专题05 函数性质压轴小题-【备考集训】2022-2023学年高一数学上学期专题训练+期中期末全真模拟卷(人教A版2019必修第一册)

专题05  函数性质压轴小题

训练卷评讲中的考点、题型、知识与技巧点拨总结

1、常规：奇偶性和单调性基础应用。如第1题

2、难题：构造函数，生成新函数，寻找是否具有奇偶性和单调性。如第2题

3、难点扩展: 广义的奇函数（中心对称），广义的偶函数（轴对称）。如第3题

4、“放大镜函数”：函数数形结合一个画图难点。如第4题

5、函数性质与恒成立，是函数综合应用的热点和难点，如第5题

6、复合二次型函数，换元→双坐标系→研究交点和方程的根（根的分布）。如第6题

7、抽象函数恒等式应用：（1）奇偶性；(2)单调性；（3）特殊值赋值；（4）定义域内解不等式。如第7题

8、含参讨论，繁琐的讨论分类是难点，寻找合适的讨论点。如第8题

9、研究以对勾函数，高斯函数为代表的“特殊”函数，如第9,、10题

10、k保值区间函数及其性质，如第11题

专题集训题选

1.已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

题目比较综合，先要通过的奇偶性，列出关于的方程组，用方程组的方法求出关于的解析式，，可以变形为，是单调性的定义，说明构造新函数之后，函数在单调递增，最后根据新函数在区间的单调性，可以分类讨论得到函数中参数的范围

【详解】

由题得：是奇函数，所以；是偶函数，所以

将代入得：

联立 解得：

 ，等价于，

即：，令，则在单增

①当时，函数的对称轴为，所以在单增

②当时，函数的对称轴为，若在单增，则，得：

③当时，单增，满足题意

综上可得：

故选：C

2.若，则（    ）

A．1 B．0 C．2 D．

【答案】B

【分析】

由，构造函数，可得，再结合的单调性和奇偶性即可求解

【详解】

构造函数， 由，

可得，，且定义域为，

是奇函数，，又易得为上的单调递增函数

故选：B

3.已知定义域为的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数的取值范围是（    ）

A． B．或

C．或 D．或

【答案】D

【分析】

由已知可得函数的对称性，然后结合函数在单调递减，所以可判断在定义域上的单调性，进而利用单调性可解.

【详解】

解：，则关于对称，因为在单调递减，∴在上单调递减，

又∴，∴，

∴或，故选：D.

4.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据题设条件可得当时，，其中，结合函数在上的解析式和函数在的图象可求的取值范围.

【详解】

当时，，故，

因为，

故当时，，，

同理，当时，，依次类推，可得当时，，其中.所以当时，必有.如图所示，因为当时，的取值范围为，

故若对任意，都有，则，令，或，

结合函数的图象可得，故选：D.

5.已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）∪（0，2）

【答案】B

【分析】

先利用函数的奇偶性将已知不等式化为：时，，根据增函数的定义推得函数在上是增函数，从而求得最大值为，然后将已知不等式先对恒成立，再对恒成立，就可以求出的范围

【详解】

解：因为f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，

所以将换为，可得，所以函数在上是增函数，

所以，所以f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，等价于，

即对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，令，则，即，

解得或，故选：B

6.已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最小值是（    ）

A．-9 B．-7 C．-6 D．-4

【答案】C

【分析】

画出函数的图象，对，分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．

【详解】

解：函数的图象如图所示，

①当时，化为，当时，，

由于关于的不等式恰有1个整数解，因此其整数解为2，又，

，，则，当时．由于关于的不等式恰有1个整数解，

因此其整数解为，又，，，则，

②当时，对于，，解得，

只考虑，则，由于时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，，舍去．可得：实数的最小值是．故选：C．

7.若且函数在上单调，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据条件先分析出的奇偶性和单调性，然后根据条件将转化为（为实数），再根据单调性和奇偶性解不等式求出解集.

【详解】

令，所以，所以，

令，所以，

所以且的定义域为关于原点对称，

所以是奇函数；

又因为且在上单调，所以在上单调递增；

又因为，所以，

所以不等式等价于，

又因为在上单调递增，所以，

故选：A.

8.已知函数，当时设的最大值为，则当取到最小值时（    ）

A．0 B．1 C．2 D．

【答案】A

【分析】

由二次函数的性质，求出，结合选项取不同值时的不同情况，进而求出结果.

