG⊥AH于G，
设AC＝x，则AB＝a﹣x，
∵将CB绕C顺时针旋转120°得CD，
∴BC＝CD，∠BCD＝120°，
∵将AC绕C顺时针旋转120°得CH，
∴∠ACH＝120°，AC＝CH＝x，
∴∠CAH＝∠CHA＝30°，∠BCD＝∠ACH，
∴∠BCA＝∠DCH，
∵CG⊥AH，
∴CG＝CH＝，AG＝GH＝x，
∴AH＝x，
在△ABC和△HDC中，
，
∴△ABC≌△HDC（SAS），
∴AB＝DH＝a﹣x，∠BAC＝∠DHC＝120°，
∴∠AHD＝90°，
∴AD2＝DH2+AH2＝（a﹣x）2+3x2＝（2x﹣a）2+a2≥a2，
∵DA长的最小值为，
∴＝，
∴a＝，
故答案为．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+2x＝0；
（2）4x2﹣x﹣9＝0．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用公式法解方程．
【解答】解：（1）x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2；
（2）∵Δ＝（﹣1）2﹣4×4×（﹣9）＝145，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
18．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的长方形场地？
【分析】设垂直于墙的一边长xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解．
【解答】解：设垂直于墙的一边长xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，
由题意得x（20﹣2x）＝50，
解得：x1＝x2＝5，
（20﹣2×5）＝10（m）．
答：长方形场地的长和宽分别为：10m，5m．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，表示出长方形场地的面积是解题关键．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22+3x1x2＝6，求k的值．
【分析】（1）根据方程有实数根得出Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2+k）≥0，解之即可得出答案；
（2）根据韦达定理得出x1+x2＝2k，x1x2＝k2+k，代入x12+x22+3x1x2＝6，即（x1+x2）2+x1x2＝6可得（2k2）+（k2+k）＝6，解之即可得出k的值，再结合（1）中条件取舍即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2+k）≥0，
解得k≤0；
（2）根据题意，得：x1+x2＝2k，x1x2＝k2+k，
∵x12+x22+3x1x2＝6，
∴（x1+x2）2+x1x2＝6，
∴（2k）2+（k2+k）＝6，
解得k＝1或k＝﹣，
∵k≤0，
∴k＝﹣．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组；（2）牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”．
20．（8分）如图所示，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立平面直角坐标系，格点△ABC的顶点坐标分别为A（1，4）、B（6，4）、C（2，0），请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列作图（要求保留必要的作图痕迹），并回答下列问题：
（1）在AB上找点E，使∠ACE＝45°．
（2）点A关于直线BC的对称点为D，在BD上找点F，使BF＝BE．
（3）将线段AC绕点Q逆时针方向旋转90°得到线段BH，使点C的对应点为点B，画出线段BH，并写出点Q的坐标 （2，4） ．
【分析】（1）取格点T，W，连接AT，BW交于点J，作射线CJ交AB于点E，点E即为所求．
（2）根据对称性作出点D，取格点R，连接CR交BD于点F，点D，F即为所求．
（3）利用旋转变换的性质，作出点Q，线段BH即可．
【解答】解：（1）如图，点E即为所求．
（2）如图，点D，点F即为所求．
（3）如图，点Q，线段BH即为所求，Q（2，4），
故答案为：（2，4）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，线段的垂直平分线的性质，轴对称变换等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
21．（8分）如图，抛物线y1＝﹣x﹣3与直线y2＝﹣x﹣1交于A、B两点．
（1）直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围．
