湖南师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学试卷word版含解析

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湖南师范大学附属中学2021-2022学年高一第一学期入学考试数学一､选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列图中阴影部分面积与算式的结果相同的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先求代数式的值，再求各选项中阴影部分的面积，从而可得正确的选项.【详解】.对于A，根据割补法可得阴影部分的面积为1，对于B，阴影部分的面积为，
 对于C，图象与坐标轴的三个交点坐标分别为，故阴影部分的面积为，对于D，阴影部分的面积为，故选：B.2. 下列命题中正确的个数有（    ）①实数不是有理数就是无理数；②；③121的平方根是；④在实数范围内，非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据实数的分类可判断①的正误，根据反例可判断②④⑤的正误，根据平方根的定义可判断③的正误.【详解】任意一个实数，要么是有理数，要么是无理数，故①正确.取，则，故②错误.因为，故121的平方根是，故③正确.是非负数，且为实数，故④错误.均为无理数，但为有理数，故⑤错误.故选：B.3. 某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游.甲旅行社告知：父母买全票，女儿按半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费.若这两家旅行社每人的原标价相同，那么（    ）A. 甲比乙更优惠 B. 乙比甲更优惠C. 甲与乙相同 D. 与原标价有关【答案】B【解析】【分析】设两家旅行社每人的原标价为，根据题设条件分别计算该家庭在不同优惠方案下的费用，从而可得正确的选项.【详解】设两家旅行社每人的原标价为，按甲旅行社的方案，该家庭旅游费用为；按乙旅行社的方案，该家庭旅游费用为；因为，所以乙比甲更优惠，故选：B.4. 如图，，半径为2的切于点，若将在上向右滚动，则当滚动到与也相切时，圆心移动的水平距离为（    ）A.  B.  C.  D. 4【答案】C【解析】【分析】设与AC相切于点E，与BC相切与点F，连接OC，OE，OF，根据切线长定理可得：∠BCO＝30°，然后利用30°角所对直角边是斜边的一半得OC＝4，在中，依据勾股定理即可得出CF长度，即为圆心O水平移动的距离【详解】解：如图，设滚动到如图位置时，与AC相切于点E，与BC相切与点F，连接OC，OE，OF，∵与AC和BC都相切，E和F为切点，∴，∵∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴在中，，∴，∴圆心O水平移动的距离为，故选：C5. 平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有个，最少有个，则等于（    ）A. 36 B. 37 C. 38 D. 39【答案】B【解析】【分析】当9条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，通过计算即可得出答案.【详解】当9条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，；任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，且任意三条直线不过同一点，此时交点为：；.故选：B.二､填空题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）6. 甲､乙两人骑自行车，同时从相距两地相向而行，甲､乙两人的速度和为，则经过___________，两人相遇.【答案】2【解析】【分析】根据时间、速度、路程之间的关系可求相遇时间.【详解】设甲､乙两人的速度分别为（单位为），设经过时间小时后，两人相遇，则，故（），故答案为：2.7. 若化简结果为，则的取值范围是___________.【答案】.【解析】【分析】根号下配方、去根号，根据去绝对值结果判断即可.【详解】，.故答案为：.8. 某校把学生的笔试､实践能力和成长记录三项成绩分别按50%､20%和30%的比例计人学期总评成绩，90分以上为优秀.甲､乙､丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是___________. 笔试实践能力成长记录甲908395乙889095丙90-8890 【答案】甲,乙【解析】【分析】分别规则计算甲乙丙的总评成绩，与90比较大小即可.【详解】由题意知：甲的学期总评成绩为： 乙的学期总评成绩为: 丙的学期总评成绩为：故甲乙的总评成绩为90分以上，故答案为：甲乙9. 已知点是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点在轴的负半轴上，且（为坐标原点），则的面积为___________.【答案】【解析】【分析】求出点的坐标，即解方程组，再根据三角形面积公式可求的面积【详解】解：依题意得，解得，∴，∴，∴，故答案为：10. 如果多项式可以分解成两个一次因式的积，那么整数的值是___________.【答案】或或【解析】【分析】把分解为两个整数的积的形式，即可求得相应的的值，即可求解.