2.5.2对数函数（针对练习）- 备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第二章 函数
2.5.2对数函数（针对练习）
针对练习
针对练习一 对数与对数的运算
1．计算下列各题：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用指对幂运算性质化简求值；
（2）利用对数运算性质化简求值.
(1)原式.
(2)原式


.
2．计算下列式子的值:
(1)2×100023+6423+lg4+2lg5;
(2)log2125⋅log318⋅log519.
【答案】(1)218
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用指数幂运算性质和对数的运算性质求解，
（2）利用换底公式和对数的运算性质求解
(1)
原式＝
=   
   

(2)

3．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2·lg 50；
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25.
【答案】(1)1
(2)3
【解析】
【分析】
根据对数运算法则分别化简求值即可.
(1)
原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1.
(2)
lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25
＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5
＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝2＋lg 5＋lg 2＝3.
4．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）0.
【解析】
【分析】
（1）根式化为指数运算，以及结合分式指数幂的运算法则，即可求解；
（2）根据对数运算法则，即可化简求值.
【详解】
（1）原式．
（2）原式


．
5．计算（1）
（2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用指对运算法则，化简求值；
（2）利用对数运算法则，以及换底公式，化简求值.
【详解】
（1）
.
（2）
原式.

针对练习二 对数函数的概念
6．下列函数表达式中，是对数函数的有（       ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对数函数定义分析每个函数表达式即可
【详解】
由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；
由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；
由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；
由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；
只有③④符合对数函数的定义.
故选：B
【点睛】
本题考查对数函数的定义，属于基础题
7．下列函数是对数函数的是
A． B．   
C． D．   
【答案】C
【解析】
【分析】
对数函数的基本形式为
【详解】
由对数函数定义可以，本题选C．
【点睛】
本题需要对对数函数的定义有着足够的了解．
8．下列函数，是对数函数的是
A．y=lg10x B．y=log3x2
C．y=lnx D．y=log（x–1）
【答案】C
【解析】
【分析】
由对数函数的定义，形如的函数是对数函数，即可作出判定，得到答案.
【详解】
由对数函数的定义，形如y=logax（a>0，a≠1）的函数是对数函数，由此得到：y=lg10x=x，
y==2、y=都不是对数函数，只有y=lnx是对数函数．故选C．
【点睛】
本题主要考查了对数函数的定义，其中熟记对数函数的定义：形如的函数是对数函数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
9．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（       ）
A． B．
C．或 D．不确定
【答案】A
【解析】
设函数为，再根据图象过点可得，即可解出，得到该对数函数的解析式．
【详解】
设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求对数函数的解析式，属于容易题．
10．若函数为对数函数，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对数函数的定义，令直接计算即可.
【详解】
由题可知：函数为对数函数
所以或，又且
所以
故选：B

针对练习三 对数函数的图像
11．在同一坐标系中函数与的图象是 （     ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
利用指数函数和对数函数的图象和性质判断即可
【详解】
解：由于中的底数，所以为减函数，所以排除BC，
由于中的底数，所以为增函数，所以排除D，
故选：A
12．在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可．
【详解】
．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，
．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，
．由对数图象知，此时直线的纵截距，保持一致，
．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，
故选：．
13．图中曲线分别表示，，，的图象，则，，，的关系是．

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数函数的图象的特征进行判断即可得到的大小关系．
【详解】
如图所示，由于在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象越向轴靠近，
所以．
故选．
【点睛】
根据对数函数的图象判断底数的大小关系时，可令，从而得到底数的值，然后根据各个底数在轴上的分布情况得到底数的大小关系．一般的结论是：在第一象限，从左向右，底数逐渐增大．
14．函数（且）恒过定点（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数函数的知识确定正确选项.
【详解】
当，即时，，所以定点为.
故选：C
15．函数的图像一定经过点（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
令即可求出定点.
【详解】
当，即时，，
即函数的图象一定经过点.
故选：B.