（2）点C在抛物线上，点D在直线AB上，当四边形AODC是平行四边形时，求点C的横坐标．
【分析】（1）首先将两个函数关系式联立成方程组，解方程组求得A，B坐标；利用函数的图象，发现抛物线在直线AB下方的部分满足条件，结合图象指出对应部分的x的值即可；
（2）利用抛物线y1＝﹣x﹣3求出点A的坐标，得到线段AO的长，利用平行四边形的对边相等，AO＝DC＝2和平行线之间的距离相等，列出方程组，解方程组即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：
，
解得：，．
∴A（﹣2，0），B（4，﹣3）．
由函数的图象，发现抛物线在直线AB下方的部分满足条件y1＜y2，
∴当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：﹣2＜x＜4．
（2）如下图，当四边形AODC是平行四边形时，则CD＝AO．
设C（a，a2﹣a﹣3），D（b，﹣b﹣1），
∵CD∥OA，
∴﹣a﹣3＝﹣b﹣1．
即．
由（1）知：A（﹣2，0），
∴OA＝2．
∴CD＝2．
∴b﹣a＝2．
∴，
解得：，．
∴点C的横坐标为1﹣或1．
【点评】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，二元一次方程组的解法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
22．（10分）某宾馆有50间相同的客房，当房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．统计表明：当房价每上调10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对有客人居住的房间每天支出20元的各种费用．设该宾馆房价上调x元（x为10的正整数倍）时，相应的住房数为y间．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）房价为多少时，宾馆的利润最大？最大利润是多少？
（3）若老板决定每住进去一间房就捐出a元（0＜a≤40）给当地福利院，同时要保证房间定价在180元至360元之间波动时（包括两端点），利润随x的增大而增大，求a的取值范围．
【分析】（1）根据利润＝利润率×成本，总利润＝单件利润×销售量列式计算即可；
（2）根据题意得到函数解析式，然后根据二次函数的性质即可得到答案；
（3）根据二次函数的性质得到对称轴方程，解不等式即可确定a的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝50﹣＝﹣0.1x+50（0≤x≤160且x≠2）；
（2）由题意知：w＝（180+x﹣20）（﹣0.1x+50）＝﹣0.1x2+34x+8000，
函数的对称轴为x＝170，
∵﹣0.1＜0，故w有最大值，此时w为10890，
即房价为350元时，宾馆当天利润w最大，最大值为10890元；
（3）由题意得：w＝（﹣0.1x+50）（180+x﹣20﹣a）＝﹣0.1（x﹣500）（x+160﹣a），
函数的对称轴为x＝（500﹣160+a），
∵要保证房间定价在180元至360元之间波动且利润w随x的增大而增大，
∵0≤x≤160且x≠2，
∴x＝（500﹣160+a）≥360﹣180，解得a≥20，
故20≤a≤40．
【点评】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的数量关系．
23．（10分）在△ABE和△CDE中，∠ABE＝∠DCE＝90°，AB＝BE，CD＝CE．
（1）连接AD、BC，点M、N分别为AD、BC的中点，连接MN，
①如图1，当B、E、C三点在一条直线上时，MN与BC关系是 MN⊥BC，MN＝BC ．
②如图2，当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转时，①中的结论还成立吗？如果成立，请证明你的结论；如果不成立，请说明理由．
（2）如图3，当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转时，连接AC、BD，点P、Q分别为BD、AC的中点，连接PQ，若AB＝13，CD＝5，则PQ的最大值是 9 ，此时以A、B、C、D为顶点的四边形的面积为 72 ．
【分析】（1）①延长CM、BA交于R，连接BM，证明△DMC≌△AMR（AAS），得CM＝RM，CD＝AR，从而BR＝BC，△BCR是等腰直角三角形，可得MN⊥BC，MN＝BC；
②过A作AF∥CD交CM延长线于F，连接BF，证明△DMC≌△AMF（AAS），得CM＝FM，∠FAM＝∠CDM，可得∠BAF＝∠BEC，从而△FAB≌△CEB（SAS），即得BC＝BF，∠EBC＝∠ABF，可求出△FBC是等腰直角三角形，△BCM是等腰直角三角形，故MN⊥BC，MN＝BC；
