2.2.1函数的单调性与奇偶性（题型战法）- 备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第二章 函数
2.2.1函数的单调性与奇偶性（题型战法）
知识梳理
一 函数的单调性
1. 单调性的定义
一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数。
2.单调性的注意事项
1. 函数的单调性要针对区间而言，因此它是函数的局部性质；对于连续函数，单调区间可闭可开，即“单调区间不在一点处纠结”；单调区间不能搞并集。
2. 若函数满足，则函数在该区间单调递增；若满足，则函数在该区间单调递减。
3. 函数单调性的判断方法主要有：
(1) 定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。
(2) 性质法：若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有
①为增函数，②为增函数，
③为减函数，④为减函数。
(3) 图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。

二 函数的奇偶性
一.函数奇偶性的定义：
(1)对于函数的定义域内任意一个，都有 函数是偶函数；
(2)对于函数的定义域内任意一个，都有 函数是奇函数。
二．函数奇偶性的相关性质
1.奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。
这两个概念的区别之一就是:奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；
2.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.
3.常用的结论：若是奇函数，且在0处有定义，则;
4.(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反;奇函数在区间上单调递增(减)，则在区间上也是单调递增(减)；
(2)偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同;偶函数在区间上单调递增(减)，则在区间上是单调递减(增)；
5.若函数是奇函数,是奇函数 ，定义域都是关于原点对称的
(1) 是奇函数, (2) 或是偶函数
(3) 是偶函数, (4) 是偶函数
6.若函数是偶函数,是偶函数 ，定义域都是关于原点对称的
(1) 是偶函数, (2) 或是偶函数
(3) 是偶函数, (4) 是偶函数
7.若函数是奇函数,是偶函数，定义域都是关于原点对称的
(1) 是非奇非偶函数, (2) 或是奇函数
8. 若函数是偶函数,是奇函数 ，定义域都是关于原点对称的
(1)是是偶函数 (2)是非奇非偶函数,
9.若函数，定义域都是关于原点对称
(1) 是奇函数时，奇函数，则是奇函数；
(2) 是奇函数时，偶函数，则是偶函数；
题型战法
题型战法一 单调性与奇偶性的判断
典例1．下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
逐项判断函数奇偶性和单调性，得出答案.
【详解】
解析：A项，B项均为定义域上的奇函数，排除；
D项为定义域上的偶函数，在单调递增，排除；
C项为定义域上的偶函数，且在上单调递减.
故选：C.
变式1-1．下列函数中，既是偶函数又在上是单调递增函数的是（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性与单调性的概念逐一判断
【详解】
对于A，函数为偶函数，且在上单调递增，满足题意
对于B，函数为偶函数，但在上单调递减，故B错误
对于C，函数为非奇非偶函数，故C错误
对于D，函数为非奇非偶函数，故D错误
故选：A
变式1-2．下列函数中为奇函数，且在定义域上是增函数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．
【详解】
对于函数，定义域为，且，所以函数为偶函数，不符合题意；
对于在定义域上不单调，不符合题意；
对于在定义域上不单调，不符合题意；
对于，由幂函数的性质可知，函数在定义域上为单调递增的奇函数，符合题意．
故选：D．
变式1-3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用是偶函数判定选项A错误；利用判定选项B错误；利用的定义域判定选项C错误；利用奇偶性的定义证明是奇函数，再通过基本函数的单调性判定的单调性，进而判定选项D正确.
【详解】
对于A：是偶函数，
即选项A错误；
对于B：是奇函数，但，
所以在区间上不单调递增，
即选项B错误；
对于C：是奇函数，
但的定义域为，，
即选项C错误；
对于D：因为，，
有，
即是奇函数；
因为在区间上单调递增，
在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增，
即选项D正确.
故选：D.
变式1-4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（       ）
A．， B． ，
C．， D． ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基本函数的奇偶性和单调性进行判断即可求解.
【详解】
对于A：是偶函数，故选项A错误；
对于B：是非奇非偶函数，故选项B错误；
对于C：是奇函数，且在定义域上为增函数，
故选项C错误；
对于D：是奇函数，且在定义域上为减函数，
故选项D正确.
故选：D.

题型战法二 函数（包含复合函数）的单调区间
典例2．函数的单调区间为（       ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数的对称轴，根据二次函数的性质即可求解.
【详解】
的对称轴为，开口向上，
所以在在单调递减，在单调递增，
故选：D
变式2-1．函数的单调递减区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质得解；
【详解】
解：因为定义域为，函数在和上单调递减，
故函数的单调递减区间为和；
故选：A
变式2-2．函数的单调递减区间为（       ）
A．（–∞，2] B．[2，+∞）
C．[0，2] D．[0，+∞）
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据函数的解析式可得函数的单调区间，即可得到答案；
【详解】
∵，
∴函数的单调递减区间是（–∞，2]，增区间为[2，+∞），
∴的单调递减区间是[2，+∞），
故选：B．
变式2-3．函数的单调增区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
先求得函数的定义域为，再结合二次函数性质和复合函数单调性的判定方法，即可求解.
【详解】
令，解得或，即函数的定义域为，
又由函数表示开口向上，且对称轴的方程为的抛物线，
根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数的单调增区间是.
故选：B.
变式2-4．函数的单调递减区间为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据真数大于零，可得函数的定义域；结合复合函数“同增异减”的原则，可确定函数的单调递减区间.
【详解】
由得，
所以函数的定义域为
令，则是单调递减函数
又，在上单调递增，在上单调递减
由复合函数的单调性可得函数的单调递减区间为.
故选：A.
【点睛】
本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的定义域，对数函数的性质，属于中档题.