【详解】由题意，把分解为两个整数的积的形式有：；；；；；，所以的值为；；；；；，所以的值为或或.故答案为：或或.11. 如图所示，是边长为1的正三角形的边上一点，从向作垂线为垂足.延长与的延长线交于，设与的面积之和为，把表示为的函数：___________.【答案】【解析】【分析】根据三角函数分别表示 的长度，即可表示两个三角形的面积，进而求出函数表达式.【详解】因为 ,所以 进而可得，因此，故答案为：12. 已知为方程的两实根，则___________.【答案】7【解析】【分析】根据可得，再利用韦达定理可求代数式的值.【详解】因为为方程的两实根，故，所以，故，故，故答案为：7.13. 小明､小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫作难题，2人解出的题叫作中档题，3人都解出的题叫作容易题，那么难题比容易题多___________道.【答案】20【解析】【分析】设x道难题，y道中档题，z道容易题，得到两条方程，然后消可得，即可得到答案详解】解：设x道难题，y道中档题，z道容易题，依题意得①×2−②，得，∴难题比容易题多20道，故答案为：20三､解答题（本大题6小题，共72分）14. 在中，.的垂直平分线分别交于两点，连接，如果，求的值.【答案】【解析】【分析】可证，从而可求的值.【详解】因为为中垂线，故，而，故，所以，而，故所以，故，所以，故，所以.15. 某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产某种活塞.现有甲､乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示.经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元. 甲乙价格（万元/台）75每台日产量（个）10060 （1）按该公司的要求，可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？【答案】（1）3    （2）购进1台甲种机器，5台乙种机器【解析】【分析】（1）根据两种机器的数量关系即可列出关于 的不等式，即可求解（2）根据日产量不能低于380个可列出 的一元一次不等式即可求解 的范围，进而可得购买方案，进而求出所需资金，比较即可得到结论.【小问1详解】设甲种机器购买台，则乙种机器购买台，根据题意可得：，解得 ，由于为整数，故 可取0，1，2，因此有三种购买方案：购进0台甲种机器，6台乙种机器；购进1台甲种机器，5台乙种机器；购进2台甲种机器，4台乙种机器；【小问2详解】由题意可得：，解得 ，又 且 为整数，故 或 ，共有两种购买方案：方案一：购进1台甲种机器，5台乙种机器；所需资金为：万元， 方案二：购进2台甲种机器，4台乙种机器；所需资金为： 万元，由于 ，故为了节约资金，应该选择方案一：购进1台甲种机器，5台乙种机器；16. 如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中，，为了合理利用这块钢板，将在五边形内截取一个矩形，使点在上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率.【答案】80%【解析】【分析】根据题意画图分析，设，则面积，根据三角形相似可得到，两式可得到，最后根据自变量的范围求最值，即可得到答案【详解】解：如图所示，为了表达矩形的面积，设，则面积①，∵点在上，由得，即②，将②代入①，得，因为，而不在自变量的取值范围内，所以不是最值点，当时，；当时，，故面积的最大值是，此时，钢板的最大利用率是，17. 如图所示，在等腰梯形中，，对角线与交于，点分别是的中点.求证：是等边三角形.【答案】证明见解析【解析】【分析】如图，取分别为，连接，可得、，从而可得是等边三角形.【详解】如图，取分别为，连接.因为四边形为等腰梯形，所以，而，，故，所以，因为，故，故为等边三角形，同理为等边三角形，故因为分别为的中点，故，而，故.又分别为的中点，故，因，故，所以，所以四边形为平行四边形，故且.而，，所以，又，所以，所以，所以.同理，所以，故，即是等边三角形.18. 如图所示，直线是一次函数的图象，点的坐标是，点在直线上，且为等腰三角形，求点坐标.【答案】C点的坐标为【解析】【分析】分别以OA为一腰，且以A为顶点，以OA为一腰，且以O为顶点和以OA为底边三种情况进行分类讨论得到点坐标【详解】若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则.设，则得，解得或(舍去)，得；若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则.不妨设，则得，解得，∴，又由点与点关于原点对称，得；若此等腰三角形以OA为底边，则的纵坐标为1，从而其横坐标为，得.所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：19. 已知关于的方程有两个正整数根（是整数）.的三边满足.求：（1）的值；（2）的面积.【答案】（1）    （2）1【解析】【分析】（1）根据方程可得两根分别为，再根据两根为整数可求.（2）根据（1）中的结果可判断三角形为直角三角形，从而可求面积.【小问1详解】因为关于的方程有两个正整数根（是整数），所以，又，故两根分别为.由两根为整数，故为整数，所以即，当时，，此数不是整数，故舍去.当时，，所以（舍）或（舍）.当时，，舍.当时，，所以或.故.【小问2详解】由（1）可得或.若，则，故为直角三角形，为直角，