（2）连接CP并延长至T，使PT＝CP，连接AT、BT，证明△CPD≌△TPB（SAS），得BT＝CE＝CD＝5，△ABT中，AB+BT＞AT，即知PQ＜9，故当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转至A、B、T共线时，PQ最大，最大值为（AB+BT）＝9，S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD＝AB•BC+CD•BC＝72．
【解答】解：（1）①延长CM、BA交于R，连接BM，如图：
∵∠ABE＝∠DCE＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠DCM＝∠R，
∵M是AD中点，
∴DM＝AM，
∵∠DMC＝∠AMR，
∴△DMC≌△AMR（AAS），
∴CM＝RM，CD＝AR，
∵AB＝BE，CD＝CE．
∴AB+AR＝BE+CE，即BR＝BC，
而∠ABE＝90°，
∴△BCR是等腰直角三角形，
∵CM＝RM，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∵N为BC中点，
∴MN⊥BC，MN＝BC；
故答案为：MN⊥BC，MN＝BC；
②结论还成立，证明如下：
过A作AF∥CD交CM延长线于F，连接BF，如图：
∵AF∥CD，
∴∠DCM＝∠AFM，
∵∵M是AD中点，
∴DM＝AM，
又∠DMC＝∠AMF，
∴△DMC≌△AMF（AAS），
∴CM＝FM，∠FAM＝∠CDM，
∵∠CDM＝∠CDE+∠EDA＝45°+∠EDA，
∴∠FAM＝45°+∠EDA，
∴∠EAF＝∠FAM+∠EAD＝45°+∠EDA+∠EAD＝45°+（180°﹣∠AED）＝225°﹣∠AED，
∴∠BAF＝360°﹣∠EAF﹣∠EAB＝360°﹣（225°﹣∠AED）﹣45°＝90°+∠AED，
而∠BEC＝∠BEA+∠AED+∠CED＝45°+∠AED+45°＝90°+∠AED，
∴∠BAF＝∠BEC，
∵AB＝BE，AF＝CD＝CE，
∴△FAB≌△CEB（SAS），
∴BC＝BF，∠EBC＝∠ABF，
∵∠EBC+∠ABC＝90°，
∴∠ABF+∠ABC＝90°，即∠FBC＝90°，
∴△FBC是等腰直角三角形，
∵CM＝FM，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∵N是BC中点，
∴MN⊥BC，MN＝BC；
（2）连接CP并延长至T，使PT＝CP，连接AT、BT，如图：
∵Q是AC中点，PT＝CP，
∴AT＝2PQ，
∵P是BC中点，
∴DP＝BP，
∵PT＝CP，∠CPD＝∠TPB，
∴△CPD≌△TPB（SAS），
∴BT＝CE＝CD＝5，
△ABT中，AB+BT＞AT，
∴AT＜13+5，即2PQ＜18，
∴PQ＜9，
当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转至A、B、T共线（不能构成△ABT）时，如图：
此时PQ最大，最大值为（AB+BT）＝9，
此时C在BE上，S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD＝AB•BC+CD•BC＝×13×（13﹣5）+×5×8＝72，
故答案为：9，72．
【点评】本题考查旋转变换中的全等三角形，涉及等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质、三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
24．（12分）已知抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C（0，3），顶点坐标（﹣2，﹣1）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点D在第二象限的抛物线上，且∠CBO＝∠CBD，求点D的坐标．
（3）如图2，将抛物线平移至顶点与原点重合得到新抛物线，M、N在新抛物线上且M在N的左侧，过M、N的两条直线与抛物线均有唯一的公共点，且两条直线交于点E，过E作EF∥y轴交MN于F，交抛物线于G，求证：G是EF中点．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）方法一：如图1（a），过点D作DE∥x轴交BC于点E，作DH⊥BC于点H，过点E作EF⊥x轴于点F，利用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝3x+3，设D（t，r），r＝（t+2）2﹣1＝t2+4t+3，则E（，t2+4t+3），利用cos∠CBO＝＝和cos∠DEB＝cos∠CBO，＝，可得出答案；方法二：如图1（b），过点C作CH⊥BD于点H，过点H作HK⊥OA于点K，连接OH交BC于点L，利用△BCH≌△BCO（AAS）和×OH×BC＝OB×OC，求得OH＝，设H（x，y），则HK＝y，BK＝﹣1﹣x，OK＝﹣x，运用勾股定理建立方程求得H（﹣，），再求出直线BH的解析式为y＝﹣x﹣，联立方程组求解即可；
