人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算复习练习题

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6.2.4向量的数量积运算本节课知识点目录：1、向量的数量积运算：给模求数量积；2、向量的数量积运算：给模或者数量积求模。3、向量的数量积运算：给夹角求模或者数量积4、向量的数量积运算：给数量积或模求夹角5、向量的数量积运算：垂直6、投影向量7、向量的数量积运算：图形中确定基底8、数量积之求最值（难点）9、联赛、联考与自主招生题选 一、向量的数量积运算：给模求数量积1.已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2.对于向量a，b，c和实数λ，有(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 【典型例题】【例1】若向量满足，则（    ）A． B． C．1 D．2 【例2】已知，，均为单位向量，且，则（    ）A． B． C． D． 【例3】已知，则____________. 【例4】已知平面上三点、、满足，，，则值等于（    ）A． B． C．25 D． 【对点实战】1.平面向量，满足，，，则___________． 2.若非零向量，，满足，且，则（    ）A．4 B．3 C．2 D．0  二、向量的数量积运算：给模或者数量积求模【典型例题】【例1】已知平面向量，的夹角为45°，且，，则（    ）A．3 B．1 C． D．2 【例2】已知非零向满足，且，则向量的模长为（    ）A．2 B． C． D．3 【例3】向量的夹角为，，则_________ . 【例4】已知向量满足，则（    ）A．2 B． C．8 D． 【例5】已知非零向量满足，且，则向量的模长为（       ）A．2 B． C． D．3 【例6】已知，为非零向量，则成立的条件是____________；成立的条件是____________. 【对点实战】1.已知是半径为的圆的内接正方形，是圆上的任意一点，则的值为（    ）A．8 B．16 C．32 D．与的位置有关 2.已知向量满足，则___________. 3.已知向量、满足，，，求. 4.若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（    ）A． B．2 C． D．5   三、向量数量积运算：给夹角求模或数量积1.夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．2.设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量．则(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)|a·b|≤|a||b|. 【典型例题】【例1】已知，，，则可等于（    ）A． B．7 C． D．6 【例2】已知平面向量的夹角为，且，则（    ）A．4 B．2 C．1 D． 【例3】设向量满足，则___________. 【例4】已知菱形中，，，则______． 【例5】若向量，满足||=1，||=2，且与的夹角为，则|2|=___________. 【对点实战】1.已知，为单位向量，，的夹角为60°，向量满足，且，则实数______． 2.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数k的值为______． 3.已知且与的夹角为，则___________ 4.若的夹角为，则___________. 5.在长方形ABCD中，，，且，则___________，___________.  四、向量数量积运算：给数量积或模求夹角【典型例题】【例1】已知，均为单位向量，，则与的夹角为（    ）A．30° B．45° C．135° D．150° 【例2】在中，，，，则（    ）A． B． C． D． 【例3】若向量，满足，且，则向量与的夹角为（    ）A． B． C． D． 【例4】已知，，若，的夹角为120°，则（    ）A．-12 B．12 C．8 D．-8 【例5】若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（    ）A． B． C． D． 【例6】已知向量，的夹角为，且，，则与的夹角等于A． B． C． D． 【例7】已知非零向量，，下列说法中正确的是（    ）A．若，则与共线且反向B．若，则C．若，则与的夹角为D．若，则的最大值为   【对点实战】1.已知，满足，，，则与的夹角的余弦值为__________. 2.在中，，，，D是AC的中点，则与的夹角为______． 3.若单位向量，满足，则与的夹角为（    ）A． B． C． D． 4.已知向量，且，，，则与的夹角__________． 5.任意两个非零向量和，，定义：，若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则的值可能为（    ）A．5 B．4 C．3 D．2 6.已知、是两个单位向量，它们的夹角是，设，则向量与的夹角大小是__________．  五、向量数量积运算：垂直垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.，【典型例题】【例1】已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ）A． B．C． D． 【例2】设，均为单位向量，则“”是“⊥”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3】如图所示，已知正六边形，下列给出的向量的数量积中最大的是（    ）A． B． C． D． 【例4】已知、是非零向量且满足，，则与的夹角是（    ）A． B． C． D． 【例5】已知，，且与相互垂直，则与的夹角为（     ）A．45° B．60° C．90° D．120° 【例6】若向量，满足，，，则（    ）A．2 B． C．1 D． 【对点实战】1.已知，，且与互相垂直，则（    ）A．0 B． C． D．2 2.已知非零向量，满足，则是，均为单位向量的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ）A． B． C． D． 4,已知、、为三个非零平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的（    ）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 5.已知，对，恒有，且点满足N为OA的中点，则的值为__________，的值为__________. 6.已知、是夹角为的两个单位向量，若和垂直，则实数_______．   六、投影向量如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b的投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．|a|cos θ  【典型例题】【例1】已知向量，均为非零向量，且在方向上的投影是2，则下列说法正确的是（    ）A．在方向上的投影是－4 B．在方向上的投影是2C．在方向上的投影是2 D．在方向上的投影是4 【例2】已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影向量的模为________． 【例3】已知，与的夹角为，则在上的数量投影为______． 【例4】已知，，且，则在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．  【例5】在等腰三角形ABC中，，，D为BC的中点．（1）求在上的投影向量；（2）求在上的投影向量．   七、向量数量积运算：图形中确定基底求数量积引入基底即“坐标轴”这个思维 【典型例题】【例1】．已知在中，为的中点，则（    ）A． B． C． D． 【例2】在我国勾股定理最早的证明是东汉末数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．如图就是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案．若，则（    ）A．9 B．13 C．18 D．24 【例3】已知为边长为2的正方形的边DC上任一点，则的最大值为（    ）A．4 B．6 C．8 D．10 【例4】已知在中，，，其外接圆的圆心为，则的值为________. 【例5】如图在边长为的菱形中，，为的中点，，与交于点，则___________. 【例6】已知是腰长为的等腰直角三角形，点是斜边的中点，点在上，且，则（    ）A． B．C． D． 【例7】如图的弦图中，四边形ABCD是边长为5的正方形，四边形EFGH是边长为1的正方形，四个三角形均为直角三角形，则的值为（    ）A．6 B．8 C．10 D．12  【对点实战】1.已知O为所在平面内一点，且满足，，则________．  2.在菱形中，，，，则___________. 3.已知菱形ABCD的边长为1，，则___________. 4.已知正方形的边长为2，点满足，则的值是_________． 5.已知向量，，满足，，，，分别是线段，的中点，若，则向量与的夹角为A． B． C． D． 6.如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．   八、数量积之求最值（难点）【典型例题】【例1】已知正方形的边长为1，点是边上的动点．的最大值为______． 【例2】已知单位向量，的夹角为，则的最小值为________． 【例3】已知四边形中，，，，点在四边形上运动，则的最小值是（    ）A． B． C． D． 【例4】设，，为非零不共线向量，若，则（    ）A． B．C． D． 【例5】已知平面向量满足，，且的最小值，则的最小值为（    ）  【例6】已知是两个非零向量，且，，则的最大值为A． B． C．4 D． 【例7】．已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是A． B． C．2 D．   【例8】如图，在中，是的中点，、是上的两个三等分点，，，则的值是（    ）A．4 B．8 C． D．   九、联赛、联考与自主招生题选【例1】已知向量的夹角为，，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（    ）A． B． C． D． 【例2】对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则=（    ）A． B．1 C． D． 【例3】已知单位向量不共线，且向量满足若对任意实数λ都成立，则向量夹角的最大值是（    ）A． B． C． D．