【详解】

，

当时设的最大值，在端点处或最低点处取得

，最小值为2

，最小值为

，最小值为4.5

，最小值

综上可得，取到最小值时0.

故选：A

9.已知函数，其中，记为的最小值，则当时，的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定的取值范围.

【详解】

①当时，在上单调递增，

所以，因此满足题意；

②当时，在上单调递增，在上单调递减

因此⑴当时，在上单调递增，所以

，

或或

⑵当时，在上单调递增，在上单调递减，

所以；

综上，的取值范围为，故选：D

10.取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例，时．取整函数在现实生活中有着广泛的应用，例如停车收费，出租车收费等都是按“取整函数”进行计费的．以下关于“取整函数”的四个命题：

①，  ②，，则

③，  ④，

其中真命题的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】

当时，，可判定①正确；当时，可判定②不正确；设，可判定③不正确；设，分和讨论，可判定④是正确.

【详解】

①中，当时，，则，可得，则，所以①正确的；

②中，当时，，此时，可得，所以②不正确；

③中，设，

则，

当时，，则，

当时，，则，

所以③不正确；

 ④中，设，

当时，，则，

因为，所以，所以，

当，所以，所以，

因为，所以，所以，

所以④是正确的.

故选：B.

11.（多选题）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（    ）

A．若为的跟随区间，则

B．函数存在跟随区间

C．若函数存在跟随区间，则

D．二次函数存在“3倍跟随区间”

【答案】ACD

【分析】

根据“倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可.

【详解】

对A, 若为的跟随区间,因为在区间为增函数,故其值域为,根据题意有,解得或,因为故.故A正确；

对B,因为函数在区间与上均为减函数,

故若存在跟随区间，

则有,解得：，不合题意，故不存在,B错误.

对C, 若函数存在跟随区间,因为为减函数,故由跟随区间的定义可知,

即,因为,所以.

易得.

所以,令代入化简可得,同理也满足,即在区间上有两根不相等的实数根.

故,解得,故C正确.

对D,若存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为,值域为.当时,易得在区间上单调递增,此时易得为方程的两根,求解得或.故存在定义域,使得值域为.

故D正确.

故选：ACD.

12.已知是定义在上的奇函数，对任意的，，均有.且当时，，，那么表达式（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由是定义在，上的奇函数，且，推出，，再结合当时，，推出，，，，由题意可得对任意的，，，均有，进而得，再由奇函数的性质算出最终结果．

【详解】

解：由，令，得，令，则﹐

当时，，，

即，，

且，，

，

对任意的，，均有，，

同理.

是奇函数，

，

故选：C

13.（多选题）已知偶函数的定义域为R，且当时，，当时，，则以下结论正确的是（    ）

A．是周期函数 B．任意

C． D．在区间上单调递增

【答案】BCD

【分析】

根据已知条件，求出时，；时，，再结合时，及偶函数的性质，对各选项逐一分析即可求解.

【详解】

解：因为为R上的偶函数，所以，

又时，，

所以时，，

所以，，

当时，，

由题意，，

所以时，，，

因为时，，所以不是周期函数，故选项A错误；

因为为R上的偶函数，且时，，

所以任意，故选项B正确；

因为，

所以选项C正确；

因为，，所以，，

又当时，，，

所以由二次函数性质知在区间上单调递增，所以选项D正确，

故选：BCD.

14.（多选题）已知定义在上的函数满足，，且在区间上单调递增.下列结论正确的是（    ）

A．是函数的最小值 B．函数的图像的一个对称中心是点C． D．函数的图像的一条对称轴是直线

【答案】BC

【分析】

通过题设条件结合函数的性质加以判断即可.

【详解】

由函数的定义域为,且，可得函数为奇函数.

又，知函数的图像关于点对称.

没法判断函数的对称轴，故选项错误.

在区间上单调递增，在区间上单调递增.

又由是奇函数，在区间上单调递增，故不是函数的最小值. 所以选项错误.

由可得,

则,周期为4.,

，

的图像的一个对称中心是点,选项B正确.

由可得,.选项C正确.

故选BC.

15.设表示函数在闭区间上的最大值．若正实数满足，则______，正实数的取值范围是_________．

【答案】2       

【分析】

首先画出函数的图象，由图象分析，可知，即可计算的值；因为，可知，首先求出的的实数根，根据图象判断，列式求的取值范围.

【详解】

如图，画出函数的图象，当时，，此时，，不满足，所以，此时

因为，且，所以，

当时，解得：，，，，

由图象可知，得.