（3）将抛物线y＝（x+2）2﹣1平移至顶点与原点重合得到新抛物线y＝x2，设M（m，m2），N（n，n2），利用待定系数法求得直线EM解析式为y＝2mx﹣m2，直线EN解析式为y＝2nx﹣n2，联立方程组求得E（，mn），再运用待定系数法求出直线MN解析式为y＝（m+n）x﹣mn，根据EF∥y轴，分别求出F（，），G（，），即可证得结论．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）2﹣1，将点C（0，3）代入，
得：3＝a×（0+2）2﹣1，
解得：a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣1．
（2）方法一：在y＝（x+2）2﹣1中，令y＝0，得：（x+2）2﹣1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1，
∴A（﹣3，0），B（﹣1，0），
如图1（a），过点D作DE∥x轴交BC于点E，作DH⊥BC于点H，过点E作EF⊥x轴于点F，
则∠DEB＝∠CBO，∠DHE＝∠EOB＝90°，
设直线BC的解析式为y＝ex+f，把B（﹣1，0），C（0，3）代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝3x+3，
设D（t，r），r＝（t+2）2﹣1＝t2+4t+3，
∵DE∥x轴，
∴点E的纵坐标为t2+4t+3，
∴t2+4t+3＝3x+3，
解得：x＝，
∴E（，t2+4t+3），
∴BF＝﹣（﹣1）＝，DE＝﹣t＝，
在Rt△BOC中，OB＝1，OC＝3，
∴BC＝＝＝，
∵cos∠CBO＝＝，
∴BE＝＝＝（t2+4t+3），
∵∠CBO＝∠CBD，
∴∠DEB＝∠CBD，
∴DE＝DB，
∵DH⊥BC，
∴BH＝EH＝BE＝（t2+4t+3），
∵cos∠DEB＝cos∠CBO，
∴＝，即＝，
∴4t2+19t+15＝0，
解得：t＝﹣1（舍去）或t＝﹣，
当t＝﹣时，r＝（t+2）2﹣1＝（﹣+2）2﹣1＝，
∴点D的坐标为（，）．
方法二：过点C作CH⊥BD于点H，过点H作HK⊥OA于点K，连接OH交BC于点L，如图1（b），
在y＝（x+2）2﹣1中，令y＝0，得：（x+2）2﹣1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1，
∴A（﹣3，0），B（﹣1，0），
∴OB＝1，OC＝3，
∴BC＝＝＝，
∵∠CBO＝∠CBD，CH⊥BD，CO⊥BO，
∴∠BHC＝∠BOC＝90°，
∵BC＝BC，
∴△BCH≌△BCO（AAS），
∴BH＝OB＝1，CH＝CO＝3，
∴BC⊥OH，OL＝HL，
∵×OH×BC＝OB×OC，
∴OH＝6，
∴OH＝，
设H（x，y），则HK＝y，BK＝﹣1﹣x，OK＝﹣x，
∵HK2+BK2＝BH2，HK2+OK2＝OH2，
∴BH2﹣BK2＝OH2﹣OK2，
∴12﹣（﹣1﹣x）2＝（）2﹣（﹣x）2，
解得：x＝﹣，
∴y＝HK＝＝，
∴H（﹣，），
设直线BH的解析式为y＝kx+b，
∵B（﹣1，0），H（﹣，），
∴，
解得：，
∴直线BH的解析式为y＝﹣x﹣，
联立方程组，得，
解得：，，
∴点D的坐标为（，）．
（3）∵将抛物线y＝（x+2）2﹣1平移至顶点与原点重合得到新抛物线y＝x2，
设M（m，m2），N（n，n2），
设直线EM解析式为y＝k1（x﹣m）+m2，
由x2＝k1（x﹣m）+m2，得：x2﹣k1x+k1m﹣m2＝0，
∵直线EM与抛物线有唯一的公共点，
∴Δ＝k12﹣4（k1m﹣m2）＝（k1﹣2m）2＝0，
∴k1＝2m，
∴直线EM解析式为y＝2m（x﹣m）+m2，即y＝2mx﹣m2，
同理，设直线EN解析式为y＝k2（x﹣n）+n2，
∴k2＝2n，
∴直线EN解析式为y＝2n（x﹣n）+n2，即y＝2nx﹣n2，
联立方程组，得：，
解得：，
∴E（，mn），
设直线MN解析式为y＝kx+b，
∵M（m，m2），N（n，n2），
∴，
解得：，
∴直线MN解析式为y＝（m+n）x﹣mn，
∵EF∥y轴，
∴F（，），G（，），
∵+mn＝，×2＝，
∴G是EF中点．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数性质的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，中点坐标公式，利用参数求出EM，EN，MN的解析式是本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/9/20 17:01:18；用户：东西湖区轻松国文培训学校；邮箱：qsgwpx@xyh.com；学号：44874092
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