针对练习四 对数函数的定义域
16．已知函数，则函数的定义域为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对数、分式、根式的性质有，即可求定义域.
【详解】
要使有意义，需满足
∴，
∴的定义域为.
故选：B.
17．函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据可以得出答案，
【详解】
解：由题意可得，解得，所以函数的定义域为，
故选：C．
18．函数的定义域为（             ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用给定函数有意义列出不等式求解即得.
【详解】
函数有意义，则有，解得，
所以原函数定义域为：.
故选：C
19．函数的定义域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据偶次被开方数大于等于0，真数大于0，列出不等式组，通过解不等式组即可求出答案.
【详解】
由，得，所以，
所以函数的定义域为.
故选：D.
20．已知函数的定义域为，则的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
复合函数定义域问题，第一步确定括号范围，第二步确定自变量x的取值范围，即可.
【详解】
函数的定义域为,所以，所以
故选：B.

针对练习五 对数函数的值域
21．已知函数，则fx在区间上的最大值和最小值分别是（       ）
A．60， B．60， C．12， D．12，
【答案】D
【解析】
【分析】
令，得到，转化为，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】
因为，可得，
令，则，
又由，
可得，
当时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值.
故选：D.
22．函数的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
求出的取值范围，再利用对数函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】
，所以，.
因此，函数的值域为.
故选：B.
23．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数函数的性质可知，要能取到的所有数，分情况讨论的取值范围.
【详解】
设，，
因为函数的值域为，所以要能取到的所有数，
当时，满足条件；
当时，，得；
当时，不成立.
综上可知，.
故选：D
24．若函数(，且)的值域为，则的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的值域得出，再由即可求解.
【详解】
当时，，
若函数的值域为，则单调递增，即，
且，即，
所以，
又，所以，
综上所述，的取值范围为.
故选：D
25．已知且，若函数的值域为[1，+∞），则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出当时，的取值范围，再根据对数函数的单调性求出的值域，结合分段函数的值域即可求解.
【详解】
由函数，
当时，，
当时，，若时，
函数单调递减，所以，
若时，函数单调递增，所以，
又因为分段函数的值域为[1，+∞），
所以，，
所以.
所以的取值范围是.
故选：D

针对练习六 对数函数的单调性
26．函数的单调递减区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复合函数的单调性“同增异减”，即可求解.
【详解】
，，
令，解得：，
根据复合函数单调性可知，内层函数的单调性可知函数单调递增，在区间函数单调递减，外出函数单调递增，所以函数的但到底就区间是.
故选：D
27．的单调递增区间为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性可求函数的递增区间.
【详解】
由题设可得，故或，
故函数的定义域为，
令，
则在为减函数，在上为增函数，
因为在上为增函数，故的增区间为，
故选：D.
28．已知函数在单调递增，则a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
复合函数单调性问题，第一步确定定义域，第二步同增异减,即可得到答案.
【详解】
由，得或，即函数 的定义域为．令，则，所以函数t在上单调递减，在上单调递增，又函数在上单调递增，从而函数的单调递增区间为，由题意知，∴
故选:D.
29．已知函数(且)是R上的减函数，则的取值范围是(       )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
若函数是R上的减函数，则f(x)在x＜0和x＞0时均为减函数，且函数在x＝0左侧的最小值大于或等于在x＝0右侧的最大值，列出不等式组即可解得的范围﹒
【详解】
函数且是R上的减函数，
，解得，
故选：A．
30．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复合函数的单调性原则同增异减，以及真数部分大于0，得到式子，直接计算即可.
【详解】
由题可知：函数在上单调递增
所以，即
故选：A

针对练习七 比较大小与解不等式
31．已知，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数的性质判断即可；
【详解】
解：因为，所以.
因为，，
所以，所以，因此，所以，
综上可得；
故选：C.
32．已知，，，则，，的大小关系（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数的性质判断即可；
【详解】
解：因为，即，
又，即，
所以，即，
综上可得，
故选：A
33．函数，若，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先判断，和的大小关系，然后根据函数的单调性，判断的大小关系.
【详解】
，，
，，，，
是上的减函数，.
故选：A.
34．已知函数，则不等式的解集为(       )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据绝对值的定义和对数函数的单调性即可求解．
【详解】
．
故选：C﹒
35．集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合、，利用补集的定义可求得结果.
【详解】
因为，
或，
因此，∁BA=-∞,-3∪1,4.
故选：B.