故答案为：；

16.已知函数，若对任意的，长为的三条线段均可以构成三角形，则正实数的取值范围是______.

【答案】，，

【分析】

求出的导数，讨论当即时；当且即时；当且即时；当，即时．由单调性可得最小值和最大值，由题意可得最小值的2倍大于最大值，解不等式即可得到所求的范围．

【详解】

函数的导数为，

当时，，递增；当时，，递减．

当即时，，为减区间，即有的最大值为；

最小值为．

由题意可得只要满足，解得；

当且即时，，为减区间，，为增区间，

即有的最大值为；最小值为．

由题意可得只要满足，解得，不成立；

当且（1）即时，，为减区间，，为增区间，

即有的最大值为；最小值为．

由题意可得只要满足，解得，不成立；

当，即时，，为增区间，即有的最小值为；

最大值为．

由题意可得只要满足，解得．

综上可得，的取值范围是，，．

故答案为：，，．

17.定义在区间（－1，1）上的函数f（x）满足：，x∈（－1，0）时f（x）<0，若，，c=f（0），则三个实数a，b，c从小到大排列的顺序为___________.

【答案】c<a<b

【分析】

利用已知的恒等式进行赋值，由函数单调性的定义判断函数的单调性，由恒等式将a转化为，利用单调性比较大小即可.

【详解】

因为定义在区间（－1，1）上的函数f（x）满足：，

令x=y=0，则f（0）－f（0）=f（0），解得f（0）=0，

设x<y，且满足－1<x<y<1，则，

因为x∈（－1，0）时f（x）<0，

所以，即f（x）－f（y）<0，

所以f（x）<f（y），故函数f（x）在（－1，1）上为单调递增函数，因为，

所以，取，则，则，

因为，所以，即c<a<b.故答案为：c<a<b.

18.定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是______________.

【答案】

【分析】

由题设递推关系及已知区间解析式，分析可得分段函数：在上有，应用数形结合的方法求参数m的最小值.

【详解】

由题设知，当时，，故，

同理：在上，，

∴当时，.

函数的图象，如下图示.

在上，，得或.

由图象知：当时，.

故答案为：.

19.已知定义在（0，3]上的函数的值域为[4，5]，若，则a+b的值为_________ .

【答案】7

【分析】

将函数变形为，令，，由，利用对勾函数的性质求解.

【详解】

因为，

令，

所以，

因为，

所以，

所以在上递减，在递增，

所以①，

又，

所以②，

所以，

由①②得或，

因为，

所以

所以a+b=7

故答案为：7

20.记号表示，中取较大的数，如．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若对任意，都有，则实数的取值范围是______．

【答案】

【详解】

由题意，当时，令，故

解得，此时

故时，

令，故

解得，此时，

又因为函数是定义域上的奇函数，所以图象关于原点对称，且，

故时，

所以函数的图象如图所示，

要使得，根据图象的平移变换，

由图象分析可得且，解得且，即且.

故答案为：

21.已知函数，，对于任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是______．

【答案】

【分析】

先求出函数的值域A，设函数的值域为B，讨论m的取值，求出的值域，根据题意，有，由数集的概念，求出的取值范围．

【详解】

解：（1）函数，

当时，，

∴的值域是；

（2）又当时，

①若，则在上是增函数，

最小值，最大值；

的值域是，

，

即，解得，此时无解；

②若，则在上是减函数，最小值，最大值；

的值域是，

，

即，解得，此时无解；

③若，则在上是先减后增的函数，

最小值是，最大值是；

当时，的值域是，

，

即，

解得，或（不符合条件，舍去）；

则取；

综上知，实数的取值范围是：．

故答案为：．

22.已知函数，，其中.若对任意的，存在，使得成立，则实数的值等于______.

【答案】

【分析】

首先等式转化为，并构造函数，分别求和在上的值域，转化为值域的包含关系，列不等式求解.

【详解】

由可得，令，则.而，所以对任意的，存在，使得成立.因为，所以在上的值域为，在上的值域为，依题意有，故，可得，得.

故答案为：

23.已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】

作出函数图象，对参数分类讨论，转化为不等式恒成立利用分离参数求参数取值范围.

【详解】

作出函数的图象如图所示，

当时，恒成立，符合题意；

当时，，，关于的不等式不恒成立，不合题意，舍去；

当时，大致图象如图中折线，

只需恒成立，且恒成立即可，

且即，

且，

所以，

综上所述.

故答案为：