1.3.1 不等式的性质与解法（题型战法）- 备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.3.1 不等式的性质与解法（题型战法）知识梳理一 不等式及其性质1．比较实数大小（1）如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么，反过来也对．（2）符号表示：⇔； ⇔； ⇔.2.不等式的性质（1）对称性：（2）传递性：（3）可加性：同向可加性：异向可减性：（4）可积性：        （5）同向正数可乘性：异向正数可除性：（6）平方法则：（7）开方法则：（8）倒数法则：3.不等式的证明方法（1）综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．（2）分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立．（3）反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．二 不等式的解法1.不等式的解集与不等式组的解集（1）不等式的解集：一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．（2）不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．注意事项：若不等式中所含不等式解集的交集为∅时，则不等式组的解集为∅.2.绝对值不等式绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．3．一元二次不等式的解法：（1）图像法（2）因式分解法一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)． 题型战法题型战法一 不等式的性质典例1．下列说法正确的是（       ）A．若，，则 B．若a，，则C．若，，则 D．若，则【答案】C【解析】【分析】结合特殊值、差比较法确定正确选项.【详解】A：令，；，，则，，不满足，故A错误；B：a，b异号时，不等式不成立，故B错误；C：，，，，即，故C正确；D：令，，不成立，故D错误.故选：C变式1-1．对于任意实数，给定下列命题正确的是（       ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据不等式的性质证明C；【详解】解：对于A：当时，若则，故A错误；对于B：若，，，，满足，则，，不成立，故B错误；对于C：若，则，所以，故C正确；对于D：若，满足，但是，故D错误；故选：C变式1-2．对于实数a，b，下列选项正确的是（       ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质对各选项逐一分析即可得答案.【详解】解：若，则与，与均不能比较大小，故A，B不正确；若，则，，所以，即，故C正确，D不正确.故选：C.变式1-3．设M＝2a(a－2)＋4，N＝(a－1)(a－3)，则M，N的大小关系为（       ）A．M>N B．M<N C．M＝N D．不能确定【答案】A【解析】【分析】利用作差法比较.【详解】M－N＝2a(a－2)＋4－(a－1)(a－3)＝ ＋1>0，故选：A.变式1-4．若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，则y1与y2的大小关系是（       ）A．y1>y2 B．y1＝y2C．y1<y2 D．随x值变化而变化【答案】A【解析】【分析】采用作差法，判断差的正负，从而可判断y1与y2的大小关系.【详解】 ,故 ，故选：A 题型战法二 解一元二次不等式典例2．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先解不等式写出集合，再按照交集运算求解.【详解】集合，，则.故选：D.变式2-1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解法求得集合，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由集合，又由不等式，即，解得，即，所以.故选：A.变式2-2．关于x的不等式（）的解集为（       ）A．或 B．C．或 D．【答案】D【解析】【分析】根据题意，把原不等式进行因式分解，结合图象即可求解.【详解】根据题意，由，得，∵，∴.故选：D．变式2-3．若，则不等式的解集是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【详解】因为，所以，则不等式解集为：．故选：A.变式2-4．已知，则关于x的不等式的解集是（　　）A．或 B．或C． D．【答案】D【解析】【分析】直接根据一元二次不等式的解法解不等式即可.【详解】解：因为方程的解为或，且，所以不等式的解集是.故选：D. 题型战法三 由一元二次不等式的解确定参数典例3．不等式的解集为，则的值为（       ）A．  B． C．  D．【答案】B【解析】【分析】由题知方程的两根为和，进而结合韦达定理求解即可.【详解】解：因为不等式的解集为，所以方程的两根为和，所以由韦达定理得：，即故选：B变式3-1．不等式的解集为，则的值分别为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求解.【详解】因为不等式的解集为，所以，解得，故选：D变式3-2．关于x的一元二次不等式的解集为，则ab的值为（       ）A．3 B．2 C．1 D．6【答案】D【解析】【分析】由的解集为，可知，根据根与系数的关系，求出，的值，即可求得的值.【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为，则，是方程的根.由根与系数的关系，得，解得，故.