针对练习八 对数函数的应用
36．科学家研究发现，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系是.据中国地震台网测定，2022年1月8日，11时24分在智利中部沿岸近海发生5.9级地震，1时45分在中国青海海北州门源县发生6.9级地震，设智利中部沿岸近海地震所释放的能量为，门源县地震所释放的能量为，则的近似值为（       ）
A．15 B．20 C．32 D．35
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数的运算即可求解.
【详解】
所以
故选:C
37．一种药在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（       ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，答案采取四舍五入精确到）
A．2.3小时 B．3.5小时 C．5.6小时 D．8.8小时
【答案】A
【解析】
【分析】
药在血液中以每小时的比例衰减，根据指数函数模型列方程或不等式求解．
【详解】
设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．
则，，，，
．
故选：A．
38．随着人们健康水平的不断提高，某种疾病在某地的患病率以每年的比例降低，若要将当前的患病率降低到原来的一半，需要的时间至少是（       ）(，)
A．6年 B．7年 C．8年 D．9年
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据条件列式，再通过两边取对数，计算需要的时间.
【详解】
设至少需要年的时间，则，两边取对数，
即.
故选：B
39（多选）．声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：）．下列选项中正确的是（       ）
A．闻阈的声强级为
B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：）
C．如果声强变为原来的倍，对应声强级也变为原来的倍
D．声强级增加，则声强变为原来的倍．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据已知条件先计算出，然后再根据的变化确定的变化确定正确选项．
【详解】
因为，时，，带入公式得，
A：时，，故A正确；
B：由题意，即，因此，解得，故B正确；
C：当变为时，代入有，故C错误；
D：设声强变为原来的倍，则，解得，故D正确；
故选：ABD．
40．中西方音乐的不同发展与其对音阶的研究有密切的关系，中国传统音阶是五声音阶：宫､商､角､徵､羽；西方音阶是七声音阶“Do､Re､Mi､Fa､Sol､La､Si”.它们虽然不同，却又极其相似，最终发展的结果均是将一个完整的八度音阶分成了12个半音，即“十二平均律”.从数学的角度来看，这12个半音的频率成公比为的等比数列.已知两个音高，的频率分别为，，且满足函数关系：，已知两个纯五度音高的频率比，则它们相差的半音个数________.(其中，，结果四舍五入保留整数部分).
【答案】7
【解析】
【分析】
根据指数和对数的互化，结合对数的运算性质求解即可.
【详解】
由题意可知，
所以，
即，
故，
故答案为：7
【点睛】
本题主要考查指数和对数的互化，属于基础题，关键就是在求解过程中要熟练应用对数的运算性质，考查学生的基本功计算能力.


针对练习九 反函数
41．设函数的图象与的图象关于直线对称，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用反函数的知识列方程，化简求得的值.
【详解】
依题意函数的图象与的图象关于直线对称，
，
，
由于，
所以.
故选：B
42．若，则的定义域是（       ）
A．R B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由互为反函数的两个函数的关系，先求出原函数的值域，可得其反函数的定义域
【详解】
解：因为，所以，
所以的值域为，
所以的定义域为，
故选：C
43．函数的反函数是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
由，又因原函数的值域是，
∴其反函数是
44．函数 的反函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用反函数的定义即可得出．
【详解】
由y＝x2（x≤0），解得（y0），将x与y互换可得：（x0）．
故选D．
【点睛】
本题考查了反函数的求法，属于基础题．
45．函数的反函数的图象过点，则的值为
A． B． C．或 D．
【答案】B
【解析】
【详解】
【分析】
试题分析：∵函数的反函数的图象过点，∴点在原函数的图象上，∴，∴ ，解得．故选B．
考点：反函数．