题型战法三 根据奇偶性求解析式
典例3．设为奇函数，且当时，，则当时，（ 　 ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质，利用，即可求出结果.
【详解】
设，则，所以，
又为奇函数，所以，
所以当时，.
故选：B.
变式3-1．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
当时可得，整体代入已知解析式结合函数的奇偶性可得．
【详解】
解：当时可得，
当时，，
，
又函数为定义在上的偶函数，
当时，
故选：B．
变式3-2．已知函数为R上的奇函数，且当时，，则当时，（  ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质进行求解即可.
【详解】
当时，则，因为是奇函数，
所以.
故选：D
变式3-3．函数f(x)为R上奇函数，且，则当时，f(x)＝（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质进行求解即可.
【详解】
当时，，
因为函数f(x)为R上奇函数，
所以，
故选：B
变式3-4．设为奇函数，且当时，，则当时，（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先设，得到，再代入，利用函数的奇偶性求解即可.
【详解】
设，则，因为函数为奇函数，且当时，，
，即：.
故选：D

题型战法四 根据单调性与奇偶性解不等式
典例4．已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的单调性、奇偶性、定义域化简不等式，从而求得的取值范围.
【详解】
依题意奇函数是定义在区间上的增函数，
，
.
故选：B
变式4-1．定义在上的偶函数在区间上单调递增，若，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据偶函数及单调性解不等式即可.
【详解】
由题意，，则或.
故选:D.
变式4-2．若函数是定义在R上单调递增的奇函数，且，则使得成立的x的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质，结合单调性进行求解即可.
【详解】
因为函数是奇函数，所以，
由可得，即，
又因为函数是定义在R上单调递增函数，
所以.
故选：D
变式4-3．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为 （       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据的单调性、奇偶性画出的大致图象，由此确定正确选项.
【详解】
依题意函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，在上递增，.
画出的大致图象如下图所示，
由图可知，不等式的解集为.
故选：A

变式4-4．已知定义在R上的函数是偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数为偶函数可得在上单调递增，从而可得，解不等式即可求解.
【详解】
因为为偶函数，且在上单调递减，所以在上单调递增.
由，得，解得，
即不等式的解集为.
故选：C

题型战法五 根据单调性与奇偶性比大小
典例5．定义在上的偶函数满足：对任意的有则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断函数的单调性，再利用函数的奇偶性得解.
【详解】
解：因为对任意的有
所以函数在区间上单调递减，
所以，又因为函数是偶函数，
所以.
故选：A
变式5-1．设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
依据偶函数性质及函数单调性即可对，，进行大小比较.
【详解】
函数为偶函数，则，
当时，是减函数，又，
则，则
故选：C
变式5-2．已知偶函数在上单调递减，则和的大小关系为（       ）
A． B．
C． D．和关系不定
【答案】A
【解析】
【分析】
结合函数的单调性、奇偶性确定正确选项.
【详解】
依题意，偶函数在上单调递减，，
所以.
故选：A
变式5-3．定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的单调性，判断选项即可．
【详解】
定义域在上的函数满足：对任意的，，有，
可得函数是定义域在上的增函数，
所以（1）（3）．
故选：．
变式5-4．已知函数在区间上是增函数，则的大小关系是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
结合的单调性比较出三者的大小关系．
【详解】
因为在区间上是增函数，并且，所以，
所以D选项的正确的．
故选：D

题型战法六 根据单调性求参数
典例6．已知在为单调函数，则a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出的单调性，从而得到.
【详解】
在上单调递减，在上单调递增，故要想在为单调函数，需满足，
故选：D
变式6-1．已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
结合图像讨论对称轴位置可得.
【详解】
由题知，当或，即或时，满足题意.
故选：A
变式6-2．已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（       ）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
【答案】A
【解析】
【分析】
由对称轴与1比大小，确定实数a的取值范围.
【详解】
对称轴为，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以.
故选：A
变式6-3．若函数在上不单调，则m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
要想在上不单调，则对称轴在内
【详解】
的对称轴为，则要想在上不单调，则，解得：
故选：B
变式6-4．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知函数为增函数，然后列出式子计算即可.
【详解】
由题可知：任意的实数，都有成立
所以函数为上的增函数，所以，得到，即
故选：C

题型战法七 根据奇偶性求参数
典例7．若函数为奇函数，则实数的值为（       ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可得，计算可得，经检验均符合题意，即可得解.
【详解】
由为奇函数，
所以，
所以，可得，
解得，
当时，的定义域为，符合题意，
当时，的定义域为符合题意，
故选：D
变式7-1．已知函数为偶函数，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用偶函数的性质直接求解即可.
【详解】
由已知得，当时，则，即，，
∵为偶函数，∴，即，
∴，，∴，
故选：.
变式7-2．若函数f(x)＝ax2＋(2b－a)x＋b－a是定义在[2－2 a ， a]上的偶函数，则＝（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
利用偶函数的图象关于轴对称，可列出方程组，即可得到答案；
【详解】
二次函数为偶函数，对称轴为轴，且区间[2－2 a ， a]关于原点对称，


故选：A
变式7-3．已知函数为奇函数，则（       ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇函数性质知，，代入求得参数值.
【详解】
因为为奇函数，且的定义域为R．
所以，所以，经检验符合题意．
故选：B．
变式7-4．是偶函数，其定义域为，则等于（       ）
A．1 B． C． D．01
【答案】B
【解析】
【分析】
根据偶函数的定义域关于原点对称求得的值，再由恒成立求得的值即可求解.
【详解】
因为是偶函数，其定义域为，
所以，可得，定义域为，
所以，
由可得：对于恒成立，
所以，可得，所以，
故选：B.