故选：.变式3-3．若关于x的不等式的解集为，则ab的值为（       ）A．1 B．2 C．3 D．－1【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系列出满足的条件，解得答案.【详解】由题意知，解得，故选：A．变式3-4．已知关于的不等式的解集是，则的值是（       ）A． B．5 C． D．7【答案】D【解析】【分析】由题意可得的根为，然后利用根与系数的关系列方程组可求得结果【详解】因为关于的不等式的解集是，所以方程的根为，所以，得，所以，故选：D 题型战法四 一元二次方程根的分布问题典例4．已知p：（其中，），q：关于x的一元二次方程有一正一负两个根.若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为（       ）A．1 B．0 C． D．2【答案】C【解析】【分析】由一元二次方程根的分布可得求命题q的参数a范围，再由命题间的关系求m的最值即可.【详解】因为有一正一负两个根，所以，解得.因为p是q的充分不必要条件，所以，且，则m的最大值为.故选：C变式4-1．已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】令，根据二次方程根的分布可得式子，计算即可.【详解】令由题可知：则，即故选：C变式4-2．要使关于的方程的一根比大且另一根比小，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】由题意可得，解得.故选：B.变式4-3．关于的方程的两根都大于2，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求出的范围.【详解】解：∵关于的方程的两根都大于2，令，可得，即，求得，故选：B.变式4-4．若方程的两实根中一个小于，另一个大于2，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为方程有两根，一个大于，另一个小于，所以函数有两零点，一个大于，另一个小于，根据二次函数图像可得:,即可求得答案.【详解】因为方程有两根，一个大于,另一个小于，所以函数 有两零点，一个大于，另一个小于，由二次函数的图像可知， ，即: 解得:故选:A.【点睛】本考查了方程根与二次函数零点的关系，由函数零点范围求参数范围问题,解题关键是掌握零点定义和二次函数图像特征,考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 题型战法五 一元二次不等式恒成立问题典例5．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由题意，保证当时，不等式恒成立，只需，求解即可【详解】由题意，当时，不等式恒成立，故解得故实数的取值范围是故选：A变式5-1．不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】当时，得到不等式恒成立；当时，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，不等式对一切恒成立，当时，即时，不等式恒成立，符合题意；当时，即时，要使得不等式对一切恒成立，则满足，解得，综上，实数a的取值范围是.故选：B.变式5-2．对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】讨论k＝0和两种情况，并结合判别式法即可求得答案.【详解】当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当时，若不等式恒成立，则，于是.故选：B．变式5-3．已知关于的不等式对任意恒成立，则实数取值范围是（       ）A． B．C．或 D．或【答案】A【解析】【分析】当时不等式恒成立，当时，根据一元二次不等式恒成立列出不等式组，解不等式组即可.【详解】当时，不等式可化为，显然成立；当时，要满足关于的不等式对任意恒成立，只需，解得.综上，的取值范围是.故选：A变式5-4．已知命题：“”，则实数的取值范围是（　　）A． B． C．  D．【答案】D【解析】【分析】考虑和两种情况，得到，解得答案.【详解】当时，成立；当时，需满足：，解得.综上所述：.故选：D. 题型战法六 其他不等式典例6．（分式不等式）已知集合，集合，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】解分式不等式得到，进而根据交集的概念即可求出结果.【详解】因为，所以，因此，因此，故选：D.变式6-1．（绝对值不等式）设则“”是“”的（        ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】首先解出绝对值不等式与分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：因为，所以，解得；由，即，解得；所以与互相不能推出，故“”是“”的既不充分也不必要条件；故选：D变式6-2．（根式不等式）已知集合，，则（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】求解不等式，从而解得集合，再求集合的交集即可.【详解】因为，故可得，解得，故；因为，故可得，故；故.故选：B.变式6-3．（指数不等式）已知集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先解指数不等式即可求出集合A，即可判断；【详解】解：因为，即，所以，所以，，∴，；故选：D变式6-4．（对数不等式）记，，则B的元素个数为（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】由题意求出集合即可求解【详解】由题意可知，，因为，所以，即B的元素个数为3，故选：B.